平面幾何考試試題

1、.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題平面幾何（高二數(shù)學(xué)514）2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 加試1如圖，在銳角ABC中，ABAC，M、N是BC邊上不同的兩點(diǎn)，使得BAM=CAN，設(shè)ABC和AMN的外心分別為、，求證：、A三點(diǎn)共線2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 加試1. （40分）分別是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn)若，證明： 2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題 加試2. （本題滿分40分）在直角三角形ABC中，它的內(nèi)切圓分別與邊BC，CA，AB相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)P，連接PC，PE，PF已知，求證：2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 加試1. （40分）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上

2、一點(diǎn)（不是邊BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M求證：若OKMN，則A，B，D，C四點(diǎn)共圓2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 加試一、如圖，分別為銳角三角形（）的外接圓上弧、的中點(diǎn)過點(diǎn)作/交圓于點(diǎn)，為的內(nèi)心，連接并延長交圓于（I）求證：當(dāng)；（II）在?。ú缓c(diǎn)）上任取一點(diǎn)（，），記，的內(nèi)心分別為，求證：，四點(diǎn)共圓2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 加試A卷一、（本題滿分50分）圖1如題一圖，給定凸四邊形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，令（）求證：當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓；（）設(shè)是外接圓的上一點(diǎn)，滿足：，又是的切線，求的最小值2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 加試B卷題

3、一圖一、（本題滿分50分）如題一圖，是圓內(nèi)接四邊形與的交點(diǎn)為，是弧上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在，的延長線上，滿足，求證：四點(diǎn)共圓 2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 加試一、（本題滿分50分）如圖，在銳角ABC中，ABAC，點(diǎn)O是外心，兩條高BE、CF交于H點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN，求的值。2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題 加試一（本題滿分50分）如圖，ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N求證：(1) OBDF，OCDE；(2) OHMN2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷 加試一、(滿分50分)如圖，在銳

4、角ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足BAE=CAF，作FMAB, FNAC(M,N是垂足)，延長AE交ABC的外接圓于點(diǎn)D。證明：四邊形AMDN與ABC的面積相等。1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 加試一(滿分50分)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GACEAC1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 二試一、（滿分50分）如圖，O、I分別為ABC的外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段OD上。求證：ABC的外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑。注：ABC的BC邊上的旁切圓是與邊AB、AC的延長線以及邊BC都相切的圓。1997

5、年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷 二試一、（本題50分）如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的O1與O2相交于M、N兩點(diǎn)，且O1、O2分別與O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OMMN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 二試三、（本題滿分35分）如圖，圓O1和圓O2與ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，并且EG、FH的延長線交于P點(diǎn)。求證直線PA與BC垂直。EFABCGHPO1。O21995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 第二試三、(35分) 如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求

6、證： MQNP1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第二試三、(本題滿分35分) 如圖，設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R，內(nèi)心為I， ，的外角平分線交圓O于E，證明: (1) IO=AE；(2) 1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試一、（35分）設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點(diǎn)試證n應(yīng)滿足的充分必要條件是n4三、（35分）水平直線m通過圓O的中心，直線lm，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近

7、，AP,BQ,CR為圓 O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)試證：(1)l與圓O相切時(shí)，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l與圓O相交時(shí)，ABCR+BCAPACBQ；(3)l與圓O相離時(shí)，ABCR+BCAPACBQ.1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置 1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試二設(shè)凸四邊形ABCD的面積為1，求證：在它的邊上(包括頂點(diǎn))或內(nèi)部可以找出四個(gè)點(diǎn)，使得以其中任意三點(diǎn)為頂

8、點(diǎn)所構(gòu)成的四個(gè)三角形的面積大于 OOABCDP1OOO234F1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試一(本題滿分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn) 1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試ABCEF一(本題滿分35分)已知 在ABC中，ABAC，A的一個(gè)外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作EFAB，垂足為F求證 2AF=AB-AC 1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試二如圖，在ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：1987年

9、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試一如圖，ABC和ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定ABC，而將ADE繞A點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使BMD為等腰直角三角形1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試2(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是ABC的三條高的充要條件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面積 1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試4平面上任給5個(gè)點(diǎn)，以表示這些點(diǎn)間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin54 1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試3

10、(本題滿分15分)在ABC中，P為邊BC上任意一點(diǎn)，PEBA，PFCA，若SABC=1，證明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個(gè)不小于(SXYZ表示多邊形XYZ的面積)1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試3(本題滿分16分) 在四邊形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面積比是341，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿足AMAC=CNCD，并且B、M、N三點(diǎn)共線求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn)1982年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽 3(本題16分)已知： 半圓的直徑AB長為2r； 半圓外的直線l 與BA的延長線垂直，垂足為T，|AT|=2a(2a)； 半圓上有相異兩點(diǎn)M、N，它

11、們與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件=1求證：|AM|+|AN|=|AB|4(本題20分)已知邊長為4的正三角形ABCD、E、F分別是BC、CA、AB上的點(diǎn)，且|AE|=|BF|=|CD|=1，連結(jié)AD、BE、CF，交成RQS點(diǎn)P在RQS內(nèi)及邊上移動(dòng)，點(diǎn)P到ABC三邊的距離分別記作x、y、z 求證當(dāng)點(diǎn)P在RQS的頂點(diǎn)位置時(shí)乘積xyz有極小值； 求上述乘積xyz的極小值1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽3(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PCQE+PDQF2 5(本題20分)一張臺(tái)

12、球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個(gè)球從AB的中點(diǎn)P擊出，擊中BC邊上的某點(diǎn)Q，并且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點(diǎn)設(shè)BPQ=，求的范圍提示：利用入射角等于反射角的原理1979年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試2命題“一對(duì)對(duì)邊相等及一對(duì)對(duì)角相等的四邊形必為平行四邊形”對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)證明，如果不對(duì)，請(qǐng)作一四邊形，滿足已知條件，但它不是平行四邊形并證明你的作法4在單位正方形周界上任意兩點(diǎn)間連了一條曲線，如果它把正方形分成兩個(gè)面積相等的兩部分，試證這條曲線的長度不小于16如圖，假設(shè)兩圓O1和O2交于A、B，O1的弦BC交O2于E，O2的弦BD交O1于F，證明 若DBA=CBA，則DF=CE； 若DF=CE，則DBA=CBA1978年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第一試6設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，從線段AB上的另一點(diǎn)C向直線AB的一側(cè)引線段CD，令線段CD的中點(diǎn)為N，BD的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，求證：直線PQ平分線段AC1978年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 第二試1四