教案《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》

1、 等比數(shù)列的前項(xiàng)和（第一課時(shí)）湖北省赤壁市蒲圻高中 張靜教材：人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版 數(shù)學(xué)（必修5）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：理解并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，公式特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之相關(guān)問題過程與方法目標(biāo)：通過在國際象棋棋盤的每個(gè)格子里放麥粒的故事，引出學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問題，體會(huì)公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)情感與態(tài)度目標(biāo)：在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力；挖掘中外古代有關(guān)數(shù)列的歷史故事中的文化內(nèi)涵，指導(dǎo)學(xué)生收集歷代數(shù)

2、學(xué)家研究數(shù)列問題并作出貢獻(xiàn)的資料，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)重點(diǎn)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識(shí)基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識(shí)特點(diǎn)而言，蘊(yùn)涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過公式推導(dǎo)教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)語言交流表達(dá)的能力.突出重點(diǎn)方法：“抓三線、突重點(diǎn)”，一知識(shí)技能線：?jiǎn)栴}情境到公式推導(dǎo)到公式運(yùn)用；二過程與方法線:特殊到一般、猜想歸納到錯(cuò)位相減法等到轉(zhuǎn)化、方程思想；三能力線：觀察能力到數(shù)學(xué)思想解決問題能力到靈活運(yùn)用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.教學(xué)難點(diǎn)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語言交流的能力還有待提

3、高.從知識(shí)本身特點(diǎn)來看，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法和等差數(shù)列的的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法可比性低，無法用類比的方法進(jìn)行，它需要對(duì)等比數(shù)列的概念和性質(zhì)能充分理解并融會(huì)貫通，而知識(shí)的整合對(duì)學(xué)生來說恰又是比較困難的，并且公式推導(dǎo)所用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以它既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).突破難點(diǎn)手段：“抓兩點(diǎn)，破難點(diǎn)”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時(shí)地給以鼓勵(lì)，使他們知難而進(jìn)；二抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo).教學(xué)方法利用計(jì)算機(jī)等多媒

4、體輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式.教學(xué)過程一 創(chuàng)設(shè)情境、引入新課（給出投影圖）傳說在古代印度，國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者,發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，依此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的糧食來實(shí)現(xiàn)上述要求” .國王覺得這個(gè)要求并不高，就欣然同意了. 你認(rèn)為國王有能力滿足發(fā)明者的要求嗎？設(shè)計(jì)意圖：依托故事背景，以趣引思，承上啟下，探討求和方法.師：讓我們一起來分析一下，由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的

5、2倍，那么各個(gè)格子里的麥粒數(shù)構(gòu)成一個(gè)什么數(shù)列?生：等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是1，公比是2.師：這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是什么？生：1, 2，4，8，16，262，263.師：總的麥粒數(shù)就等于這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)和S64,它等于什么？生：S64=1+2+4+8+16+262+263.師：上式兩邊同乘以公比2，得到 2S64=2+4+8+16+263+264將上面兩式列在一起，進(jìn)行比較S64=1+2+4+8+16+263， 2S64= 2+4+8+16+263+264. 由-,得 S64=264-1264-1這個(gè)數(shù)很大，超過了1.841019.估計(jì)千粒麥子的質(zhì)量約是40g，那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸，因

6、此，國王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力.（給出投影）設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,an,，公比是q，它的前n項(xiàng)和是Sn. Sn=a1+a2+a3+an =a1+a1q+a1q2+a1qn-1（這一步在老師啟發(fā)引導(dǎo)下學(xué)生完成）師: 請(qǐng)同學(xué)們類比上面具體的等比數(shù)列的求和過程，推導(dǎo)一般的等比數(shù)列前n項(xiàng)和?（讓學(xué)生思考幾分種同時(shí)觀察指導(dǎo)學(xué)生的思考過程）生：上式兩邊同乘以公比q，即qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-1+a1qn然后用下式減去上式師：對(duì)于等號(hào)的右邊做一個(gè)什么樣的處理，更好觀察出相同項(xiàng)相減得到差

7、，生：等號(hào)右邊部分向后面移動(dòng)一位.師： Sn =a1+a1q+a1q2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn 由-，得（1-q） Sn=a1-a1qn設(shè)計(jì)意圖：領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，從特殊到一般,從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高師：等號(hào)兩邊都除以1-q ，得到 Sn =a1-a1qn1-q （板書），是嗎？生：不對(duì)，如果q=1，那么不能做除法，師：同學(xué)們說得很對(duì)，說明在做除法之前首先要考慮q=1和q1，（師生共同完成下面的過程）當(dāng)q1時(shí)，Sn =a1-a1qn1-q=a1（1-qn）1-q a1qn=（a1qn-1）q=anq Sn =a1-anq1-q當(dāng)q

8、=1時(shí)， Sn=na1 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生個(gè)別學(xué)習(xí)，互相討論，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系. 通過生生、師生間的探討、合作，培養(yǎng)學(xué)生的洞察力增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.通過實(shí)物展示學(xué)生解決問題的方法，破除思維定勢(shì).二 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（給出投影）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示如下： Sn=na1, （q=1）.a11-qn1-q=a1-anq1-q, （q1）.說明：（1）上面求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫做錯(cuò)位相減法, (2) 注意求和公式中是qn，通項(xiàng)公式中是qn-1不要混淆，(3) a1,q,n,Sn和a1,q,an,Sn中已知任意三個(gè)可求第四個(gè)， (4) 若公比q的值不明確，則應(yīng)對(duì)q=1和q1進(jìn)行討論.三

9、典型例題 （給出投影）例1 在等比數(shù)列an 中， （1）已知a1=-4,q=12，求S10.(2）已知a1=1，at=243,，q=3，求St. 方法 （1）題直接代入公式Sn= a1（1-qn）1-q, (2）題直接代入公式Sn= a1-anq1-q .設(shè)計(jì)意圖：剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識(shí)記公式.變式 已知是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：題號(hào)a1qnanSn(1)12128(2)27238(3) -2-96-63設(shè)計(jì)意圖：熟練公式運(yùn)用，著重強(qiáng)調(diào)公式的選擇.例2 求等比數(shù)列的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和方法1：觀察發(fā)現(xiàn) a5+a6+a10=S10-S4.方法2：此等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)是從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)構(gòu)成

10、一個(gè)新的等比數(shù)列.設(shè)計(jì)意圖：本例由書中的例題改編而成，一題多解及變式,有利于提高思維的靈活性和梯度.變式 求的前n項(xiàng)和例3 求和Sn=1+a+a2+an-1.方法 因?yàn)閍的值不知道，所以數(shù)列1,a,a2,an-1不一定是的等比數(shù)列，于是要對(duì)a的取值進(jìn)行討論 .當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列1,a,a2,an-1不是等比數(shù)列，Sn=1，當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列1,a,a2,an-1是各項(xiàng)都等于1的常數(shù)列，Sn=n，當(dāng)a0且a1時(shí)，數(shù)列1,a,a2,an-1是首項(xiàng)是1，公比是a的等比數(shù)列，Sn= 1-an1-a.設(shè)計(jì)意圖：含參問題，分類討論；逐層深化，發(fā)展思維；突破難點(diǎn)，提高素養(yǎng).四 課堂小結(jié)1. 了解和掌握錯(cuò)位相減法，并會(huì)用其求和，2. 掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，3. 對(duì)于含字母的等比數(shù)列，要注意考察公比q是否為1，4. 再介紹兩種推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法.（作機(jī)動(dòng)）方法1：提取公比q Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 =a1+q（a1+a1q+a1qn-2） =a1+q（Sn-a1qn-1） （1-q）Sn=a1-a1qn方法2：利