勾股定理難題+提高

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載評(píng)卷人得分1 下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4， 5， 6 B 3， 4， 5 C 2， 3， 4 D 1， 2， 32 .給出下列命題：在直角三角形ABC中，已知兩邊長(zhǎng)為 3和4,則第三邊長(zhǎng)為5;2 丄 2.2三角形的三邊 a、b、c滿足a c b，則/ C=90厶ABC中，若/ A：Z B：ZC=1: 5: 6，則厶ABC是直角三角形；厶 ABC中，若a : b: c=1: 2: 、3，則這個(gè)三角形是直角三角形.其中，假命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1個(gè) B . 2個(gè) C . 3個(gè) D . 4個(gè)3 .如圖，如果把 ABC的頂點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)

2、A點(diǎn)，連接A B, 則線段AB與線段AC的關(guān)系是（） 如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是1 : 2 : 3，那么這個(gè)三角形是直角三角形； 如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角，則這么三角形是直角三角形； 若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；1 如果/ A=Z B= / C,那么 ABC是直角三角形；2 若三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，那么這個(gè)三角形是直角三角形； 在 ：ABC中,若/ A+Z B=Z C,則此三角形是直角三角形。A 3個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè)5. 如圖， ABC中，AB=AC=5,BC=6 M為 BC的中點(diǎn)，MNL AC于

3、N點(diǎn)，貝U MN=（）1251656 .下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A. 14， 36， 39B. 8， 24， 25C. 8， 15， 17D. 10， 20， 267. （2013貴州安順）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米,一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則小鳥(niǎo)至少飛行（）A. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米8. 女口圖，四邊形 ABCD中, AB=ADAD/ BQ / ABC=60 , / BCD=30 , BC=6 那么 ACD.2.3A.3 B第II卷(非選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分、新添加的題型評(píng)卷人得分、解答題

4、9. 在 Rt ABC中，/ CAB=90 , AB=AC(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A在厶ABC外作直線 MN BML MN于M, CNL MN于 N判斷線段 MN BM CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；若AM=a , BM=d , AB=c，試?yán)脠D驗(yàn)證勾股定理 a 如果AC= 6cm, BC= 8cm,可求得 ACD的周長(zhǎng)為; 如果/ CAD:/ BAD=4:7,可求得/ B的度數(shù)為 ;操作二：如圖2,小王拿出另一張 Rt ABC紙片，將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上，且與 AE重合，若 AC= 9cm, BC= 12cm,請(qǐng)求出 CD的長(zhǎng).11 .如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角

5、邊AC= 5cm, BC= 12cm,現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它恰好落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng). b2 = c2 ；(2)如圖，過(guò)點(diǎn) A在厶ABC內(nèi)作直線 MN BML MN于M, CNL MN于N,判斷線段 MN(直接寫出答案)10 . (6分)小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作：操作一：如圖1,將Rt ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合， 折痕為DE12 .如圖，學(xué)校 B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走AB, BC兩條路可到達(dá)公路,經(jīng)測(cè)量 BC= 6km , BA= 8km , AC= 10km，現(xiàn)需修建一條路使學(xué)校到公路距離最短，請(qǐng) 你

6、幫助學(xué)校設(shè)計(jì)一種方案，并求出所修路的長(zhǎng).13 .如圖， ABC中，/ ACB= 90 AC= 9, BC= 12,求 RtA ABC中斜邊 AB上的高 CD.A DB114 .閱讀理解題：如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，且 AD= BC.2求證：/ BAC=9015如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形(兩直角邊長(zhǎng)分別是 a、b，斜邊長(zhǎng)為c)和一個(gè)正方形(邊長(zhǎng)為c).請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能驗(yàn)證勾股定理的圖形.畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；用(1)中畫出的圖形驗(yàn)證勾股定理.16 .課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖.(1) 求證： AD3A CEB(2) 從三角板

7、的刻度可知 AC=25cm請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊 磚的厚度相等).ADCE17 . （10 分）如圖，在 ABC中，AB= 13, BC= 10, BC 邊上的中線 AD= 12 . ABD C(1) AD平分/ BAC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.2)求： ABC的面積.評(píng)卷人得分18 .直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3厘米、4厘米，則第三邊的長(zhǎng)為 。19 .一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9和40,則第三邊長(zhǎng)的平方是 .20. 若一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別為m、n，且滿足Jm_3+| n-4=0，則第三邊的長(zhǎng)為.21. 已知x -6 +|y -8 +(z -10)2 = 0 ,則由此x,y,z

8、為三邊的三角形是 三角形22 . ABC的三邊長(zhǎng)分別為 m2- 1, 2m, m2+ 1，則最大角為 .23 .在長(zhǎng)方形紙片 ABCD中, AD= 3cm AB= 9cm,按如圖方式折疊， 使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則DE=.24 .如圖，在 Rt ABC中，/ ABC是直角，AB=3 BC=4 P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) BP=X若能在AC邊上找到一點(diǎn) Q使/ BQP=90，貝U x的取值范圍是 .25 .如圖，0P= 1,過(guò)P作PPi丄OP且PPi= 1,得OR = J2 ;再過(guò)Pi作P1P2丄OR且PlP2= 1，得0P2 = 3 ；又過(guò)P2作P2P3丄0P2且P2P3= 1，得0P3=

9、 2依此法繼續(xù)作下去，得 0P2o12 =評(píng)卷人 得分五、計(jì)算題參考答案1. B.【解析】試題分析：A. 42+52工62,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B. 32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；C. 22+32工42，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D. 12+22工32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意.故選B.考點(diǎn)：勾股數(shù).2. B【解析】試題分析：命題中若 4是直角邊，則第三邊長(zhǎng)為 5,若4為斜邊，則第三邊長(zhǎng)為7，故錯(cuò)誤；命題中應(yīng)該是/ B=90,故錯(cuò)誤；命題、均正確；故假命題有 2個(gè)； 故選B.考點(diǎn)：真命題與假命題3. D【解析】試題分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再利用

10、勾股定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷線段AB與線段AC的關(guān)系：如圖，將點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A點(diǎn)，連接A B,與線段AC交于點(diǎn)0.A 0=0B= 2 , A0=0C=2 2 ,線段AB與線段AC互相平分，又/ A0A =45 +45 =90, A B丄 AC線段AB與線段AC互相垂直平分.故選D.【解析】試題分析：三角形三個(gè)內(nèi)角的比是1 : 2： 3,設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為x, 2x, 3x , x+2x+3x=180,解得 x=30, 3x=3X 30 =90,此三角形是直角三角形，故本小題正確； T三角形的一個(gè)外角與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角的和是180,若三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的一

11、個(gè)內(nèi)角，則此三角形是直角三角形， 故本小題正確； 直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確；1 / A=Z B= / C,2設(shè)/ A=Z B=x，則/ C=2x, x+x+2x=180,解得 x=45, 2x=2X 45 =90,此三角形是直角三角形，故本小題正確； 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，三角形一個(gè)內(nèi)角也等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，有一個(gè)內(nèi)角一定是 90，故這個(gè)三角形是直角三角形

12、，故本小題正確； T三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，又一個(gè)內(nèi)角也等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，由此可知這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)， 有一個(gè)內(nèi)角一定是 90，故這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確.故選D.考點(diǎn)：1.三角形內(nèi)角和定理；2.三角形的外角性質(zhì).5. C.【解析】試題分析：連接 AM AB=AC點(diǎn)M為BC中點(diǎn)， AMI CM BM=CM/ AB=AC=5 BC=6 BM=CM=3在 Rt ABM中，AB=5, BM=3根據(jù)勾股定理得：AM= AB2 _BM2 = .52 _33 =4，又 Saamc= 1 MN?ACAM?M,C2 2MN

13、=AM ?CMAC125故選C.考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì).6. C【解析】滿足 a2+ b2= C的三個(gè)正整數(shù) a, b, c是勾股數(shù)，因?yàn)?82+ 152 = 289, 172= 289, 所以82 + 152= 172，即& 15、17為勾股數(shù)同理可判斷其余三組數(shù)均不是勾股數(shù).7. B【解析】如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB= 10米，小樹(shù)高為 C 4米，過(guò)C點(diǎn)作CEL AB于E,則四邊形 EBDC是矩形.連接 AC,貝U EB= CD= 4 米，EC= 8 米，AE= AB EB= 10 4= 6 （米）.設(shè) AB=AD=x在 RtA AEC 中，AC AE2 EC 2 =10 米.

14、 操作二利用折疊找著 AC=AE利用勾股定理列式求出AB,設(shè)CD=x表示出BD, AE,在Rt又 AD/ BC四邊形AEFD是矩形形， AD=EF=x在 Rt ABE中，/ ABC=60，則/ BAE=30 ,1 1 BE=AB=x,2 2 DF=AE= AB2 - BE2x,23在 Rt CDF中，/ FCD=30，貝U CF=DF?cot30 二上 x.2又 BC=61 3 BE+EF+CF=6 即 x+x+ x=6,2 2解得x=2 ACD的面積是：1 AD?DFxX 仝x= 3 X22=；3 .2224故選A.考點(diǎn)：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.9. ( 1)證明見(jiàn)解析；(2

15、) MN=BM-CN.【解析】試題分析：(1)利用已知得出/ MAB=/ ACN進(jìn)而得出厶MAB2A NCA進(jìn)而得出 BM=AN AM=CN即可得出線段MN BM CN之間的數(shù)量關(guān)系；利用11 2 1S 梯形 mbc=Samab+Saabc+Sanc/= ab+ c + ab，22 21梯形MBC=2(BM+C)x MN=! (a+b) 2,2進(jìn)而得出答案;(2)利用已知得出/ MAB=/ ACN進(jìn)而得出厶MABA NCA進(jìn)而得出 BM=A, AM=C,即可得出線段MN BM CN之間的數(shù)量關(guān)系.試題解析：(1)MN=BM+CN理由：/ MAB社 NAC=90，/ ACN+Z NAC=90 ,

16、/ MABZ ACN 在厶MABHA NCA中.BMA - ANCI.MAB - NCA ,AB 二 AC MABA NCA( AAS , BM=AN AM=CN MN=AM+AN=BM+CN由知厶MABA NCA CN=AM=a AN=BM=b AC=BC=c MN=a+b(BM+CNX MN=i ( a+b) 2,21 1 2 1 1 S 梯形 mbc=Samab+sabc+Sanc= ab+ c + ab, S 梯形 mbc=2 2 2 2 11 2 1 1 / 2ab+ c + ab= (a+b),22 2 2 a2+b2=C2；(2) MN=BM-C；理由：MAB-Z NAC=90

17、, Z ACN+Z NAC=90 , / MABZ ACN在厶MABHA NCA中BMAANCMAB = NCA ,AB 二 AC A MABA NCA( AAS , BM=AN AM=CN MN=AN-AM=BM-CN考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).10. 操作一(1) 14cm(2) 35 操作二 CD=4 . 5【解析】試題分析：操作一利用對(duì)稱找準(zhǔn)相等的量：BD=AD Z BADZ B,然后分別利用周長(zhǎng)及三角形的內(nèi)角和可求得答案； BDE中，利用勾股定理可得答案試題解析：操作一 (1) 14cm( 2) 35 操作二 由折疊知：AE=AC=9 DEI AB 設(shè) CD=DE=X 則 BD=1

18、2-X,/ AB2 二 AC2BC2 =81 + 144=225, AB=15 BE=15-9=6,又 BD = DWBE2 , (12 -x)2=x2+36,9x=,2即 CD=4 5cm考點(diǎn)：軸對(duì)稱，線段的垂直平分線1011. CD的長(zhǎng)為3 cm.【解析】試題分析：利用翻折變換的性質(zhì)得出DE=CD AC=AE=5cm/ DEB=90，進(jìn)而利用勾股定理得出x的值.AC=5cm BC=12cmAB上 ,且與AE重合,試題解析： 有一塊直角三角形紙片兩直角邊 AB=13cm將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 DE=CD AC=AE=5cm/ DEB=90 ,設(shè) CD=xcm 貝V BD=

19、(12 - x) cm, 故 d+bE2=bcj,即 x2+ (13- 5) 2= (12- x) 2,解得:x=則CD的長(zhǎng)為cm3考點(diǎn)：勾股定理12. 4.8km.【解析】解：過(guò) B作AC的垂線，垂足為 D,線段BD就是要修的路. 在厶 ABC中，/ AB2+ B&= 82 + 62= 100 ,而 AC2= 102= 100 , AB2 + BC?= AC2,即厶 ABC是直角三角形，且/ ABC= 90.由 1 ABLIbC =丄 ACLBD ,2 2 得AbLbC 6 8得 BD4.8 (km),AC 10即所修路長(zhǎng)為4.8km .13.365【解析】解：在 RtAABC中，A. 0,

20、解得a=5,答：砌墻磚塊的厚度 a為5cm.考點(diǎn)1.:全等三角形的應(yīng)用 2.勾股定理的應(yīng)用.17. (1)平分，理由詳見(jiàn)解析；(2) 60【解析】試題分析：(1) AD平分/ BAC理由為：/ BC邊上的中線AD BD=5在 ABC中, AB=13, AD=12 BD=5 25 =24 +7, 即: AB=AD+BD/ ADB=90，即 AD丄 BC, AD垂直平分BC AB=AC AD 平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BCBC AD abc=2=60.考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形面積的計(jì)算方法18. 5cm或.7 cm.【解析】試題分析：題中沒(méi)有指明哪個(gè)是直角邊哪個(gè)

21、是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析.試題解析：(1)當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為5cm(2)當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為.7 cm；故直角三角形的第三邊應(yīng)該為5cm或7 cm.考點(diǎn)：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】設(shè)第三邊為 x(1 )若40是直角邊，則第三邊 x是斜邊，由勾股定理，得：92+402=x2，所以x2=1681.(2)若40是斜邊，則第三邊 x為直角邊，由勾股定理，得：92+x2=402，所以x2=1519.所以第三邊的長(zhǎng)為 1681或1519.20. 5或.7 .【解析】試題分析：t Jm 3 + n4=0，二 m- 3=0, n - 4=0,. m=3 n=4,即這個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4.當(dāng)4是此直角三角形的斜邊時(shí)， 設(shè)另一直角邊為x,則由勾股定理得到：x= *2 _3? = .7 ；當(dāng)4是此直角三角形的直角邊時(shí)，設(shè)斜邊為X，則由勾股定理得到：x-_ 42 35 .故答案為：3或5.考點(diǎn)：1.勾股定理；2 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)；3 分類討論.21 .直角【解析】2試題分析:t x-6 y 8 +(z-10) =0 ,/. x-