向量組的線性關(guān)系

1、第二節(jié),二、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念,向量間的 線性關(guān)系,三、向量組線性相關(guān)性的判別,一、線性組合與線性表示,第三章,一、線性組合與線性表示,設(shè)有n維向量組,如果存在一組數(shù),則稱,是向量組,的線性組合,定義1,線性表示,稱,可由,若向量,可以由向量組,的線性,即存在一組數(shù),使得,組合來表示,設(shè)由三維向量,我們稱,是,和,的線性組合,組成的向量組,也稱,可由,和,線性表示,例1,例,例,任一n 維向量,都可由n維單位向量組,線性表示,而三維基本單位向量,中任何一個向量,都不能由其他兩個向量線性表示,n維基本單位向量,它們之間彼此是線性無關(guān)(相互獨立)的,中任何一個向量,也不能由其他向量線性表示,

2、設(shè),即,1,定理1,設(shè),是為 n維列向量組,可由,線性表示,有解,其中,因為,中每個向量都可由向量組本身,2)向量組,線性表示,1)零向量可由任一組向量線性表示,例2,已知,線性表示,如能線性表示,解,設(shè)有數(shù),就寫出表達式,使,有唯一解,練習(xí),已知,解,設(shè)有數(shù),就寫出表達式,使,同解方程組為,令,得,k 為任一常數(shù),例3. 判斷,是否為向量組,的線性組合,解: 設(shè),對矩陣,若,設(shè)由三維向量,又可以寫成,組成的向量組,引例,二、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念,如果存在一組不全為0的數(shù),設(shè),為m 個n 維向量組,使,成立,則稱向量組,線性相關(guān),否則稱,則對任意不全為0的數(shù),都有,線性無關(guān),即當(dāng)且僅當(dāng),時

3、,而線性相關(guān)時，除了組合系數(shù)全等于0使等式,若,定義1,根據(jù)向量的線性運算，只能得,例如,則,線性無關(guān),線性相關(guān),例4. 已知,即,判別,是否線性相關(guān),解: 因為,當(dāng)向量組只含一個向量時,為線性無關(guān)向量組,當(dāng),為線性相關(guān)向量組,當(dāng),特別,當(dāng)向量組含兩個非零向量時,設(shè),對應(yīng)分量成正比,與,證明,線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù),或,與,或,例5,使得,若,例如,對應(yīng)分量不成比例,線性無關(guān),對應(yīng)分量成比例,線性相關(guān),幾何上說向量,共線,例6,求證含有零向量的向量組必線性相關(guān),則此向量組必定線性相關(guān),證明,設(shè)向量組,中,取數(shù),必有,線性相關(guān),線性相關(guān),即如果部分組線性相關(guān),則整體組也線性相關(guān),定理2,證

4、明,線性相關(guān),因為,則存在一組不全為0的數(shù),使,成立，因此有,其中,不全為零,線性相關(guān),部分相關(guān)，整體相關(guān),線性無關(guān),線性無關(guān),即：如果整體組線性無關(guān),則部分組也線性無關(guān),定理3,利用定理2，用反證法,定理2 和定理3說明了全體向量組和部分向量組之間,的關(guān)系,整體無關(guān)，部分無關(guān),即：原來無關(guān)，延長無關(guān)！ 原來相關(guān)，縮短相關(guān),線性相關(guān),已知,證明,則存在一組不全為0,的數(shù),使得,則,1、用數(shù)字表示的向量組的線性相關(guān)性的判別,已知,解,設(shè)有數(shù),使得,例7. 判別下列向量組的線性相關(guān)性,三、 向量組線性相關(guān)性的判別,下面分別用數(shù)字表示的具體向量組的線性相關(guān)性,和對字母表示的抽象向量組的線性相關(guān)性進行

5、判別,即,有,得同解方程組,得同解方程組,令,k 為任意實數(shù),由,得,此向量組線性相關(guān),方程組有非零解,未知數(shù)個數(shù)n,此向量組線性相關(guān),小結(jié),首先設(shè)有數(shù),使得,歸結(jié)為判別齊次線性方程組是否有非零解的問題,用數(shù)字表示的向量組的線性相關(guān)性的判別方法,第二步將,代入,得齊次線性方程組,方程組有非零解,有,則稱向量組,線性相關(guān),方程組只有零解,則稱向量組,線性無關(guān),下面介紹利用矩陣的秩來判別向量組的線性相關(guān)性,的方法,這是判別向量組線性相關(guān)性的主要方法,第三步根據(jù)方程組的解來判別線性相關(guān)還是線性無關(guān),定理4,有非零解,線性相關(guān),秩,無關(guān),只有零解,此定理是證明向量組線性相關(guān)性的基本方法,推論2,設(shè)n

6、維向量組中含有m個向量,當(dāng)mn 時,此向量組必定線性相關(guān),推論1,當(dāng)m=n時，即向量個數(shù)=分量個數(shù)時,線性相關(guān),線性無關(guān),向量組構(gòu)成行列式的值為零，即,判斷,的線性相關(guān)性,例8,解,線性相關(guān),例9. 判斷下列向量組的線性相關(guān)性,解,線性無關(guān),解,線性相關(guān),2、對字母表示的抽象向量組的線性相關(guān)性的判別,利用相關(guān)性的定義和反證法判別,判別方法,方程組只有零解,試證向量組,整理得,即,證明,例10,設(shè)向量組 線性無關(guān),也線性無關(guān),因為向量組 線性無關(guān)，所以必有,從而,設(shè)存在數(shù),使得,線性無關(guān),例11,證明,已知,證明,線性無關(guān),線性相關(guān),設(shè)存在數(shù),已知,只有,線性無關(guān),使得,即,故向量組線性相關(guān),不

7、全為零,定理5,其中至少有一個向量是其余m1個向量的線性組合,線性相關(guān),證明,必要性,線性相關(guān),不全為0的數(shù),則存在一組,使,則,即,是,的線性組合,組合，即存在不全為0的數(shù),使,線性相關(guān),不全為0,由于,則,中至少有一個向量是其余,向量的線性組合，不妨設(shè),是其余向量的線性,充分性：因,向量,可由,線性表示,這說明,線性相關(guān),而向量組,中任一向量都不能被,其他向量線性表示,其線性無關(guān),一個向量組中有沒有某個向量可由其余向量,線性表示,這是向量組的一種屬性,稱為向量組的,線性相關(guān)性,線性無關(guān),線性相關(guān)，則,可由A線性表示且表法唯一,證明,因為,線性相關(guān),則存在一組不全為零的數(shù),使,成立,定理6,故,故表示唯一,又設(shè),是另一種表示形式,兩式相減,已知,線性無關(guān),必有,線性無關(guān),證明,不可由,線性表示,假設(shè),可由,線性表示,使,