向量易錯題帶答案

1、uuuu2PM ,則1. 在 ABC中,M是BC的中點，AM=1點P在AM上且滿足學 AP uuu uuu uuuPA (PB PC)等于2.已知向量a(1,2),（2, 3）.若向量c滿足（ca)/b , c(ab），則3.()(7 7)(9,3)uuuu 已知| AB |3, 84.設(shè)向量auuur| AC|(7, 7) C39uuiu5,則|BC |的取值范圍是(B、(3, 8)C、3, 13(3,(xi, yi),b13)AC、5.充要充分不必要 下列命題：（X2, y2），則1上是 a/ b 的X2y2、必要不充分、既不充分也不必要）條件。(a)2 2 |a|4(a b) c (a

2、c) b | a-b|=|a| | b|若 a / b ,b / c,則a / ca / b，則存在唯一實數(shù)入，使b a若a c be,且c工o,則a b 設(shè)巴是平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量a，都存在唯一一組實數(shù)x、y，使a xq ye?成立。若 | a + b |=| a b | 貝U a b =0。真命題個數(shù)為()1B、2 a b =0,貝U a =0 或 b =0C、3D 3個以上6.和a = （3, 4）平行的單位向量是7.ura b已知向量pL ,|a| |b|其中a、rub均為非零向量，則|p|的取值范圍8 .若向量 a = x, 2x , b =是.3x,2，且a , b

3、的夾角為鈍角，貝U x的取值范圍uuruuu9 .在四邊形 ABC沖，AB =DC = (1, 1),uuu uuu BA BC uuu BC_uuur、3BDuuuBD,則四邊形ABCD勺面積是10. AABC中，已知 AB AC 0 , BC AB 0 , CB CA 0，判斷 ABC的形狀為.11. 向量a、b都是非零向量，且向量a + 3b與7a b垂直，a 4b與7a b 垂直，求a與b的夾角.12. a (1 cos ,sin ),b(1 cos ,sin ), c (1,0),(0, ),( ,2 )，a與c的夾角為B 1， b與c的夾角為B 2,且12,求sin 的值.3213

4、. 設(shè)兩個向量e1， e2，滿足|e1|= 2， |e 2| = 1， e1與e2的夾角為3 .若向量 2te1 + 7e2與e1 + te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍.14 .四邊形 ABCDK AB = a, BC = b，CD = c, DA ，且 ab =bc = cd = da，試問四邊形 ABCD!什么圖形？15. 如圖，在Rt ABC中，已知BC=a若長為2a的線段PQ以點A為中點，問PQ與BC的夾角 取何值時BP CQ的值最大并求出這個最大值16. 已知常數(shù)a0，向量c= (0，a)，i= (1，0)，經(jīng)過原點O以c+入i為方 向向量的直線與經(jīng)過定點 A (0, a)以i 2

5、入c為方向向量的直線相交于點 P,其中入 R.試問：是否存在兩個定點 E、F,使得|PE|+|PF|為定值.若存 在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.17. 已知a是以點A(3,-1)為起點，且與向量b= (-3,4)平行的單位向量， 則向量a的終點坐標是多少18. 已知 R(3,2) , P2 (8, 3),若點 P在直線 RP上，且滿足 |P1P|=2|PP2| , 求點P的坐標。uuu umr uuur uu uuu uur19 .在邊長為1的正三角形ABC中，求ABgBC BCgCA CAgAB的值.20已知同一平面上的向量a、b、5兩兩所成的角相等，并且|a| 1,|b| 2

6、,| c | 3，求向量a b c的長度。參考答案1. A【解析】【錯解分析】不能正確處理向量的方向?qū)е洛e選為Duuu uuuuuur uuuujuuuuuruuruuuuiPC)=2APPM=2cos0 2 -3由AP 2PM知,p為 ABC的重心,根據(jù)向量的加法,PB PC 2PMuuu uuu【正解】AP (PBuuu uuu 則 AP (PBuuuruuruuuu uuruuur2PC)=2APPM=2APPMcos0 2 - 3uun uuuuumuuu uuuumr4PA (PBPC)AP (PBPC)-故選 A 。9，2. D【解析】【錯解分析】由于混淆向量平行與垂直的條件，即非

7、0向量rrabx1y2 x2y! 0， a b%x2 y1y2 0，而不能求得答案?！菊狻坎环猎O(shè)C (m, n)，則ar b r a n 2 m,(3, 1),對于 c a /b ,r r r77則有 3(1 m) 2(2 n);又 c a b，則有 3m n 0，則有 m -,n-，93故選D?！军c評】此題主要考查了平面向量的坐標運算， 通過平面向量的平行和垂直關(guān)系 的考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標運算在解決具體問題中的應用.3. C【解析】【錯解分析】對題意的理解有誤，題設(shè)條件并沒有給出A、B、C三點不能共線,因此它們可以共線。當 A B C共線時， ABC不存在，錯選D【正解】因為向

8、量減法滿足三角形法則，作出|AB| 8，|AC| 5，BC AC AB(1)當厶ABC存在，即A、B、C三點不共線時，3 |BC| 13 ;(2)當AC與AB同向共線時，|BC| 3 ；當AC與AB反向共線時，|BC| 13 |BC|【3, 13】，故選 Co4. C【解析】【錯解分析】a/b x1y2 x2y1 0 jX1 也，此式是否成立，未考慮，選A。X2 y2【正解】若 竺 乂則x2 X2yi 0, a/b，若all b，有可能x?或y?為0,故 X2 y?選Co5. B【解析】【錯解分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運算法則等 是向量一章中正確應用向量知識解決有關(guān)

9、問題的前提，在這里學生極易將向量的運算與實數(shù)的運算等同起來，如果認為向量的數(shù)量積的運算和實數(shù)一樣滿足交換 律就會產(chǎn)生一些錯誤的結(jié)論。r r r 2【正解】正確。根據(jù)向量模的計算 a?a a判斷。 錯誤，向量的數(shù)量積的運算不滿足交換律，這是因為根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義（a c） b表示和向量b共線的向量，同理（a b） c表示和向量c共線的向量，顯然向量b和向量c不一定是共線向量，故（a b） c （a c） b不一定成立。 錯誤。應為a?b a b 錯誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。 錯誤。應加條件“非零向量a” 錯誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量b

10、和向量b在向量c方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個。 錯誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量 0,是不共線的向量即一組基 底。 正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形 故 a b =0o 錯誤。只需兩向量垂直即可 綜上真命題個數(shù)為2,故選B【點評】在利用向量的有關(guān)概念及運算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運算律解答， 要明確向量的運算和實數(shù)的運算的相 同和不同之處。一般地已知a,b,c和實數(shù)入，貝U向量的數(shù)量積滿足下列運算 律：ab = ba （交換律）購（入a） b = （ab）=a（入b） （數(shù)乘結(jié)合律）（a

11、+ b ）c = ac + bc （分配律）6. (- 3，5【解析】rr1 r3【錯解分析】因為a的模等于5,所以與a平行的單位向量就是-a，即(3 ,55【正解】因為a的模等于5,所以與a平行的單位向量是或(-3，5【點評】平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和a= (3, 4)垂直的單位向量”，結(jié)果也應該是兩個。7. ,2】【解析】【錯解分析】本題常見錯誤五花八門，錯誤原因是沒有理解向量的模的不等式的 性質(zhì)。【正解】,分別表示與a、b同向的單位向量,aba| bb13-,343a b a b8.【解析】【錯解分析】只由a,b的夾角為鈍角得到a b,而忽視了 a b不是

12、a,b夾角為鈍角的充要條件,因為a,b的夾角為18時也有a b ,從而擴大x的范圍，導致錯誤【正解】a , b的夾角為鈍角，2a b x 3x 2x 2 3x 4x 解得x 或x -(1)3又由a,b共線且反向可得x13(2)由(1),(2)得x的范圍是114-,-,3339. 3【解析】mmuuuBA BC【錯解分析】不清楚-mum 皆 與/ ABC的角平分線有關(guān)，從而不能迅速找到 BA BC解題的突破口，不能正確求解。【正解】由題知四邊形ABCD是菱形，其邊長為2，且對角線BD等于邊長的.3倍，所以cosABD10銳角三角形【解析】【錯解分析】T BC AB 0，. |BC| |AB| c

13、osB 。/ B為鈍角，二 ABC為鈍角三角形。錯將BC與AB的夾角看成是 ABC的內(nèi)角B,向量BC與AB的夾角應為 B【正解】 AB AC |AB | |AC | cos A ；BC AB | BC | | AB | cos B |BC| |AB | cosB Cb CA |CB | |CA | cosC? 0AB AC 0, BC AB 0, CB CA 0cosA 0 cosB 0 cosC 0 A、B、C均為銳角。 ABC為銳角三角形。11.60o【解析】【錯解分析】由題意，得(a + 3b)g7a b) 0，(a b)g7a b) 0，將、展開并相減，得46agp二b2，1T b ，

14、故 a = b，將代入，得a2 b2，b設(shè)a與b夾角為，則cos 黑sin |a|gb|b 6 0o 180o，二60.【正解】設(shè)向量a、b的夾角為，由題意，得（a + 3b）g7ab） 0， (a b)g7a b) 0，將、展開并相減，得46a中二b2，有2ag）二b2，代入式、式均可得a2b2，則 a b，ago1cos；-.|a|gb| 2又 0o o，二60o.【點評】錯解中解法表面上是正確的，但卻存在著一個理解上的錯誤，即由得 到，錯把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上. 由于向量的數(shù)量積不 滿足消去律，所以即使b ，也不能隨便約去.12.【解析】【錯解分析】此題在解答過程中，

15、學生要將向量的夾角運算與三角變換結(jié)合起來, 注意在用已知角表示兩組向量的夾角的過程中，易忽視角的范圍而導致錯誤結(jié) 論?！菊狻縭22a (2 cos,2 s in cos) 2cos(cos,s in ), b (2s in,2s incos)2 2 2 2 2 2 2 2 22si n 刁(si n ,cos ?) Q (0,),(,2),(-,),故有| a | 2cos | b |22sin cos22cos2 22 s o c2Sin I2si n2|a| |c|2cos 2cos ,2sin , 02 2【點評】當今高考數(shù)學命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交匯性，向量是新課程

16、新增內(nèi)容，具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份。 它是新舊知識的一個重 要的交匯點，成為聯(lián)系這些知識的橋梁， 因此，向量與三角的交匯是當今高考命 題的必然趨勢。高考對三角的考查常常以向量知識為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\算來進行考查學生綜合運用知識解決問題的能 力。13- 7t - 2 且t V【解析】【錯解分析】T 2tei + 7e2與ei + te2的夾角為鈍角，(2te i + 7e2) (e i + te 2)0，2i 2t + 15t + 70,解之得：7t -21t的范圍為(一7，丄).2【正解】T 2te i + 7e2與ei + te 2的夾角為鈍角，- (2

17、te 1 + 7e) (e 1 + te 2)0 且 2te 1 + 7氏工入(e 1 + te 2)(入 0).t (2te 1 + 7e2) (e 1 + te 2)0 得 2t + 15t + 70， - 7t 右 2te 1+ 7e2 =入(e 1 + te 2)(入 0)，-(2t 入)e 1 + (7 t 入)e 2 = 0.2t7 t0，即t0 t的取值范圍為：一7t0且a, b 不同向；B為直角 a b=0;B為鈍角 a b0且a b不反向.2te 1 + 7e 與 e1 + te2 的夾角為鈍角?(2te 1 + 7e2) (e 1+ te2)0.14.四邊形ABCD是矩形【

18、解析】【錯解分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四 邊形的邊角量，易忽視如下兩點：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順 次首尾相接向量，貝U其和向量是零向量，即a + b + c + d=0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定 義式中含有邊、角兩種關(guān)系?！菊狻克倪呅蜛BCD1矩形，這是因為一方面：由 a + b + c + d= 0 得 a + b= (c + d)，即(a + b ) 2 =(c + d) 2即 |a|2+2ab+|b|2=|c| 2+2cd+|d|2 由于 ab =cd,.|a|+|b|=

19、|c|+|d|同理有 |a| 2+|d| 2=|c| 2+|b| 2 由可得|a| = |c|,且|b| = |d| 即四邊形ABCD5組對邊分別相等+四邊形ABCD1平行四邊形另一方面，由ab = bc，有b(a c)= 0,而由平行四邊形ABCD可Wa=c,代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0,；a丄b也即 AB丄BC。 綜上所述，四邊形ABCD1矩形?！军c評】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中 學數(shù)學教學內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠 的重視?；谶@一點解決向量有關(guān)問題時要樹立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。uuu uu

20、r15當 0時，BC CQ最大，值為0.【解析】【錯解分析】本題易錯點有uuu LULT2 uur uuuuuu(1) 不會利用AP AQ a2及AC AB 0這兩個關(guān)系式，即沒有把 BP表示為uuu ULUT uuuLULT UUUTAP AB，CQ表示為AQ AC.致使該題在運算上發(fā)生錯誤。(2) 在運用坐標運算過程中，未知數(shù)多，如B(b,0), C(0,c),P(x,y),Q( x, y)而a2,還有cos 的表示式忽視了這些量內(nèi)在的聯(lián)系b2 c2 a2, x2 y2cos空器，這些關(guān)系不能充分利用，導致運算錯誤auuu uur uuu uuut【正解】解法一：Q AB AC, AB A

21、C 0.故當cos 1,即uur uuuuuu uuiu0 ( PQ與 BC方向相同)時，BC CQ最大，其最大值為0.解法二：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的 平面直角坐標系.故當cos 1,即uur uuuuuu uuiu0 ( PQ與 BC方向相同)時，BC CQ最大，其最大值為0.【點評】本小題主要考查向量的概念，平面向量的運算法則，考查運用向量及函 數(shù)知識的能力。2 1 1 2 1a22)，F(xiàn)(0,-(aa ?)16 存在 1 i1 2 a1 1 2 a1存在E(站a Q，F(xiàn)(站a刁和E(%(a【解析】【錯解分析】此題綜合程度較高，易錯點一方面表現(xiàn)在學生

22、對題意的理解如對方 向向量的概念的理解有誤，另一面是在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲 線的定義來解答，使思維陷入僵局而出錯?！菊狻扛鶕?jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩 定點，使得點P到兩定點距離的和為定值i= (1，0)，c= (0，a)， c+ 入 i=(入，a)，i 2 入 c= (1， 2 入 a)因此，直線OP和AP的方程分別為y ax和ya 2 ax.消去參數(shù)入，得點P(x,y)的坐標滿足方程y(y a)2a2x2./a、2整理得x2 (y 2)1.1(a)2因為a 0,所以得：(i )當a 時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F;(ii )

23、當0 a丄時，方程表示橢圓，焦點 E ( - a )和 F ( a )為合2 2 2 22、2 2乎題意的兩個定點；(iii )當a彳時，方程也表示橢圓，E(0,-2(a a2 )和F (0, (a Ja2 )為合乎題意的兩個定點【點評】本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜 合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉(zhuǎn)化出來，另一方面也要注意應用向量的坐標運算來解決解析幾何問題。女口：線段的比值、長度、夾角特別是垂直、 點共線等問題

24、，提高自已應用向量知識解決解析幾何問題的意識。12 1189、17. ( 一，- 一)或(一，-一)5555【解析】【錯解分析】本題易錯點常表現(xiàn)在不能正確把握單位向量的概念，從而無法解答，同時解答過程中如果不能正確轉(zhuǎn)換平行條件，也是無法解答此題的。【正解】方法一設(shè)向量a的終點坐標是(x,y),則a=(x-3,y+1)，則題意可知4(x3)3( y 1)(x3)2 (y + 1)2解得12x5或185121189、955551方法二 與向量b= (-3,4)平行的單位向量是土 (-3,4),534故可得a= (-,-)，從而向量a的終點坐標是(x,y)=a-(3,-1),便可得結(jié)果。5 5【點評】向量的概念較多，且容易混淆，在學習中要分清、理解各概念的實質(zhì), 注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念。與a平行的單位向量e= |a|18. (匹,8 )或(13, 4)3 3【解析】【錯解分析】由|P1P|=2|PP2|得，點P分P1P2所成的比為2,代入定比分點坐標 公式得P (19,8 )3 319 8【正解】當點P為P1,P2的內(nèi)分點時，P分P1P2所成的比為2,此時解得(一,-)；3 3 當點P為P1, P2