巧用絕對(duì)值的“幾何意義”求多個(gè)絕對(duì)值之和的最小值問(wèn)題

1、巧用絕對(duì)值的“幾何意義”求多個(gè)絕對(duì)值之和的最小值問(wèn)題【例1】求 y=x+3+x+2+x+1+x+x-1+x-2+x-3的最小值，并指出y為最小值時(shí)，x的值為多少？ 初一引進(jìn)絕對(duì)值的概念，但多數(shù)學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的問(wèn)題只是淺嘗輒止。絕對(duì)值有兩個(gè)方面的意義，一個(gè)是代數(shù)意義，另一個(gè)幾何意義，但一般教學(xué)往往側(cè)重于代數(shù)意義而忽略了其幾何意義。 絕對(duì)值的代數(shù)意義：a=a, (a0)；a=a, (a0)。 絕對(duì)值的幾何意義：a是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。眾所周知，如果數(shù)軸上有兩點(diǎn)A,B，它們表示的數(shù)分別為a, b（ab)，則A,B之間的距離：AB=a-b（如圖1）。設(shè)點(diǎn)X在數(shù)軸上表示的點(diǎn)為x,則x-a+x-

2、b表示點(diǎn)X到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和：XA+XB，由圖2可以看出，如果X在A，B兩點(diǎn)之間，那么XA+XB可以取到最小值A(chǔ)B，即：當(dāng)axb時(shí)，x-a+x-b取最小值a-b； 同樣，設(shè)點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的點(diǎn)為c，（abc)，則x-a+x-b+x-c表示點(diǎn)X到點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離之和：XA+XB+XC，由圖3可以看出，如果X落在B點(diǎn)，那么XA+XB+XC可以取到最小值A(chǔ)C，即：當(dāng)x=b時(shí)，x-a+x-b+x-c取最小值a-c。 一般說(shuō)來(lái)，設(shè)f(x)=x-a+x-a+x-a+x-an，其中aaan，那么：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，fmin(x)=f(a)，其中an/2aan/2+1；且f(a)=(an-a1)+(an

3、-1-a2)+(an/2+1-an/2)=(an+an-1+ an/2+1)-(a1+a2+an/2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，fmin(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(an-a1)+(an-1-a2)+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【an+an-1+ a(n+1）/2+1】-【a1+a2+ a(n+1）/2-1】也就是說(shuō)，偶數(shù)個(gè)絕對(duì)值相加，當(dāng)x處于最中間的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)之間時(shí)，其值為最小，x可能有無(wú)數(shù)個(gè)取值；奇數(shù)個(gè)絕對(duì)值相加，當(dāng)x等于最中間那個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)時(shí)，其值為最小，x只有一個(gè)取值。利用這個(gè)原理來(lái)解決【例1】的問(wèn)題將非常容易地得到結(jié)論：y=x-（-3）+x-（-2）+

4、x-（-1）+x-0+x-1+x-2+x-3，所以x=0時(shí)y最小，最小值為12。下面我們利用這一原理解決更多的問(wèn)題?！纠?】已知y=x+1+2x-1+x-2，求y的最小值?！窘狻縴=(2x+1+6x-1+3x-2)=（x-（-1）+x-（-1）+x-1+x-1+x-1+x-1+x-1+x-1+x-2+x-2+x-2）有11個(gè)絕對(duì)值相加，11為奇數(shù)，當(dāng)x=a5，即x=1時(shí)，y最小為：(21+1+31-2)=（4+3）=7/3【例3】已知a+3+a-5=8，求a的取值范圍?！窘狻慨?dāng)-3a5時(shí)，a+3+a-5的最小值為8，a的取值范圍是-3a5【例4】已知2a+1+a-2+b+1+4b-5=9，求ab的值?！窘狻?a+1+a-2=a+1+a+1+a-2，當(dāng)a=-1時(shí)，最小值為3；b+1+4b-5=b+1+b-5+b-5+b-5+b-5，當(dāng)b=5時(shí)，最小值為6，2a+1+a-2+b+1+4b-59，只有當(dāng)a=-1，b=5時(shí)，原式=9，ab=（-1）5=-1【例5】如圖4，一條公路旁有6個(gè)村莊，分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，現(xiàn)在政府要在公路邊建一個(gè)公交站，請(qǐng)問(wèn)建在哪一段比較合理？【分析】所建公交站應(yīng)該到各村的距離之和最小，以公路為數(shù)軸，設(shè)A，B