各種積分的聯(lián)系式及其在場論中的應(yīng)用

1、一、格林公式,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件,第八節(jié) 各種積分的聯(lián)系及其在場論中的應(yīng)用,三、Stokes公式與旋度,四、Gauss公式與散度,五、幾種重要的特殊向量場,連通區(qū)域的分類,設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,平面區(qū)域D邊界曲線L的正向,當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí),D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左側(cè),一、 格林公式,定理1,公式(1)叫做格林公式,2. 若D是復(fù)連通區(qū)域,則公式(1)右端為D的全部邊界的曲線積分,且邊界的方向?qū)來說都是正向,注意,證明,1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 ,

2、 又是 Y - 型區(qū)域 , 且,則,即,同理可證,兩式相加得,2) 若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割,為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖,證畢,例1,設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明,證: 令,則,利用格林公式 , 得,格林公式的應(yīng)用,1. 簡化曲線積分,例3. 計(jì)算,其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn),的分段光滑正向閉曲線,解: 令,設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知,注意格林公式的條件,2. 簡化二重積分,正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積,例如, 橢圓,所圍面積,3. 計(jì)算平面圖形的面積,在格林公式中取,得,二、平面上第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件,如果,B,A,曲線積分與路徑

3、無關(guān)的等價(jià)命題,條件,等 價(jià) 命 題,定理2. 設(shè)G 是單連通域,兩條件缺一不可,注意,因此，無旋場是保守場,勢函數(shù)的求法,1.用線積分求,例5. 驗(yàn)證,是有勢場，并求其,勢函數(shù),2.用偏積分求,3.用湊全微分法求,注意,1. 利用曲線積分與路徑的無關(guān)性，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)穆窂竭M(jìn)行積分可大大簡化積分計(jì)算,2.可利用全微分的一個(gè)原函數(shù)來計(jì)算與路徑無關(guān)的曲線積分,斯托克斯公式,三、Stokes公式與旋度,1、斯托克斯公式,為便于記憶，可把斯托克斯公式寫成,Stokes公式的實(shí)質(zhì),表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系,斯托克斯(1819-1903,英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家,他是19世紀(jì)英

4、國,數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其,主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題,的有效且一般的新方法,在1845年他導(dǎo),出了著名的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 ( 后稱之,為納維 斯托克斯方程,1847年先于,柯西提出了一致收斂的概念,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式,他一生的工作先后分 五卷,出版,則有向曲面的法向量的方向余弦,如圖,證,情形1 與平行 z 軸的直線只交于一點(diǎn), 的正向,邊界曲線在x o y面上的投影為平面有向曲線C，C所圍,成的區(qū)域是D x y,所以,因此,則三式相加, 即得斯托克斯公式,情形2 曲面 與平行坐標(biāo) 軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可,通過作輔助線面把 分成與坐標(biāo) 軸只交于

5、一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿輔助,曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對這,類曲面斯托克斯公式仍成立,證畢,斯托克斯公式的又一種形式,其中,即,例1. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分,其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè),解: 記三角形域?yàn)? 取上側(cè),則,邊界, 方向如圖所示,解,則,2、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件,定理2,設(shè) G 是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià),1) 對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有,2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān),3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使,4) 在G內(nèi)處處有,

6、3、 環(huán)量與環(huán)流密度,4、 旋度的定義及其計(jì)算公式,利用旋度,斯托克斯公式可改寫為,或,設(shè)曲面 的法向量為,曲線 的單位切向量為,由環(huán)量密度的定義和Stokes公式的向量形式,可得,利用積分中值定理，可知,利用連續(xù)性,有,或,這就是環(huán)量密度的計(jì)算公式,的外法向量,計(jì)算,解,例3. 設(shè),設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一,點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則,點(diǎn) M 的線速度為,即在剛體旋轉(zhuǎn)的線速場中,任一點(diǎn)M處的旋度,除去一個(gè)常數(shù)因子外,恰好就是剛體旋轉(zhuǎn)的角速度,此即“旋度”一詞的來源,旋度的力學(xué)意義,向量微分算子,定義向量微分算子,它又稱為( Nabla )算子, 或哈密頓( Hamilton )

7、算子,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5、 旋度的運(yùn)算法則,例8.8,求電場強(qiáng)度,的旋度,解,除原點(diǎn)外,這說明, 在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外, 整個(gè)電場無旋度,另解,高斯(1777 1855,德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論,級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng),性的貢獻(xiàn),他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法,曲面論和位勢論等,他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎,原則,代數(shù)、非歐幾何、 微分幾何、 超幾何,在對天文學(xué)、大,恪守這樣的,問題在思想上沒有弄通之前決不動(dòng)筆,四. 高斯 ( Gauss )

8、 公式與散度,定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲,上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù) P, Q, R 在,面 所圍成, 的方向取外側(cè),則有,Gauss 公式,1. 高斯 ( Gauss ) 公式,下面先證,證明: 設(shè),這樣,則,所以,則類似可證,則上三式相加, 即得 Gauss 公式,注:對于其它形狀的區(qū)域,包括有“洞”的區(qū)域，可以利用曲面將其分割成若干子區(qū)域的并，使每一子區(qū)域都滿足用平行于坐標(biāo)軸的直線穿越該子區(qū)域都至多相交于兩點(diǎn)。類似與Green公式和Stokes公式的處理，可證明此情形下Gauss公式,例1. 用Gauss 公式計(jì)算,其中 為柱面,閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè),解: 這里,利用

9、Gauss 公式, 得,原式,用柱坐標(biāo),及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間,思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化,若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算,例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分,其中 為錐面,解: 作輔助面,取上側(cè),介于 z = 0 及,z = h 之間部分的下側(cè),所圍區(qū)域?yàn)?則,在閉區(qū)域 上具有一階和,二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式,例3. 設(shè)函數(shù),其中 是整個(gè) 邊界面的外側(cè),分析,高斯公式,因?yàn)?所以,同理,以上三式相加。得證,2.通量與通量密度,3.散度的定義及其計(jì)算,散度的計(jì)算公式,設(shè)向量場,應(yīng)用積分中值定理,得,于是,由散度的定義,有,即

10、,注:有的文獻(xiàn)就用上式作為向量場A散度的定義,利用散度的定義,Gauss公式可寫為,因此,Gauss公式也稱為散度定理,例,置于原點(diǎn), 電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為,解,4.散度的運(yùn)算法則和公式,內(nèi)容小結(jié),1. 格林公式,2. 等價(jià)條件,在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)(保守場,在 D 內(nèi)有 (有勢場,對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有 (無旋場,在 D 內(nèi)有,設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有,3. 斯托克斯公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 高斯公式及其應(yīng)用,公式,應(yīng)用,1) 計(jì)算曲面積分,非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧,2) 推出閉曲面積分為零的充要條件,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

11、下頁 返回 結(jié)束,5. 場論中的三個(gè)重要概念,設(shè),梯度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,散度,旋度,則,五.幾種重要的特殊向量場,1. 單連通區(qū)域的類型,設(shè)有空間區(qū)域 G,若 G 內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G,則稱 G,為空間二維單連通域,若 G 內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于 G 的曲面,則稱 G 為空間一維單連通域,例如,球面所圍區(qū)域,環(huán)面所圍區(qū)域,立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域,不是二維單連通區(qū)域,既是一維也是二維單連通區(qū)域,是二維但不是一維單連通區(qū)域,是一維但,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件,定理8.6,設(shè) G 是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià),1) 對G內(nèi)任一分段光滑閉