2017挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)（第十版）1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題

1、12 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先回顧兩個(gè)畫圖問題：1已知線段AB5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2已知線段AB6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算哪些

2、題目適合用幾何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是確定的，夾A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法如圖1，如果ABAC，直接列方程；如圖2，如果BABC，那么；如圖3，如果CACB，那么代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來圖1 圖2 圖3 例 9 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0, 2)

3、（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動(dòng)圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得的弦長MN4是定值2等腰三角形AMN存在五種情況，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有三個(gè)值，根據(jù)對稱性，MAMN和NANM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的圖文解析（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負(fù)值）（2

4、）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AMAN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3如圖4，當(dāng)MAMN時(shí)，在RtAOM中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時(shí)xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)NANM時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為圖4 圖5如圖6，當(dāng)NANM4時(shí)，在RtAON中，OA2，AN4，所以O(shè)N2此時(shí)xOH2所以點(diǎn)P的縱

5、坐標(biāo)為如圖7，當(dāng)MNMA4時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為圖6 圖7考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與直線y1相切這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與直線y1相切例 10 2014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線yax2bxc（a0）過O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為(10, 0)和，以O(shè)B為直徑的A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn)（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析

6、式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是A上一動(dòng)點(diǎn)（不同于O、B），過點(diǎn)M作A的切線，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t（0t8）秒時(shí)恰好使BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值 圖 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高拖動(dòng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，BPQ有三個(gè)時(shí)刻可以成為等腰三角形 思路點(diǎn)撥1從直線BC的解析式可以得到OBC的三角比，為討論

7、等腰三角形BPQ作鋪墊2設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便3第（3）題連結(jié)AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高 4第（4）題的PBQ中，B是確定的，夾B的兩條邊可以用含t的式子表示分三種情況討論等腰三角形圖文解析（1）直線BC的解析式為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(10, 0)兩點(diǎn)，設(shè)yax(x10)代入點(diǎn)C，得解得所以拋物線的頂點(diǎn)為（3）如圖2，因?yàn)镋F切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90所以51由tan5tan1，得所以MEMFMA2，即mn25 圖2（4）在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三種情況討

8、論等腰三角形BPQ：如圖3，當(dāng)BPBQ時(shí)，10tt解得t5如圖4，當(dāng)PBPQ時(shí)，解方程，得如圖5，當(dāng)QBQP時(shí)，解方程，得圖3 圖4 圖5考點(diǎn)伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的G與x軸相切于點(diǎn)A如圖6，這是因?yàn)锳G既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以G與x軸相切于點(diǎn)A圖6例 11 2014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2(mn)xmn（mn）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（1）若m2，n1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1

9、)，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，ABC保持直角三角形的形狀點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)，觀察ABC的頂點(diǎn)能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形ABC有4種情況思路點(diǎn)撥1拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式，用m，n表示點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)2第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程圖文解析（1）由yx2(mn)xmn(xm

10、)(xn)，且mn，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，可知A(m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如圖1，由于C(0, mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)，mn1，OC1若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，那么OAOBm(n)mn1所以O(shè)C2OAOB所以所以tan1tan2所以12又因?yàn)?與3互余，所以2與3互余所以ACB90圖1 圖2 圖3（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間的距離公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2當(dāng)ABAC時(shí)，解方程(n2)244n2，得（如圖2）

11、當(dāng)CACB時(shí)，解方程44n25n2，得n2（如圖3），或n2（A、B重合，舍去）當(dāng)BABC時(shí)，解方程(n2)25n2，得（如圖4），或（如圖5）圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90第（3）題在討論等腰三角形ABC時(shí)，對于CACB的情況，此時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，可以直接寫出B(2, 0)，n2例 12 2014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在AB

12、C中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0t4），解答下列問題：（1）設(shè)APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2，連結(jié)PC，將PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，當(dāng)四邊形PQPC為菱形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，APQ是等腰三角形？圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況還可以體驗(yàn)到，當(dāng)Q

13、C2HC時(shí)，四邊形PQPC是菱形思路點(diǎn)撥1在APQ中，A是確定的，夾A的兩條邊可以用含t的式子表示2四邊形PQPC的對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時(shí)，它是菱形，圖文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為（2）設(shè)PP與AC交于點(diǎn)H，那么PPQC，AHAPcosA如果四邊形PQPC為菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得圖3 圖4（3）等腰三角形APQ存在三種情況：如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，5tt解得如圖6，當(dāng)PAPQ時(shí)，解方程，得如圖7，當(dāng)QAQP時(shí)，解方程，得圖5 圖6 圖7考

14、點(diǎn)伸展在本題情境下，如果點(diǎn)Q是PPC的重心，求t的值如圖8，如果點(diǎn)Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 圖8例 13 2015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知RtABC中，C90，AC8，BC6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從ABC方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動(dòng)，求ABC被直線PQ掃過的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間t，使得PQC為等腰三角形若存在，求出此時(shí)的t值，若不存在，請說明理由（，結(jié)果保留一位小數(shù)）圖1

15、動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況 思路點(diǎn)撥1過點(diǎn)B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值2線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點(diǎn)Q分別在AB、BC上3等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長圖文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，作BD/PQ交AC于點(diǎn)D，那么所以AD5所以CD3如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，又因?yàn)?，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是圖2 圖3 圖4（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，5t8，SABC24因?yàn)镾CQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，CQ2CP，C90，所以PQC不可能成為等腰三角形當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，我們先用t表示PQC的三邊長：易知CP8t如圖2，由QP/BD，得，即所以如圖4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）當(dāng)PCPQ時(shí)，解方程，得3.4（如圖5所示）當(dāng)Q