條據(jù)書信 如何求證新等差數(shù)列.doc

1、如何求證新等差數(shù)列如何求證新等差數(shù)列如何證明等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d最大數(shù)加最小數(shù)除以二即a1+a1+(n-1)d/2=a1+(n-1)d/2an的平均數(shù)為Sn/n=na1+n(n-1)d/2/n=a1+(n-1)d/2得證1三個數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-ac2(a+b)-b2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b2(c+a)-a2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c2(a+b)-b2(c+a)=b2(c+a)-a2(b+c)所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+

2、b)成等差數(shù)列等差：an-(an-1)=常數(shù)(n2)等比：an/(an-1=常數(shù)(n2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)x(an+1)(n2).2我們推測數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=5n-4下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：1)容易驗(yàn)證a1=5x1-4=4，a2=5x2-4=6，a3=5x3-4=11，推測均成立2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(jk)則Sk=a1+a2+ak=5x(1+2+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由

3、題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即：(5k-8)xa(k+1)+Sk-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k2-35k-8=(5k-8)(5k+1)所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1時(shí)，推測仍成立。3在新的數(shù)列中An=S4n-(4n-4)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)A(n-1)=S4(n-1)-4(n-2)=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4

4、)An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)=4d+4d+4d+4d+4d=20d(d為原數(shù)列公差)20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項(xiàng)公式，故它為一等差數(shù)列。4A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3x2(n-1)兩邊同時(shí)除2(n+1)得A(n+1)/2(n+1)-An/2n=3/4即An/2n的公差為3/4An除以2的n次方為首項(xiàng)為1/2公差為3/4的等差數(shù)列5那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,

5、a+2b于是它是直角三角形得到asup2;+(a+b)sup2;=(a+2b)sup2;所以asup2;+asup2;+2ab+bsup2;=asup2;+4ab+4bsup2;化簡得asup2;=2ab+3bsup2;兩邊同時(shí)除以bsup2;解得a/b=3即a=3b所以三邊可以寫為3b，3b+b。篇二:等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法高考題中，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法。一、定義法10.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法：an+1-an=

6、d(常數(shù))an是等差數(shù)列a2n+2-a2n=d(常數(shù))a2n是等差數(shù)列a3n+3-a3n=d(常數(shù))a3n是等差數(shù)列20.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：an-an-1=d(n2)an是等差數(shù)列an+1-an=an-an-1(n2)an是等差數(shù)列30.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：an+1=q(q0且為常數(shù)，a10)an為等比數(shù)列an40.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：an=q（n;2，q為常數(shù)且0）an為等比數(shù)列an-1注意事項(xiàng)：用定義法時(shí)常采用的兩個式子an-an-1=d和an+1-an=d有差別，前者必須加上“n2”，否則n=1時(shí)a0無意義，等比中一樣有：n2時(shí)，有（常數(shù)

7、0）；nN*時(shí)，有an+1=L=q（常數(shù)0）anan=L=qan-1例1.設(shè)數(shù)列a1,a2,L,an,L中的每一項(xiàng)都不為0。證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何nN，都有111n。+L+=a1a2a2a3anan+1a1an+1證明：先證必要性設(shè)an為等差數(shù)列，公差為d，則當(dāng)d=0時(shí)，顯然命題成立當(dāng)d0時(shí)，1111=-anan+1danan+1再證充分性：1n111+L+=anan+1a1an+1a1a2a2a3a3a411n+1111+L+=anan+1an+1an+2a1an+2a1a2a2a3a3a4得：1n+1n=-an+1an+2a1an+2a1an+1兩邊anan+1a1得

8、：a1=(n+1)an+1-nan+2同理：a1=nan-(n-1)an+1得：2nan+1=n(an+an+2)即：an+2-an+1=an+1-anan為等差數(shù)列例2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，試證an為等差數(shù)列的充要條件是Sn=n(a1+an),(nNx)。2證：）若an為等差數(shù)列，則a1+an=a2+an-1=a3+an-2=，故2Sn=(a1+an)+(a2+an-2)+.+(an+a1)Sn(a1+an)n=2（）當(dāng)n2時(shí)，由題設(shè)，Sn-1)(a1+an-1)n(a1+an-1=(2,Sn)n=2所以a(a1+a2)(n-1)(a1+an-1)n=Sn-Sn-1=n2-2同理有a

9、+1)(a1+an+1)n(a1+ann+1=(n2-)2從而a(n+1)(a1+an+1)(n-1)(a1+an+1-an=2-n(a+an-1)1n)+2整理得：an+1an=anan1，對任意n2成立.從而an是等差數(shù)列.例3.已知數(shù)列an是等比數(shù)列（q-1），Sn是其前n項(xiàng)的和，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，仍成等比數(shù)列。證明一：（1）當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)q1時(shí)，Sa1(1-qk)(1-q2k)a1(1-q3k)k=1-q,S2k=a11-q,S3k=1-qS-q2k)a1(1-qk)a1qk(1-qk)2k-Sk=a1(11-q-1-q=1-q3kSa1(1-q)

10、1(1-q2k)a1q2k(1-qk)3k-S2k=1-q-a1-q=1-q2kk22(S21q2(1-q)Sa1(1-qk)a1q2k(1-qk)a22k1q(1-2k-Sk)=a(1-q)2k(S3k-S2k)=1-q1-q=qk)(1-q)2(S22k-Sk)=Sk(S3k-S2k)Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列.則證明二：S2kSk=(a1+a2+a3+La2k)(a1+a2+a3+Lak)=ak+1+ak+2+ak+3+La2k=qk(a1+a2+a3+Lak)=qkSk0同理，S3kS2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+La3k=q2kSk0Sk，S2k-Sk，

11、S3k-S2k成等比數(shù)列。二、中項(xiàng)法(1).(充要條件)若2an+1=an+an+2an是等差數(shù)列(注：三個數(shù)a,b,c為等差數(shù)列的充要條件是:2b=a+c)(充分條件)2an=an+1+an-1(n2)an是等差數(shù)列，（2）.(充要條件)若anan+2=an+12(an0)an是等比數(shù)列(充分條件)2an=an+1an-1（n1）an是等比數(shù)列，注:b=(ac0)是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件b=是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件.b=(ac0)是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac0，則等比中項(xiàng)一定有兩個.三、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和法1.通項(xiàng)公式法（

12、1）.若數(shù)列通項(xiàng)an能表示成an=an+b（a，b為常數(shù)）的形式，則數(shù)列an是等差數(shù)列。(充要條件)(2).若通項(xiàng)an能表示成an=cqn(c，q均為不為0的常數(shù)，nN+)的形式，則數(shù)列an是等比數(shù)列(充要條件)2.前n項(xiàng)和法(1).若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn能表示成Sn=an2+bn(a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列an是等差數(shù)列；(充要條件)(2).若Sn能表示成Sn=Aqn-A(A，q均為不等于0的常數(shù)且q1)的形式，則數(shù)列an是公比不為1的等比數(shù)列(充要條件)四、歸納猜想-數(shù)學(xué)歸納證明法先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，猜想、歸納出通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。這種方法關(guān)鍵在于猜想

13、要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“n=k時(shí)命題成立”到“n=k+1時(shí)命題成立”要會過渡五、反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常規(guī)結(jié)論若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則（1）數(shù)列anlan（l為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；（2）若bn是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列angbn是公比為qq的等比數(shù)列；（3）數(shù)列11是公比為的等比數(shù)列；qan（4）an是公比為q的等比數(shù)列；（5）在數(shù)列an中，每隔k(kN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來

14、順序排列，所得新數(shù)列仍篇三:數(shù)列新數(shù)列專題復(fù)習(xí)1Sn與an的關(guān)系：，已知Sn求an，應(yīng)分n=1時(shí)a1=；n2時(shí)，an=兩步，最后考慮a1是否滿足后面的an.2.等差等比數(shù)列4.數(shù)列求和（請參照求和專題試卷）（1）公式法；（2）分組求和法；（3）錯位相減法；（4）裂項(xiàng)求和法；（5）倒序相加法。5.Sn的最值問題：在等差數(shù)列an中,有關(guān)Sn的最值問題常用鄰項(xiàng)變號法求解：(1)當(dāng)a10,d0時(shí)，滿足(2)當(dāng)a10時(shí)，滿足am0的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最大值.a0m+1am0的項(xiàng)數(shù)m使得S取最小值。mam+10在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。6.Sn1數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為，2nTn129nn44例2設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t;0，n=2，3，4，）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=3+2ta23+2t,=3ta13t又3tS（2t+3）S評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式n+1n轉(zhuǎn)化為直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出是等差數(shù)列，再，說明數(shù)列2n+12n22nan3=1+(n-1)，進(jìn)而求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2n2(2)累加法：an+1-an=f(n)例3已知數(shù)列an滿足a1=