矢量控制坐標(biāo)變換

1、.（4）、轉(zhuǎn)矩方程按照機(jī)電能量轉(zhuǎn)換原理，可求出電磁轉(zhuǎn)矩Te的表達(dá)式如式（2-17）所示。此式證明從略。=.(2-17)這里需要說(shuō)明的是，式（2-17）是在磁路為線性、磁動(dòng)勢(shì)在空間按正弦分布的假定條件下得出的，但對(duì)定、轉(zhuǎn)子電流的波形未作任何假定，式中的i都是瞬時(shí)值。因此，這個(gè)電磁轉(zhuǎn)矩公式同樣適用于由典雅型變頻器供電的三相異步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)。（5）、三相異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型將前述式（2-14）、式（2-16）歸納起來(lái)，便構(gòu)成在恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載下三相異步電動(dòng)機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型如下：.(2-18)上式中可按式（2-17）展開。2.3. 坐標(biāo)變換和變換矩陣雖然，在上節(jié)中已經(jīng)推導(dǎo)出異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，

2、但是，要分析和求解這組非線性方程是十分困難的，即使要畫出很清晰的結(jié)構(gòu)圖也非易事。通常須采用坐標(biāo)變換的方法。使變換后的數(shù)學(xué)模型變得簡(jiǎn)單一些。2.3.1 坐標(biāo)變換的原則和基本思路從上節(jié)分析異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的過程中可以看出，這個(gè)數(shù)學(xué)模型之所以復(fù)雜，關(guān)鍵是因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)雜的電感矩陣，以及三相異步電機(jī)電磁關(guān)系的強(qiáng)耦合和非線性，故要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，一是從簡(jiǎn)化磁鏈的關(guān)系著手；二是設(shè)法使三相異步電動(dòng)機(jī)復(fù)雜的電磁關(guān)系解耦。怎么做？比較容易想到的方法就是前面所講到過的設(shè)法為異步電動(dòng)機(jī)創(chuàng)造類似于直流電動(dòng)機(jī)所具有的三個(gè)條件，即將交流電機(jī)的物理模型（見圖2-3）等效地變換成類似直流電機(jī)的模式（見下頁(yè)圖1-2），如能這樣，

3、三相異步電動(dòng)機(jī)的分析和控制問題就可以大為化簡(jiǎn)，并且，完全可以沿用直流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的控制思路對(duì)三相異步電動(dòng)機(jī)進(jìn)行控制，進(jìn)而得到與支流調(diào)速系統(tǒng)相媲美的調(diào)速性能。坐標(biāo)變換正是為了這個(gè)目的而提出的一種方法。在這里，不同電機(jī)模型在變換前后彼此等效的原則是，在不同坐標(biāo)中它們所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。三相繞組與兩相繞組的轉(zhuǎn)換（M-T坐標(biāo)舉例）如圖1-2所示的模型有兩個(gè)互相垂直的繞組，它們是M繞組和T繞組，且以角頻率在空間旋轉(zhuǎn)。T、M繞組分別通以直流電流、。在繞組軸線方向產(chǎn)生磁場(chǎng)M，勵(lì)磁電流。調(diào)節(jié)大小可以調(diào)節(jié)磁場(chǎng)強(qiáng)弱。在T繞組軸線方向產(chǎn)生磁勢(shì)，這個(gè)磁勢(shì)總是與磁場(chǎng)同步旋轉(zhuǎn)，而且總是與磁場(chǎng)方向垂直，調(diào)節(jié)的大小，可以

4、在磁場(chǎng)不變的情況下改變轉(zhuǎn)矩的大小，稱為轉(zhuǎn)矩電流。、分別屬于T繞組、M繞組，因此分別可調(diào)、可控。如果異步電動(dòng)機(jī)按照M、T兩組繞組模型運(yùn)行，就可以滿足如直流電動(dòng)機(jī)那樣的調(diào)速性能好的三個(gè)條件。實(shí)際上三相異步電動(dòng)機(jī)定子三相繞組嵌在定子鐵芯槽中，在空間上相互差120電角度，固定不動(dòng)。根據(jù)電機(jī)學(xué)原理或統(tǒng)一電機(jī)理論知道，三相繞組的作用，完全可以用在空間上相互垂直的兩個(gè)靜止的繞組的電流由固定的變換關(guān)系。由上例可見，產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)并不一定非要三相不可，（在前面已經(jīng)提到），除單相、兩相、三相、四相等任意對(duì)稱的多相繞組，通以平衡的多相電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，當(dāng)然以兩相最為簡(jiǎn)單。圖2-4b中畫出了兩相靜止繞組，它們

5、在空間互差90，通以時(shí)間上互差90的兩相平衡交流電流，也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F。當(dāng)圖2-4a和b的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)大小和轉(zhuǎn)速都相等時(shí)，即認(rèn)為圖2-4b兩繞組與圖2-4a的三相繞組等效。再看圖2-4c中的兩個(gè)匝數(shù)相等且互相垂直的繞組M和T（或d-q），它們分別通以直流電流和，產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì)F，因?yàn)槔@組中通過的是直流，故F的位置相對(duì)于繞組來(lái)說(shuō)是固定的。如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵芯以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動(dòng)勢(shì)F自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來(lái)，成為旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。把這個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的大小和轉(zhuǎn)速也控制成與圖2-4a和2-4b中的磁動(dòng)勢(shì)一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當(dāng)觀察者站在地面上看，它們是與

6、三相交流繞組等效地旋轉(zhuǎn)直流繞組；但當(dāng)觀察者也站到鐵芯上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，在他看來(lái)，M和T（或d-q）就是兩個(gè)通以直流而互相垂直的靜止繞組，它們就的的確確是一個(gè)直流電機(jī)的物理模型了；如果再設(shè)法把磁通的位置控制在M軸（或d 軸）上，這樣，就和直流電機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)理沒有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時(shí)，繞組M（或d）相當(dāng)于直流電機(jī)的勵(lì)磁繞組，繞組T（或q）相當(dāng)于直流電機(jī)的電樞繞組。由此可見。從物理概念（定性）上來(lái)講，通過坐標(biāo)系的變換，我們完全能夠找到一個(gè)與三相交流繞組等效地直流電機(jī)模型，現(xiàn)在的問題，如何求出、與和()、()之間準(zhǔn)確的數(shù)值等效關(guān)系，而這恰恰就是需要用坐標(biāo)變換來(lái)解決的問題。遵照把三相交流繞組等效變換成直

7、流電機(jī)模型的目標(biāo)，坐標(biāo)變換的總體思路是：以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)為前提，先把三相靜止繞組A、B、C 等效變換導(dǎo)兩相繞組的靜止的-坐標(biāo)系，然后再?gòu)膬上囔o止的-坐標(biāo)系等效變換導(dǎo)旋轉(zhuǎn)的具有直流繞組的d-q坐標(biāo)系。需要指出，旋轉(zhuǎn)的具有直流繞組的d-q坐標(biāo)系可以是以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的，也可以是以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)地，即為M-T坐標(biāo)系，還有，在坐標(biāo)變換中還會(huì)經(jīng)常用到兩相坐標(biāo)系與極坐標(biāo)之間的變換。2.3. 2相三相變換（3/2變換）Clarke變換=寫成矩陣形式，得：=根據(jù)圖2-4可知，首先應(yīng)該找出三相繞組的電流與兩相靜止的、繞組的電流的變換關(guān)系，接著就是還要找到兩相靜止的、繞組的電流與兩相旋轉(zhuǎn)的M、T繞組（或d-q繞

8、組）的電流變換關(guān)系。如果M、T，、繞組的電流,都用矢量表示，那么，為了找到那些“關(guān)系”，我們就有必要建立、坐標(biāo)系、M、T坐標(biāo)系，以及在矢量控制中最常用的另一個(gè)坐標(biāo)系d-q坐標(biāo)系。這三個(gè)坐標(biāo)系在圖2-4中都作了清晰的表述。2.3.2相 三兩相變換（3/2變換）Clarke變換= = = 寫成矩陣形式，得： =考慮變換前后電機(jī)總功率不變，在此前提下，可以證明，匝數(shù)比：于是，就可以得到，令為從三相交流坐標(biāo)系統(tǒng)換到兩相交流坐標(biāo)系的變換矩陣，則令為從兩相交流坐標(biāo)系變換到三相交流坐標(biāo)系的變換矩陣（即的逆變換），則2.3.3 兩相靜止兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換（寫成矩陣形式，得式中：變換矩陣為：逆矩陣為：說(shuō)明：1、

9、其中角頻率為電機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的同步頻率； 2、如果欲從、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到d-q坐標(biāo)系，只要把M和T換成符號(hào)d和q，換成即可。2.3.4 直角坐標(biāo)/極坐標(biāo)變換（K/P變換）在圖中令矢量（）、(),求、，就是直角坐標(biāo)/極坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)稱K/P變換。顯然，其變換式應(yīng)為：或當(dāng)在0-之間變換時(shí)，的變換范圍是0-，這個(gè)變換幅度太大，很難在實(shí)際變換器中實(shí)現(xiàn)，因此常改用下列公式來(lái)表示的值: = = = = 即有：=2arctan或=2arctan此式為使用的變換式。2.3.5 三相異步電機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型由上述的內(nèi)容可見，異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，坐標(biāo)變換的一個(gè)重要目的就是簡(jiǎn)化異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，式（2-18

10、）的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型是建立在三相靜止的ABC坐標(biāo)系上的，如果把它變換到兩相坐標(biāo)系上，由于兩相坐標(biāo)軸還互相垂直，兩相繞組之間沒有磁耦合，僅此一點(diǎn)，就會(huì)使異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單了許多。1、 異步電動(dòng)機(jī)在兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（d-q坐標(biāo)系）上的數(shù)學(xué)模型。兩相坐標(biāo)系可以是靜止的，也可以是旋轉(zhuǎn)的。其中以任意旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系的情況是最一般的。有了這種情況下的數(shù)學(xué)模型，要求出某一具體的兩相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型就比較容易了。如圖2-7（下頁(yè)）所示，兩相坐標(biāo)系d軸與三相坐標(biāo)系A(chǔ)軸的夾角為，而P =為d-q坐標(biāo)系相對(duì)于定子的角轉(zhuǎn)速，為d-q坐標(biāo)系相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速?，F(xiàn)在就要把三相靜止坐標(biāo)系上的電壓方程式（2-1）、磁鏈方

11、程式（2-2）和轉(zhuǎn)矩方程式（2-17）都變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上來(lái)。圖2-7 三相坐標(biāo)系與兩相靜止坐標(biāo)系和兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的關(guān)系其變換過程如下：根據(jù)圖2-7，其變換過程為，可以先利用3/2變換將方程式中定子和轉(zhuǎn)子的電壓、電流、磁鏈和轉(zhuǎn)矩（即空間合成磁勢(shì)或者）都變換到 兩相靜止坐標(biāo)系上，然后再用旋轉(zhuǎn)變換矩陣C/將這些變量都變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上d-q上。具體的變換過程很復(fù)雜，這些不作具體介紹。變換后得到的數(shù)學(xué)模型如下：=.(2-34)式中，定子各量均用下腳標(biāo)1表示，轉(zhuǎn)子各量均用2表示。-q坐標(biāo)系定子與轉(zhuǎn)子同軸等效繞組間的互感，）:-d-q坐標(biāo)系定子等效繞組的自感，=+：-d-q坐標(biāo)系轉(zhuǎn)子等效繞組

12、的自感，=+應(yīng)該指出，兩相繞組互感是原三相繞組中任意兩相間最大互感（當(dāng)軸線重合時(shí)）的3/2倍，這是因?yàn)閮上嗳〈巳嗟木壒?。?duì)比式（2-34）和式（2-1）可知，兩相坐標(biāo)系上的電壓方程是四維的，它比三相坐標(biāo)系上的6維電壓方程降低了2維。（2）磁連方程數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化的根本原因可從磁鏈方程和圖28所示的d-q坐標(biāo)系物理模型上看出。 = .(2-35) 或?qū)懗?= + = +.(2-35a) = + = +由于變換到d-q坐標(biāo)系上以后，定子和轉(zhuǎn)子等效繞組都落在兩根軸上，而且兩軸互相垂直，它們之間沒有互感的耦合關(guān)系，互感磁鏈只在同軸繞組之間存在，所以式中的每個(gè)磁鏈分量只剩下兩項(xiàng)了?？墒牵捎诙?、轉(zhuǎn)子繞組

13、與坐標(biāo)軸之間都有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，每軸磁通在與之垂直的繞組中還要產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)，這些電動(dòng)勢(shì)頂都與相對(duì)轉(zhuǎn)速或成正比，且它們可以在式（2-34）所示的電壓方程中找到。（3）轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)方程 = (- ) = (2-36)式中w = - , w為電機(jī)轉(zhuǎn)子的叫轉(zhuǎn)速。式（2-34）和式（2-36）就是異步電機(jī)在d-q坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型。顯然，它們比ABC三相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單得多，階次也降低了。但是，它們的非線性、多變量、強(qiáng)耦合性質(zhì)并未改變。在電壓方程式（2-34）等號(hào)右側(cè)的系數(shù)矩陣中，含R項(xiàng)的，表示電阻壓降，含項(xiàng)的，表示電感壓降（即脈變電動(dòng)勢(shì)），含w項(xiàng)的，表示旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)。為了使物理概念更清楚，可以把它們分開來(lái)寫，并考慮到式（2-35）的磁鏈方程，即得：= + +令：u=I=R= L = 旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)矢量= 則式（2-37）可寫成 u=Ri+Lpi+.(2-37a)將式（2-37a）、式（2-35）、式（2-36）畫成如圖2-9所示的多變量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。圖中，（）表示表達(dá)式的非線性函數(shù)矩陣，（）表示表達(dá)式的非線性函數(shù)，P為微分算子。圖2-9是異步電動(dòng)機(jī)多變量控制結(jié)構(gòu)（見圖2-1）的具體體現(xiàn)。它表明異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型具有以下性質(zhì)： 、異步電機(jī)可以看做一個(gè)雙輸出系統(tǒng)，輸入量是電壓矢量u和定子與d