包裝系統(tǒng)振動理論

1、第二章 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動理論,包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動力學(xué)模型 單自由線性系統(tǒng)的強迫振動 多自由度線性系統(tǒng)的振動 一般粘性阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) 多自由度線性系統(tǒng)振動的近似解法 非線性振動簡介,GB 2298機械振動沖擊名詞術(shù)語將振動定義為“機械系統(tǒng)中運動量的振蕩現(xiàn)象”。 振蕩指“相對給定的參考系，一個隨時間變化的量值與其平均值相比，時大時小交替變化的現(xiàn)象”。 機械振動指具有質(zhì)量和彈性的物體或系統(tǒng)在其平衡位置附近作來回往復(fù)運動的過程，如車輛振動系統(tǒng)、船舶振動系統(tǒng)、運輸物流過程中包裝產(chǎn)品系統(tǒng)、印刷機械振動系統(tǒng)等。 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)由產(chǎn)品、緩沖襯墊、包裝箱等三個部分組成的一個適應(yīng)運輸物流環(huán)境（過程）、

2、保護產(chǎn)品安全運輸?shù)臋C械系統(tǒng),一、工程實例,第一節(jié) 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動力學(xué)模型,例1、空調(diào)機包裝,例2、電子槍包裝 （FMB361E1Z64cmPF電子槍 ） 電子槍主要用于電視機、加速器、電鏡、示波器、電子顯微鏡、電子探針顯微分析儀、微聚焦X2射線管等電子束器件中，是它們極其重要的心臟部件,1）電子槍破損形式 電子槍的材料主要為玻璃和薄片金屬，形狀不規(guī)則，金屬多為點焊連接，在流通過程中由于振動、沖擊、壓力等環(huán)境載荷作用容易造成產(chǎn)品損壞，其破損形式主要為： 固定玻桿斷裂 電極的供電線路發(fā)生相互粘連短路 管腳彎曲 整只電子槍的軸向彎曲變形等。 （2）電子槍對緩沖包裝要求 a.電子槍為易損的不規(guī)則產(chǎn)

3、品，要求緩沖襯墊具有很好的加工制造性能，并且尺寸穩(wěn)定性強。 b.電子槍結(jié)構(gòu)為長軸狀，要求槍身保持較高平行度，杜絕發(fā)生滑動、擠壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)等變形，緩沖襯墊應(yīng)適當(dāng)考慮多個接觸面，保證受力均勻,c.電子槍的排氣管為玻璃材質(zhì)，很易破碎，緩沖襯墊的結(jié)構(gòu)應(yīng)避免其與外界接觸，造成損壞。 d.電極的供電線路易發(fā)生相互粘連而造成短路，在設(shè)計緩沖襯墊時使電極部位不與襯墊或外界接觸。 e.管腳的材質(zhì)較軟，容易彎曲，使緩沖襯墊的主受力面不要集中在管腳上。 f.考慮電子槍包裝應(yīng)便于庫存盤點、集合裝卸等流通作業(yè)，因此，在設(shè)計內(nèi)包裝時應(yīng)考慮電子槍在緩沖結(jié)構(gòu)上的布局排列、擺放數(shù)目等因素。 （3）電子槍包裝方法 瓦楞紙板托架

4、結(jié)構(gòu)包裝防護方案 紙漿模塑襯墊結(jié)構(gòu)包裝防護方案 發(fā)泡聚乙烯襯墊結(jié)構(gòu)包裝防護方案,包裝防護方案1: 瓦楞紙板托架結(jié)構(gòu)包裝防護方案,包裝防護方案2: 紙漿模塑襯墊結(jié)構(gòu),包裝防護方案3: 發(fā)泡聚乙烯襯墊結(jié)構(gòu),二、三類振動問題 包裝產(chǎn)品系統(tǒng)的振動問題可用輸入、系統(tǒng)、輸出之間的關(guān)系框圖描述，外部載荷（激勵，輸入）作用于包裝產(chǎn)品（系統(tǒng)）使之產(chǎn)生振動響應(yīng)（或輸出,三類振動問題 已知激勵、系統(tǒng)求響應(yīng)（第一類問題：動力分析）。這是工程中最基本和最常見的問題，主要任務(wù)是驗算結(jié)構(gòu)、產(chǎn)品在工作狀態(tài)的動力響應(yīng)、變形、位移、應(yīng)力是否滿足預(yù)定要求。 已知輸入、輸出求系統(tǒng)（第二類問題：系統(tǒng)識別）。它包括物理參數(shù)識別和模態(tài)參數(shù)

5、識別。物理參數(shù)識別獲取系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質(zhì)量、剛度及阻尼系數(shù)。模態(tài)參數(shù)識別獲取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，如系統(tǒng)的固有頻率、振型、阻尼比等。系統(tǒng)識別是振動的第一種逆問題，振動力學(xué)是它的基礎(chǔ)理論。 已知系統(tǒng)、輸出求輸入（第三類問題：環(huán)境預(yù)測）。這是振動的第二種逆問題。例如，為了避免包裝產(chǎn)品在公路運輸中破損，需要估計運輸環(huán)境，為產(chǎn)品設(shè)計可靠而有效的振動防護包裝,三、振動力學(xué)模型,最簡單的模型是單自由度線性系統(tǒng)（圖2-2）力學(xué)模型： 把產(chǎn)品假定為質(zhì)量均勻的剛體，且具有一個自由度； 忽略包裝箱質(zhì)量和彈性；不計緩沖材料或襯墊的質(zhì)量，并把緩沖材料或襯墊視為具有粘性阻尼的彈性體； 由慣性元件（m）、阻尼元件（c）、彈性

6、元件（k）所組成集中參數(shù)系統(tǒng),圖2-2 單自由度線性系統(tǒng)力學(xué)模型 u(t) ：外部位移激勵，x(t)：產(chǎn)品位移,在運輸物流過程中，產(chǎn)品上靈敏或脆弱的部件最容易發(fā)生破損，這種部件稱之為易損件。 需要分析易損件的響應(yīng)而無需計入包裝箱的質(zhì)量時，可采用兩自由度線性系統(tǒng)（圖2-3）描述，產(chǎn)品只含有一個易損件。 若包裝產(chǎn)品含有幾個易損件，可采用多自由度線性系統(tǒng)描述（圖2-4）。 描述運輸過程中包裝產(chǎn)品的重疊放置的振動力學(xué)模型很復(fù)雜，可采用多自由度線性系統(tǒng)描述（圖2-5,圖2-3 兩自由度線性系統(tǒng)力學(xué)模型,圖2-4 三自由度線性系統(tǒng)力學(xué)模型,圖2-5 包裝產(chǎn)品重疊放置時 的力學(xué)模型,四、動力學(xué)方程建立方法

7、1、牛頓第二定律 對質(zhì)點的標(biāo)量形式,對力學(xué)體系的標(biāo)量形式,R約束力向量： F主動力向量,2-2,2-1,假設(shè)只存在n個約束，則質(zhì)點系的動力學(xué)問題可描述為,2-3,2、達朗伯原理,對力學(xué)體系,2-4,2-5,對質(zhì)點,3、拉格朗日方程 T 系統(tǒng)動能，U系統(tǒng)勢能，L拉格朗日函數(shù)（等于系統(tǒng)的動能T與U之差，即 L=T - U）， 廣義動量， 拉格朗日力， 廣義坐標(biāo)（位移）， 廣義速度， 廣義力,2-6,一、簡諧激勵條件下的強迫振動 由牛頓第二定律，包裝產(chǎn)品的動力學(xué)方程可寫成,2-7,f(t)是簡諧函數(shù)，如 f(t)是周期函數(shù)，如 f(t)既不是簡諧函數(shù)，也不是周期函數(shù),第二節(jié) 單自由線性系統(tǒng)的強迫振動

8、,簡諧激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)由初始條件引起的自由振動、伴隨強迫振動發(fā)生的自由振動、等幅穩(wěn)態(tài)強迫振動三部分組成。前兩部分由于阻尼的存在，是逐漸衰減的瞬態(tài)振動，稱為瞬態(tài)響應(yīng)。第三部分是與激勵同頻率、同時存在的簡諧振動，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)只存在于振動的初始階段，該階段稱為過渡階段。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)存在于穩(wěn)態(tài)階段。當(dāng)激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率很接近，將發(fā)生共振現(xiàn)象。 過渡階段（瞬態(tài)響應(yīng)） 穩(wěn)態(tài)階段（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 共振現(xiàn)象,包裝產(chǎn)品系統(tǒng)受到簡諧激振力 的動力學(xué)方程,2-8,2-9,1簡諧振動（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)階段） Laplace變換法,復(fù)數(shù)法 設(shè)復(fù)數(shù)形式的特解為,取,2-10,2-11,2-12,B0 是質(zhì)量塊在激振力

9、作用下的最大靜位移,將式（2-11）代入式（2-10），得到復(fù)數(shù)形式的特解 取式(2-13)的虛部，得到方程(2-8)的特解,2-13,2-14,引入無量綱的放大因子Tr，且定義為,線性系統(tǒng)對于簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激勵頻率而相位滯后于激振力 f(t)的簡諧振動。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位差只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（如質(zhì)量、剛度、阻尼）和激振的頻率和力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式（初始條件）無關(guān),2-15,2-16,在式(2-11)、(2-14)、(2-15)中令 ，則得到無阻尼系統(tǒng)在 簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 當(dāng) 時， ， ， 。 當(dāng) 時， ， ， 或 。這時相位差反映在 的符號中。 系統(tǒng)

10、響應(yīng)的振幅急劇增大的現(xiàn)象稱之為共振 ，此時有,2-17,2、瞬態(tài)響應(yīng)（瞬態(tài)振動，過渡階段,通解+特解=全解,2-18,2-20,2-19,2-21,式(2-21)右端的第一項是系統(tǒng)在無激勵時的自由振動，第二項是自由伴隨振動，第三項是穩(wěn)態(tài)強迫振動。自由伴隨振動的特點是振動頻率為系統(tǒng)的固有頻率，但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵因素有關(guān)。由于阻尼的存在，作為瞬態(tài)響應(yīng)的自由振動和自由伴隨振動都將隨時間逐漸衰減為零（經(jīng)過充分長時間后），只剩下穩(wěn)態(tài)強迫振動,2-22,若初始位移與初始速度都為零（零初始條件），則式(2-21)可寫成,圖2-6 零初始條件下的諧振響應(yīng),3、強迫振動中的能量關(guān)系 無阻尼自由振動 ,

11、 等幅振動 有阻尼自由振動 , 衰減振動 要維持等幅振動，系統(tǒng)必須由外界吸收能量，即由激振力對系統(tǒng)作功,一周期內(nèi)）阻尼耗能： （一周期內(nèi)）激振力作功,二、周期激勵下的強迫振動 系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)通常指穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可利用周期激勵的諧波分析來研究。 首先將周期激勵分解成一系列不同頻率的簡諧激勵； 然后求出系統(tǒng)對不同頻率的簡諧激勵的響應(yīng)； 再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各個響應(yīng)疊加而得到系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng),周期激振力,若f(t)滿足狄利克雷條件，則采用傅里葉級數(shù)將f(t)展開,2-23,把式（2-23）代入方程（2-8），得系統(tǒng)的運動微分方程為,2-24,由疊加原理得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),當(dāng)=0時,2-

12、25,2-26,三、任意激勵下的系統(tǒng)響應(yīng),工程實際中，一般情況下的激振力既不是簡諧波，也不是周期性函數(shù)，而是非周期性任意激勵。 任意激勵或者作用時間很短（或極短）的脈沖激勵下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，只有瞬態(tài)響應(yīng)，它可以通過脈沖響應(yīng)或階躍響應(yīng)來分析,1、單位脈沖響應(yīng)（也稱脈沖響應(yīng)） 沖量為U 的脈沖力可借助函數(shù)表示為 ，當(dāng) 時就成為單位脈沖力，即 。 在零初始條件下系統(tǒng)對單位脈沖力的響應(yīng)，稱之為單位脈沖響應(yīng)。記0-，0+分別為單位脈沖力作用瞬間的前后時刻，則系統(tǒng)的運動微分方程（2-8）與零初始條件可寫成,2-27,動量定理： 故在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這 一瞬間位移沒有改

13、變，,2-28,2-29,2-30,2-31,2-32,時,因此，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是初始位移為零而初始速度為 的自由振動，記為h(t)，其表達式為,2-33,無阻尼時,2-34,2-35,2、任意激勵下的系統(tǒng)響應(yīng),當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力作用時，可以把激振力 f(t)看做是一系列脈沖的疊加。在時刻 t=的脈沖力的沖量為 ，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為,2-36,Duhamel積分,如果系統(tǒng)在 t=0 時有初始位移 x0、初始速度 ，則系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)為,2-37,2-38,2-39,卷積,或 由于Duhamel積分是系統(tǒng)在零初始條件下的響應(yīng)，故當(dāng)激勵為簡諧激勵時，Duhamel積分即自由伴隨

14、振動和穩(wěn)態(tài)強迫振動兩部分,2-40,例1 有阻尼單自由度線性系統(tǒng)對階躍激振力的響應(yīng),例2 無阻尼單自由度線性系統(tǒng)對矩形脈沖激振力的響應(yīng),例3 無阻尼單自由度線性系統(tǒng)對后峰鋸齒脈沖激振力的響應(yīng),例4 無阻尼單自由度線性系統(tǒng)對半正弦脈沖激振力的響應(yīng),例5 無阻尼單自由度線性系統(tǒng)對斜坡階躍激振力的響應(yīng),第三節(jié) 多自由度線性系統(tǒng)的振動 工程上較復(fù)雜的振動問題需要采用多自由度線性系統(tǒng)的振動原理來分析解決 。一個具有n個自由度的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的運動微分方程一般是n個相互耦合的二階常微分方程組成的方程組。 對n自由度的無阻尼系統(tǒng)，它具有n個固有頻率（有可能出現(xiàn)重值），當(dāng)系統(tǒng)按任意一個固有頻率作自由振動時，系

15、統(tǒng)的運動是一種同步運動，稱為主振動。系統(tǒng)作主振動時所具有的振動形態(tài)稱為主振型，或稱為模態(tài),在初始干擾下，系統(tǒng)的自由振動是n個主振動的疊加。對于特殊選取的n個廣義坐標(biāo)，使得系統(tǒng)運動微分方程的全部耦合項都不出現(xiàn)，這樣的坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。采用主坐標(biāo)，n自由度線性系統(tǒng)的振動可當(dāng)作n個單自由度線性系統(tǒng)的振動來分析，再通過疊加得到系統(tǒng)原來的振動，這種分析方法稱為振型疊加法。 振型疊加法適用于比例阻尼或振型阻尼系統(tǒng),固有振動 系統(tǒng)響應(yīng)（自由振動、強迫振動、振型疊加法） 傳遞函數(shù)、復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 復(fù)模態(tài)分析法,一、多自由度線性系統(tǒng)的固有振動 1、作用力方程,圖2-7 兩自由度線性系統(tǒng),2-41,2-42,運動微分

16、方程,矩陣形式,2-43,多自由度線性系統(tǒng)動力學(xué)方程矩陣形式,2-44,1）剛度影響系數(shù)計算 假設(shè)外力以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)，即,2-45,再假定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其它各個坐標(biāo)上都不產(chǎn)生位移，即產(chǎn)生的位移向量為,影響系數(shù)法：根據(jù)質(zhì)量影響系數(shù)、剛度影響系數(shù)、阻尼影響系數(shù)分別確定M、K、C，再建立作用力方程,因此，所施加的這組外力在數(shù)值上正好是剛度矩陣的第j列，kij 是在第i個坐標(biāo)上所施加的力。故剛度矩陣K中的元素kij是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第個i坐標(biāo)上所施加的力。kij稱為剛度影響系數(shù),2-46,現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬間，只產(chǎn)

17、生加速度而不產(chǎn)生位移和速度，即,2-47,再假定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其它各個坐標(biāo)上都不產(chǎn)生加速度，即加速度向量為,2）質(zhì)量影響系數(shù)計算,2-48,即所施加的這組外力在數(shù)值上正好是質(zhì)量矩陣的第j列。因此，質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力。mij稱為質(zhì)量影響系數(shù),阻尼矩陣C中的元素Cij稱為阻尼影響系數(shù)，其物理意義是：使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)上所需施加的力。阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣，可以按工程上各種理論及經(jīng)驗公式求出，或直接由實驗數(shù)據(jù)確定,3）阻尼影響系數(shù)

18、計算,2、慣性耦合及彈性耦合,對式（2-44）所描述的n自由度線性系統(tǒng)的運動微分方程，若矩陣中非對角元素非零則稱之為耦合項。質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)的耦合項稱為慣性耦合，剛度矩陣中出現(xiàn)的耦合項稱為彈性耦合。 耦合的物理意義可以簡單地用兩自由度系統(tǒng)為例說明,如果系統(tǒng)僅在第一個坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度，即 , ,則,結(jié) 論 不出現(xiàn)慣性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上產(chǎn)生慣性力；出現(xiàn)慣性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會在其它坐標(biāo)上引起慣性力； 不出現(xiàn)彈性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力；出現(xiàn)了彈性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會在其它坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力。 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的

19、選擇，若選用主坐標(biāo)，可使得多自由度線性系統(tǒng)的運動微分方程完全解耦。 主坐標(biāo)指使多自由度線性系統(tǒng)運動微分方程的全部耦合項都不出現(xiàn)的坐標(biāo)。它是求解多自由度線性系統(tǒng)的振動問題中的一個十分重要的概念，而單自由度線性系統(tǒng)中是沒有的,3、主振動、固有頻率、主振型（固有振動,時式（2-44）被改寫成,2-49,2-50,2-51,描述系統(tǒng)的同步運動,由于在正定或半正定振動系統(tǒng)中，M正定、K正定或半正定,式（2-51,2-52,2-53,2-54,系統(tǒng)的運動形式為 因此，正定系統(tǒng)只可能出現(xiàn)的同步運動有兩種： 簡諧振動。系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都以相同的頻率及初始相位作簡諧運動。 剛體運動。半正定系統(tǒng)除了能出現(xiàn)簡諧振動

20、之外，還能出現(xiàn)剛體運動（這是一種可以無限遠(yuǎn)離原平衡位置的剛體運動，系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形,2-55,若把常數(shù)并入式（2-55）中 的各元素內(nèi)，主振動（這里指簡諧振動）可寫成,2-56,把式（2-56）代入式（2-49），得到代數(shù)齊次方程組,克萊姆法則,2-57,2-58,2-59,矩陣 稱為特征矩陣，記為,2-60,2-61,2-62,2-63,令 ，解方程組（2-63），得第i階特征向量為,代入式（2-55,將,2-64,2-65,在振動中把i稱作第i階主振型。主振型也稱作固有振型或主模態(tài)。主振型僅取決于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M 、剛度矩陣K等物理參數(shù)。主振型是多自由度系統(tǒng)中的一個重要概念，在單自由度系

21、統(tǒng)中是沒有的。多自由度系統(tǒng)的固有振動是n個主振動的疊加,把式（2-57）所描述的特征方程 改寫為,2-66,2-67,2-68,2-69,式（2-68）中的矩陣 的最大特征值是 ， 而式（2-69）中的矩陣,的最大特征值是,4、主振型的正交性,主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有正交性質(zhì),式（2-67,2-70,2-71,2-72,2-73,由式（2-72）和（2-73）相減，得,2-74,2-75,2-76,式（2-75）和式（2-76）表明：對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性,式（2-73）總成立，令 顯然，主質(zhì)量 總是正實

22、數(shù)，主剛度 在正定系統(tǒng)中是正實數(shù)，而在半正定系統(tǒng)中 除正實數(shù)外還可以是零,式（2-73,2-77,2-78,2-79,式（2-75）和（2-77）可合寫成矩陣形式，即,由式（2-76）和（2-78）得,2-80,2-81,2-82,記 是主振型,主振型正交的物理意義可以從能量角度解釋,位移響應(yīng),系統(tǒng)動能,系統(tǒng)勢能,系統(tǒng)在第i階主振動時的能量表達式,由于主振型之間的正交性，系統(tǒng)的動能（勢能）等于各階主振動單獨存在時系統(tǒng)的動能（勢能）之和，而且對每一階主振型，雖然其動能與勢能在相互交換，但總和是一個常數(shù)（恒定值），即各階主振動之間不發(fā)生能量交換（或轉(zhuǎn)換,5、振型矩陣與譜矩陣,引入振型矩陣 ，也稱之

23、為模態(tài)矩陣，且定義為,2-83,2-84,2-85,主質(zhì)量矩陣,主剛度矩陣,在式（2-70）中依次取 ，所得到的n個方程合并寫成矩陣形式,對式（2-86）兩邊左乘 ，由式（2-84）和式（2-85）得,2-86,2-87,2-88,譜矩陣,譜矩陣的表達式可寫成,2-89,6、主坐標(biāo)及解耦,2-90,2-91,2-92,假設(shè)對同一系統(tǒng)所選擇的兩種不同坐標(biāo)x與y之間的變換關(guān)系有,K陣，M陣都是對稱的,任意一個 n維向量 x都能唯一的被表示成n個主振型的線性組合，即,是新坐標(biāo),2-93,而主振型是 的坐標(biāo)架。該式表明，系統(tǒng)任何一種可能的運動都可以用主振型（或主模態(tài)）的線性組合來描述,第i階主振型i對

24、系統(tǒng)運動x的貢獻的度量,將式（2-93）代入方程組（2-49）所描述的固有（或自由）振動方程，得,2-94,2-95,2-96,由于主質(zhì)量矩陣 Mp ,主剛度矩陣 Kp都是對角陣，方程（2-95）或（2-96）中已不再存在坐標(biāo)耦合，即解耦。因此，振型矩陣就是要尋找的D陣,就是主坐標(biāo)。 正則坐標(biāo)是主坐標(biāo)中的一種特例,正則坐標(biāo),2-97,2-98,正則振型,2-99,將式（2-98）代入式（2-99），得,相應(yīng)于 的主剛度為,2-100,2-101,以正則振型作為列的振型矩陣 稱為正則振型矩陣。 由式（2-100）知 把式（2-97）代入方程組（2-49）所描述的固有振動方程，得,2-102,2-

25、103,2-104,2-105,或,2-106,2-107,例1：圖2-8（a）是一個三自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，試分析固有頻率、主振型、振型矩陣、主剛度矩陣 、主質(zhì)量矩陣 、正則振型矩陣,采用正則坐標(biāo)描述n自由度位移的運動，能獲得形式最簡單的運動方程,2k,2k,k,k,m,m,m,a,圖2-8,解：系統(tǒng)的固有振動方程（或自由振動方程）為,主振動,a,b,代入式（a）得,式（c）改寫成,令,令特征矩陣的行列式等于零，得特征方程,c,d,e,解之得: ，,系統(tǒng)的固有頻率為,由特征矩陣的伴隨矩陣得到,若選擇上式右端矩陣的第1列，分別將 的值代入，得到三個主振型為,f,振型圖（圖2-8（b）（d），顯

26、然第二階主振型中有一個節(jié)點，而第三階主振型中有兩個節(jié)點，這由主振型內(nèi)元素符號的變化次數(shù)也可以判斷,主剛度矩陣為,主質(zhì)量矩陣為,的非對角項等于零，說明主振型是關(guān)于剛度矩陣及質(zhì)量矩陣相互正交的。譜矩陣（作為檢驗）為,即,二、多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) 無阻尼多自由度線性系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)（自由振動） 無阻尼多自由度線性系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)（強迫振動） 有阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng),1、無阻尼多自由度線性系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)（自由振動） n自由度無阻尼線性系統(tǒng)的自由振動方程,設(shè)初始條件,2-108,2-109,則在正則坐標(biāo)下的自由振動方程為,2-110,2-111,或,2-112,該方程已經(jīng)全部解耦,

27、2-113,且 。對于主坐標(biāo)，則有,把式（2-113）代入式（2-110），得,正則坐標(biāo)的初始條件,自由振動可描述為,2-114,2-115,2-116,2-117,自由振動的運動形式可寫成,由式（2-110）求出物理坐標(biāo)下的自由振動為,2-118,2-119,2、無阻尼多自由度線性系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)（強迫振動） n自由度無阻尼線性系統(tǒng)在任意激勵下的強迫振動方程,2-120,或,2-121,2-122,式（2-121）的n個方程已經(jīng)全部解耦，第i個方程為,假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為式（2-109）所示,系統(tǒng)響應(yīng),求解n自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的方法稱為振型疊加法或模擬疊加法,2-123,2-124,2-

28、125,如果以一般的振型矩陣 取代正則振型矩陣,2-126,2-127,2-128,或,式（2-128）所描述的 n個方程都幾經(jīng)解耦，第 i個方程為,或,式（2-126,2-129,2-130,2-131,初始條件： 根據(jù)單自由度線性系統(tǒng)在任意激勵下的響應(yīng)可寫出n自由度系統(tǒng)在 第i個坐標(biāo)的響應(yīng),2-132,2-133,物理坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)： 假設(shè) F(t)是同一頻率的簡諧激振力向量，即,式（2-129,2-134,2-135,2-136,2-137,2-138,把各個坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)代入式（2-139）得到系統(tǒng)對簡諧激勵的 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,2-139,2-140,2-141,當(dāng) 時，第s階主振動的振

29、幅會變得很大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第 s階共振，式（2-141）可以寫成 系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除了采用振型疊加法之外，還可采用 直接解法求得,將式（2-143）代入式（2-120），得,2-142,2-143,2-144,設(shè)n階方陣H是無阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣，且定義,由式（2-144）解得,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),2-145,2-146,2-147,與式（2-141）比較得出,或直接推導(dǎo),把式（2-149）展為級數(shù)形式，即式（2-148）、式（2-149）稱為幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式。若采用正則模態(tài)取代主模態(tài)，式（2-148）、式（2-149）可以改寫成,2-148,2-149,2-150,的物

30、理意義 : 把上式代入式（2-147）得,僅在系統(tǒng)第j個坐標(biāo)上有簡諧激勵而相應(yīng)于第i個坐標(biāo)的幅頻響 應(yīng)函數(shù)。 例2：假設(shè)圖2-8所示系統(tǒng)中左邊第一質(zhì)量上作用有激振力 試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),2-151,2-152,解：已知系統(tǒng)的固有頻率為 正則振型矩陣,激振力向量,正則坐標(biāo)下的激振力向量,第一個正則方程是,相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),同樣可解出第2個、第3個正則方程的穩(wěn)態(tài)解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 由于激振頻率接近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中第二階振型 占主要成分,3、有阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) (1) 阻尼矩陣的近似處理方法,2-153,2-154,該條件較為苛刻，一般的有阻尼多自由度系統(tǒng)不滿足式（2-

31、155）所給出的條件，因而主坐標(biāo)方法已經(jīng)不再適用，振動分析將變得十分復(fù)雜。為了能沿用無阻尼多自由度系統(tǒng)中的主坐標(biāo)方法，工程上常對阻尼矩陣采用近似處理方法。 方法1：非對角元素忽略法 方法2：比例阻尼法 方法3：實驗測定法,解耦的充分必要條件,2-155,方法1：非對角元素忽略法。忽略矩陣 中的全部非對角元素，取,式（2-154）已經(jīng)解耦, 第i個方程,2-156,2-157,2-158,方法2：比例阻尼法。將矩陣C假設(shè)為比例阻尼，即,2-159,2-160,2-161,方法3：實驗測定法。由于各種阻尼的機理很復(fù)雜，實際的阻尼矩陣C不容易精確測定或計算。當(dāng)阻尼比較小的時候，常通過實驗直接測定各階

32、振型阻尼比 ，以確定式(2-157)中的各個參數(shù)。矩陣 可由式（2-156）及式（2-161）得到。這種方法有較大的實用價值，但是只適用于各階阻尼比 的情況,2) 有阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng) 利用上述對阻尼矩陣的幾種近似處理方法所得到的矩陣 都是對角矩陣，稱為主阻尼矩陣，此時主坐標(biāo)下的強迫振動方程已全部解耦。故根據(jù)單自由度線性系統(tǒng)的振動理論，可得到系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng),2-162,2-163,計算有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)的步驟 （振型疊加法） 對相應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)作固有振動分析，求出各階固有頻率及相應(yīng)的主振型； 利用振型矩陣作坐標(biāo)變換，使動力學(xué)方程解耦，阻尼矩陣采用近似處理方法； 計算主坐標(biāo)下的初始條件

33、和激勵向量； 計算系統(tǒng)在主坐標(biāo)下的響應(yīng)； 將主坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為原來物理坐標(biāo)下的響應(yīng),若計算有阻尼系統(tǒng)在簡諧激振力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 主坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解,2-163,2-164,2-165,2-166,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 當(dāng) 時，系統(tǒng)發(fā)生第 s階共振,2-168,2-169,當(dāng)振型阻尼比較小時，系統(tǒng)的振動形態(tài)接近第s階主振型，即,因此，可以用一般的共振實驗方法近似測定系統(tǒng)的各階固有頻率及相應(yīng)的主振型。由式（2-168）還可以看到，如果激振力幅向量與第s階主振型正交，即 ，式（2-168）的展開式中不包括相應(yīng)于 的這一項，故未被激勵所激發(fā)的主振型對系統(tǒng)的響應(yīng)沒有貢獻,3) 傳遞函數(shù)矩陣與幅頻響應(yīng)函數(shù)矩

34、陣 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,Laplace變換，假設(shè)零初始條件,2-170,2-171,2-172,系統(tǒng)的輸出與 輸入關(guān)系,故傳遞函數(shù)矩陣只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量、剛度及阻尼物理性質(zhì)（參數(shù)），且 令 由式（2-171）、式（2-173）得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函 數(shù)矩陣,2-173,2-174,頻率域內(nèi)輸出與輸入的關(guān)系,2-175,2-176,幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣只取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)，它在計算系統(tǒng)響應(yīng)以及確定系統(tǒng)的動力特性學(xué)方面都很有用處,第四節(jié) 一般粘性阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) 首先來考察一般粘性阻尼系統(tǒng)的矩陣特征值問題。 有非零解的充要條件（克萊姆法則）是 式（2-179）描述了一般粘性阻尼系統(tǒng)的

35、特性方程，它是關(guān)于 的2n次代數(shù)多項式方程,2-177,2-178,2-179,當(dāng)阻尼矩陣不能近似處理時，主坐標(biāo)法（振型疊加法）不能沿用，可采用狀態(tài)方程法（復(fù)模態(tài)方法,現(xiàn)對式（2-178）補充一個方程 則式（2-180）與式（2-178）可以合寫成,或,2-180,2-181,設(shè) 在式(2-181)中令 ，再將式（2-182）代入，得 由于描述的是同一個系統(tǒng)，式（2-183）與式（2-178）有著相同 的特征值，通過比較式（2-182）與式（2-177） ，得知兩者的 特征向量的關(guān)系為,2-182,2-183,2-184,式（2-183）的矩陣特征值問題在形式上與 完全相同。記 為對應(yīng)于 ，則

36、必然存在類似于 的正交性，即有,2-185,2-186,當(dāng) 時，記 由式（2-183）可以推導(dǎo)出 記為2n階方陣，且定義,2-187,2-188,2-189,假定系統(tǒng)的 2n個特征值互不相同，式（2-185）式（2-187）給出的正交性可以表示為矩陣形式 如果將 階矩陣 及2n階對角陣 定義為,2-190,2-191,2-192,2-193,對式（2-181）作坐標(biāo)變換，令 把上式代入式（2-195），得到 該方程已全部解耦。第i個方程,或,2-194,2-195,2-196,2-197,2-198,式（2-198,Laplace 變換,Laplace 逆變換,2-199,2-200,2-20

37、1,第 i個初始條件： 再根據(jù),2-202,2-203,2-204,2-205,一般粘性阻尼系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)： 式（2-205） 將式（2-200）代入式（2-207），得,Laplace變換,零初始條件,2-206,2-207,2-208,2-209,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 把上述兩式相減，得 2n個復(fù)模態(tài) 之間存在的n個線性關(guān)系，其矩陣形式為 式(2-210,2-210,2-211,2-212,2-213,2-214,如果激勵為簡諧激勵，用復(fù)數(shù)表示為 ，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可通過在式（2-197）中令 ，x是振幅列向量，代入式 于是，系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為,2-215,第五節(jié) 多

38、自由度線性系統(tǒng)振動的近似解法 多自由度線性系統(tǒng)的固有振動歸結(jié)為求解矩陣特征值問題，當(dāng)自由度數(shù)較大時，這種求解的計算工作量非常大，已不適合采用手算方法，對特征多項式求根。 多自由度線性系統(tǒng)的廣義矩陣特征值問題可描述為 標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問題可寫成 系統(tǒng)的剛度矩陣與柔度矩陣之間的關(guān)系,2-216,2-217,2-218,除了代數(shù)多項式求根這一類方法外，還有向量迭代法、矩陣變換法可用于求解矩陣特征值問題，這些方法通常要借助計算機來實現(xiàn)。 矩陣迭代法屬于向量迭代法，過程簡單，適宜于解自由度數(shù)不很大的系統(tǒng)最低的幾階固有頻率及主振型。 子空間迭代法兼有向量迭代法和矩陣變換法的特點，對于求解大型復(fù)雜振動系統(tǒng)較

39、低的若干階固有頻率及主振型非常有效。 求解系統(tǒng)響應(yīng)近似解的振型截斷法。 從能量守恒原理出發(fā)求解系統(tǒng)最低（或較低）的幾階固有頻率的方法，如鄧柯萊法（簡單實用）、瑞利法、里茲法,一、鄧柯萊法,由該公式計算出的基頻是精確值的下限,2-221,二、瑞利法 對于保守系統(tǒng)，從 得到瑞利商 的表達式 若振型 X 就是第 r階主振型 ，則瑞利商為,2-222,2-223,2-225,2-224,當(dāng) 時，確有 ，所以R(X)的最（極）小為 。同樣，可以證明 R(X)的極大值為,2-226,2-227,三、里茲法（Ritz）法 瑞利法計算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精

40、確的上限。 里茲法對近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進一步下降，并且可以得到系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型。 里茲法假設(shè)系統(tǒng)的近似主振型為 把式（2-228）代入瑞利商的表達式得,2-228,2-229,是s階方陣，且 由于R(X)在系統(tǒng)的真實主振型處于駐值，所以的各元素應(yīng)當(dāng)從 方程 確定。由于剛度矩陣、質(zhì)量矩陣的階數(shù)s一般小于系統(tǒng)自由度數(shù)n，上式所示的矩陣特征值問題比原來系統(tǒng)的矩陣特征值問題求解容易。因而，里茲法實際上是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)求固有振動的近似解法,2-231,2-230,2-232,四、矩陣迭代法 在求解系統(tǒng)的動力響應(yīng)時，系統(tǒng)較低的前幾段固有頻率及相應(yīng)的主振

41、型占有較重要的地位，采用矩陣迭代法既實用又比較簡單。 矩陣特征值問題,2-233,2-234,2-235,2-236,若特征值 是特征方程的重根，則上式中的 都小于1。因此，與其它主振型相比較，第一階主振型 在X2內(nèi)占的比重相對比在X1中占的比重要大，即用矩陣A 迭代計算一次以后，擴大了迭代向量中第一階主振型的優(yōu)勢,隨著迭代次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢越來越擴大。當(dāng)?shù)螖?shù)充分大時，由上式近似得到,為了防止迭代過程中迭代向量的元素變得過大或者過小，每次迭代后需要使向量歸一化，例如使它最后一個元素成為1,五、子空間迭代法 把矩陣迭代法與里茲法相結(jié)合就可以得到一種新的計算方法，即子空間迭代法，它

42、對求解自由度數(shù)較大的系統(tǒng)較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效。 六、振型截斷法 對自由度數(shù)n很大的復(fù)雜振動系統(tǒng)，不可能求出全部的固有頻率和相應(yīng)的主振型，再用振型疊加法分析系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)。當(dāng)激勵頻率主要包含低頻成份時，可以不考慮高階振型及固有頻率對響應(yīng)的貢獻，而只利用較低的前面若干階固有頻率及主振型近似分析系統(tǒng)的響應(yīng)，這就是工程上常用的振型截斷法。 假設(shè)已經(jīng)求出系統(tǒng)較低的前s階固有頻率、主振型 ，則無阻尼系統(tǒng)在第 i個主坐標(biāo)的響應(yīng)描述為,則式（2-133）可以寫成 略去高階振型部分，就得到下列近似的系統(tǒng)響應(yīng),2-237,如果考慮系統(tǒng)阻尼，并假定其主阻尼矩陣 是對角陣，則只需要確定前s階的振型

43、阻尼比，而將高階的振型阻尼比 假定為零，即有 撇去高階振型部分，得到有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的近似解,2-238,第六節(jié) 非線性振動簡介 線性振動理論的研究始于牛頓（Newton I.）時代，并建立在牛頓經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上，是完全的決定論思想。拉格朗日（Lagrange J. L.）曾系統(tǒng)地研究過微振動理論。 由于線性微分方程理論已經(jīng)發(fā)展得比較完善，所以線性振動理論也發(fā)展得相當(dāng)完善。 疊加原理作為線性振動理論的基礎(chǔ)之一，在非線性振動系統(tǒng)中不再適用，因而線性振動理論中一系列的方法和原理，如模態(tài)疊加法、瞬態(tài)振動中杜哈美（Duhamel）積分、模態(tài)分析和模態(tài)綜合等等，在非線性振動理論中都不再適用,一、非線性振動特

44、點 1、非線性系統(tǒng)中，特別是強非線性系統(tǒng)和非線性高階系統(tǒng)中，解的形式究竟有幾種，目前尚未完全搞清楚。已知的解的形式中，往往一個非線性系統(tǒng)有幾個平衡狀態(tài)和周期解。有些周期解和平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，即可以實現(xiàn)的。而另一些周期解和平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，即不可以實現(xiàn)的。因而研究非線性振動解的形式和研究解的穩(wěn)定性是不可分離的。若控制系統(tǒng)運動的方程中含有參數(shù)，當(dāng)參數(shù)變化時，解也隨之變化。有時在某些參數(shù)附近，參數(shù)有很小的變化，解就會發(fā)生根本性變化，甚至穩(wěn)定性也發(fā)生質(zhì)的變化。這是線性振動中沒有的。工程中某些非線性問題，往往需要確定解的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)的分界線，需要研究參數(shù)變化時，解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化,2、阻尼的機理目

45、前尚未完全研究清楚。在線性振動中，人們往往將其假設(shè)為線性阻尼，甚至有時假設(shè)為比例阻尼，這樣假設(shè)有一定的工程背景，而且微分方程容易求解，解也具有一定的精度。線性阻尼的存在使線性系統(tǒng)振動衰減。在非線性系統(tǒng)中，有時會存在非線性阻尼（如負(fù)阻尼、平方阻尼、遲滯阻尼），即使沒有周期性干擾力的作用，系統(tǒng)也可能出現(xiàn)周期解。 3、在單一頻率周期性干擾力作用下，非線性系統(tǒng)受迫振動定常解會出現(xiàn)與干擾力同頻成分，有時又會出現(xiàn)不同頻率成分，即出現(xiàn)亞諧波、超諧波和超亞諧波等。當(dāng)干擾力的頻率從大到小或從小到大連續(xù)地變化時，系統(tǒng)受迫振動的振幅會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，而且頻率變化順序不同時，跳躍點的位置也不同,二、非線性振動理論的主要內(nèi)容 1、動力學(xué)方程的建立 非線性振動系統(tǒng)的力學(xué)問題，可以用一個或一組非線性微分方程、差分方程甚至代數(shù)方程來描述，因而方程的建立是最根本的問題。力學(xué)中的牛頓定律、達朗伯（d Alembert，J.R.