重慶市第一中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析）

1、 可修改重慶市第一中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理（含解析）一、選擇題.（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知，則=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后結(jié)合集合的運算法則求解集合運算即可.【詳解】求解函數(shù)的定義域可得：，即求解函數(shù)的值域可得，則，據(jù)此可得=.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，集合的混合運算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2.若且，則下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)逐

2、一考查所給的不等式是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的選項：當(dāng)時，選項A錯誤；當(dāng)時，選項B錯誤，當(dāng)時，且，選項C錯誤；由不等式的性質(zhì)可知，選項D正確.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則=().A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求解的值即可.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知正態(tài)分布的對稱軸為，則，故 .本題選擇C選項.【點睛】關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.

3、4.已知且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解的值即可.【詳解】由題意可得：，由于，故，據(jù)此可知.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式逐一考查函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】逐一考查所給函數(shù)的性質(zhì)：A.，函數(shù)為奇函數(shù)且時，當(dāng)時，當(dāng)時，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間不具有單調(diào)性，不合題意；B.，函數(shù)為奇函數(shù)，由于函數(shù)為周期函數(shù)，故函數(shù)在上不具有單調(diào)性

4、；C.，易知函數(shù)的定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題意；D. ，該函數(shù)為偶函數(shù)，不合題意；本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.下列說法中錯誤的是（ ）A. 在分層抽樣中也可能用到簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣；B. 從莖葉圖中可以看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；C. 若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1;D. 若隨機變量，則 【答案】C【解析】【分析】逐一考查所給的說法是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的說法：A. 在分層抽樣中對每層的抽樣

5、可能用到簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣,原命題正確；B. 從莖葉圖中可以看到所有的原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失,原命題正確；C. 若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,原命題錯誤;D. 若隨機變量，則,據(jù)此可得:，原命題正確本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查分層抽樣的方法，莖葉圖的理解，隨機變量的相關(guān)性，二項分布的均值方差公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.已知直線與圓：相交于兩點，若三角形為等腰直角三角形，則（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)首先確定圓心到直線的距離，據(jù)此得到關(guān)于m的方程，解方程即可求得實

6、數(shù)m的值.【詳解】圓C的方程即：，則圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，易知等腰直角三角形ABC的直角頂點為點C，故圓心到直線的距離為，結(jié)合點到直線距離公式有：，解得：或.本題選擇B選項.【點睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法8.已知二項式的展開式中的系數(shù)是，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先確定展開式的通項公式，然后結(jié)合題意得到關(guān)于a的方程，求解方程即可求得最終結(jié)果.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得，令可得，結(jié)合題意有：，據(jù)此可得：.本題選擇D選項.【點睛】(1)二項

7、式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解9.從區(qū)間中任取一個值，則函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由函數(shù)的單調(diào)性求得實數(shù)a的取值范圍，然后結(jié)合幾何概型計算公式求解概率值即可.【詳解】由函數(shù)的解析式：為增函數(shù)，則， 為增函數(shù)，則，且當(dāng)時，有：，即，解得，

8、綜上可得，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則，由題意結(jié)合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值為：.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，幾何概型計算公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10.數(shù)列前項和為，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先由遞推關(guān)系確定數(shù)列的特征，然后結(jié)合數(shù)列的通項公式求解實數(shù)k的值即可.【詳解】由題意有：當(dāng)時，兩式作差可得：，由于，故，即數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成一個公差為3的等差數(shù)列，據(jù)此可得，則數(shù)列的通項公式為：，加2后能被3整除，則.本題選擇C選項.【點睛】數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系

9、可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式；將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項11.已知是雙曲線的右支上一點，分別為雙曲線的左、右頂點，分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為,有下列四個命題中真命題個數(shù)為（ ）個雙曲線所有過焦點的弦中最短弦長度為；若，則的最大值為；的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為； 若直線的斜率為，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和定義逐一考查所給的說法是否正確即可.【詳解】逐一考查所給命題的真假：由雙曲線焦點弦公式：可得：雙

10、曲線所有過焦點的弦中最短弦長度為 .說法錯誤.對于,若,則由雙曲線的定義可得.，,故有,即離心率的最大值為，故不正確.對于,設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓與PF1和PF2的切點分別為M，N，與x軸的切點為K，由雙曲線的定義及圓的切線性質(zhì)可得|MF1|NF2|=2a=|KF1|KF2|，又|KF1|+|KF2|=2c,|KF1|=a+c,故K為雙曲線的右頂點,又PF1F2的內(nèi)切圓的圓心在切點K的正上方,故PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a，故正確.對于若直線PF1的斜率為k,則由題意可得，故正確.綜上可得，四個命題中真命題個數(shù)為2個.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，雙曲線的焦點弦

11、公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.已知函數(shù)設(shè)兩曲線有公共點，且在該點處的切線相同，則時，實數(shù)的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：依題意：，因為兩曲線，有公共點，設(shè)為，所以，因為，所以，因此構(gòu)造函數(shù)，由，當(dāng)時，即單調(diào)遞增；當(dāng)時，即單調(diào)遞減，所以即為實數(shù)的最大值.考點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值.二、填空題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知正實數(shù)是 的等比中項，則圓錐曲線1的離心率為_【答案】【解析】【分析】由題意首先求得m的值，然后求解圓錐曲線的離心率即可.【詳解】由題意可得：，則圓錐曲線方程為：，則.【

12、點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)14.若實數(shù)滿足約束條件則的最大值是_.【答案】8【解析】【分析】由題意首先確定可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其最值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程可得點A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.

13、【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划?dāng)b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.15.袋中有個紅球，個黑球和個白球，從中任取個球，則其中三種顏色的球都有的概率是_【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合排列組合公式和古典概型計算公式求解滿足題意的概率值即可.【詳解】由題意可得，所求概率為：.【點睛】有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀

14、圖”列舉(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.16.已知平面向量，滿足，且，則（）的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合向量共線的充分必要條件和向量絕對值不等式的性質(zhì)求解其取值范圍即可.【詳解】令，則，設(shè)向量的起點均為坐標(biāo)原點，終點分別為，易知三點共線，如圖所示，不妨設(shè)，易知，由向量的絕對值不等式的性質(zhì)可得：，注意到，且，故，即（）的取值范圍為.【點睛】本題主要考查向量中三點共線的充分必要條件，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，向量不等式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題.（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小

15、正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,，求的值【答案】(1) 函數(shù)的單減區(qū)間為;(2) .【解析】試題分析：(1)整理函數(shù)的解析式為 ，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得 ，單調(diào)減區(qū)間為 (2)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于邊長的方程組，求解方程組可得.試題解析： (1)周期為 因為 所以所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 （2）因為，所以 所以，(1) 又因為，所以 (2) 由（1），（2）可得18.已知數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】(1)首先將遞推關(guān)系式整理變形，然后結(jié)合等比數(shù)列通項公式確定數(shù)列的通項公式即可；(2)由題意結(jié)合(1

16、)中求得的通項公式放縮證明題中的不等式即可.【詳解】（1）由已知 （2）左邊=不等式成立【點睛】數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式；將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項19.某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況，從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知之間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.（1）求的值；（2）分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行

17、統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，消費金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為消費金額與性別有關(guān)？（3）分析人員對抽取對象每周的消費金額與年齡進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān)，得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】分析：（1）根據(jù)已知列關(guān)于m,n的方程組解之即得.(2)先完成22列聯(lián)表，再計算的值判斷.(3)先求調(diào)查對象的周平均消費，再求b的值.詳解：（1）由頻率分布直方圖可知，由中間三組的人數(shù)

18、成等差數(shù)列可知，可解得（2）周平均消費不低于300元的頻率為，因此100人中，周平均消費不低于300元的人數(shù)為人.所以列聯(lián)表為男性女性合計消費金額300204060消費金額300251540合計4555100所以有的把握認(rèn)為消費金額與性別有關(guān).（3）調(diào)查對象的周平均消費為，由題意，.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗和回歸方程，意在考查學(xué)生對統(tǒng)計概率的基礎(chǔ)知識的掌握情況. （2）頻率分布直方圖中，一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應(yīng)的數(shù)，代表第個矩形的面積.20.已知橢圓的左，右焦點分別為，點在橢圓上滑動，若面積的最大值是且有且僅有2個不同的點使得為直

19、角三角形（1）求橢圓的方程；（2）過的直線與橢圓交于點,與軸交于點。設(shè),求證：為定值，并求該定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合橢圓的對稱性確定a,b,c的值即可確定橢圓方程；(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求得的表達(dá)式，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】（1）由對稱性知，在短軸端點時，為且=,且，橢圓方程為：.（2）顯然斜率不為，設(shè)直線，聯(lián)立方程組得：設(shè)， 令 = 【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系

20、、弦長、斜率、三角形的面積等問題21.已知函數(shù) （1）當(dāng)（為自然常數(shù)）時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù)【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】(1)首先確定的解析式，然后結(jié)合其導(dǎo)函數(shù)利用切線放縮法確定導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)分類討論和兩種情況確定函數(shù)的零點個數(shù)即可.【詳解】（1）當(dāng)時，易證，在定義域上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先考慮當(dāng)時函數(shù)的零點個數(shù).當(dāng)時，為減函數(shù)，有一個零點；當(dāng)時，由，設(shè)，令，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時恒成立.1.當(dāng)即時，當(dāng)時函數(shù)無零點，當(dāng)時函數(shù)有一個零點；2.當(dāng)即時，當(dāng)時函數(shù)有一個零點，當(dāng)時函數(shù)有二個零點；3.當(dāng)即時，當(dāng)時函數(shù)有兩個零點，當(dāng)時函數(shù)有三個零點；再考慮的情形，若，則，同上可知：1.當(dāng)即時，函數(shù)有一個零點；2.當(dāng)即時，函數(shù)有兩個零點；3.當(dāng)即時，函數(shù)有三個零點；綜上可知：當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與