2017 2018高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 第3課時 組合 新人教A選修2 3

1、目標導航,1,理解組合的概念，會利用組合數(shù)公式解決組合問題,2,能夠解決組合、排列的綜合問題,1,新知識,預(yù)習探究,知識點一,組合的定義,從,n,個不同元素中取出,m,m,n,個元素合成一組，叫做從,n,個不同,元素中取出,m,個元素的一個組合,練習,1,下面幾個問題是組合問題的有,從甲、乙、丙,3,名同學中選出,2,名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào),查，有多少種不同的選法,從甲、乙、丙,3,名同學中選出,2,名，有多少種不同的選法,有,4,張電影票，要在,7,人中確定,4,人去觀看，有多少種不同的選,法,某人射擊,8,槍，命中,4,槍，且命中的,4,槍均為,2,槍連中，不同的結(jié),果有多少種,A,B

2、,C,D,答案,C,知識點二,組合數(shù)、組合數(shù)公式,1,組合數(shù),從,n,個不同元素中取出,m,m,n,個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫,做從,n,個不同元素中取出,m,個元素的組合數(shù)用符合,C,m,n,表示,2,組合數(shù)公式,C,m,n,A,m,n,A,m,m,n,n,1,n,2,n,m,1,m,C,m,n,n,m,n,m,規(guī)律,C,0,n,1,練習,2,若,A,3,n,6C,4,n,則,n,的值是,A,6,B,7,C,8,D,9,答案,B,知識點三,組合數(shù)的兩個性質(zhì),1,性質(zhì),1,C,m,n,C,n,m,n,2,性質(zhì),2,C,m,n,1,C,m,n,C,m,1,n,練習,3,2C,1 006,1

3、007,的值為,A,1 006,B,1 007,C,2 012,D,2 014,答案,D,2,新視點,名師博客,1,排列組合的解題方法,1,特殊優(yōu)先法：對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問,題，我們可以從這些特殊之處入手，先解決特殊元素或特殊位置，再,去解決其他元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法,2,科學分類法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多,因此要對各種不同情況進行合理分類，確定分類標準，以便有條不紊,地進行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生,3,分組,堆,問題的六個模型,有序不等分；有序等分；有序局部等分；無序不等分,無序等分；無序局部等分,4,常用的方法,插空法：解決一些不相鄰問題

4、時，可以先排一些元素然后插入,其余元素,捆綁法：相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法,即將相鄰的元素當成“一個”元素進行排列，然后再局部排列,排除法：從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解,題的方法,2,分組、分配問題,組合應(yīng)用題中分組問題的常見形式及處理方法,常見形,式,處理方法,實例分析,非均勻,不編號,分組,n,個不同元素分成,m,組,每組,元素數(shù)目均不相等,且不考慮,各組間的順序，不管是否分,盡,分法種數(shù)為,A,C,m,1,n,C,m,2,n,m,1,C,m,3,n,m,1,m,2,C,m,n,m,m,1,m,2,m,m,1,例如,10,個人分成三組，每,組人數(shù)分別為,

5、2,3,5,其分法,種數(shù)為,C,2,10,C,3,8,C,5,5,2 520,若從,10,人中選出,6,人分成三組,各組人數(shù)分別為,1,2,3,其分,法種數(shù)為,C,1,10,C,2,9,C,3,7,12 600,均勻不,編號分,組,將,n,個不同元素分成不編號,的,m,組,假定其中,r,組元素個,數(shù)相等,不管是否分盡,其分,法種數(shù)為,A,A,r,r,其中,A,為非均,勻不編號分組中分法數(shù),如,果再有,k,組均勻組應(yīng)再除以,A,k,k,例如,10,人分成三組，各組,人數(shù)為,2,4,4,其分法種數(shù)為,C,2,10,C,4,8,C,4,4,A,2,2,1 575,若分成六,組，各組人數(shù)分別為,1,1

6、,2,2,2,2,其分法種數(shù)為,C,1,10,C,1,9,C,2,8,C,2,6,C,2,4,C,2,2,(A,2,2,A,4,4,非均勻,編號分,組,n,個不同元素分組,各組元素,數(shù)目均不相等,且考慮各組間,的順序，其分法種數(shù)為,A,A,m,m,例如,10,人分成三組，去參,加不同的勞動,各組人數(shù)分別,為,2,3,5,其安排方法有,C,2,10,C,3,8,C,5,5,A,3,3,若從,10,人中選,9,人分成三組，參加不同的勞,動，各組人數(shù)分別為,2,3,4,則安排方法種數(shù)有,C,2,10,C,3,8,C,4,5,A,3,3,均勻編,號分組,n,個不同元素分成,m,組,其中,r,組元素個數(shù)

7、相同且考慮各組,間的順序，其分法種數(shù)為,A,A,m,m,A,r,r,例如,10,人分成三組，參加,三種不同的勞動,各組人數(shù)分,別為,2,4,4,分法種數(shù)為,C,2,10,C,4,8,C,4,4,A,2,2,A,3,3,3,解答組合應(yīng)用題的總體思路,1,整體分類：對事件進行整體分類，從集合的意義講，分類要,做到各類的并集等于全集，以保證分類的不遺漏，任意兩類的交集等,于空集，以保證分類的不重復(fù)，計算其結(jié)果時，使用分類加法計數(shù)原,理,2,局部分步：整體分類以后，對每一類進行局部分步，分步要,做到步驟連續(xù)，以保證分步的不遺漏，同時步驟要獨立，以保證分步,的不重復(fù)，計算每一類相應(yīng)的結(jié)果時，使用分步乘法

8、計數(shù)原理,3,考查順序：區(qū)別排列與組合的重要標志是“有序”與“無,序”，無序的問題用組合解答，有序的問題用排列解答,4,辯證地看待“元素”與“位置”：排列、組合問題中的元素,與位置沒有嚴格的界定標準，哪些看成元素或位置，隨解題者的思維,方式的變化而變化，要視具體情況而定有時“元素選位置”，問題,解決得簡捷，有時“位置選元素”，效果會更好,5,建立模型：一些具體問題有時需要把它抽象成組合模型，針,對題設(shè)中已知條件推廣到一般情況來解決，利用類比、化歸等數(shù)學思,想來解題,3,新課堂,互動探究,考點一,有關(guān)組合數(shù)的公式及性質(zhì)的應(yīng)用,例,1 (1,計算,C,4,10,C,3,7,A,3,3,2,已知,1

9、,C,m,5,1,C,m,6,7,10C,m,7,求,C,m,8,3,證明,m,C,m,n,n,C,m,1,n,1,分析,與組合數(shù)有關(guān)的計算主要利用組合數(shù)公式，合理地選用公,式形式代入進行變形，化簡或運算證明,解析,1,原式,C,4,10,A,3,7,10,9,8,7,4,3,2,1,7,6,5,210,210,0,2,原方程可化為,m,5,m,5,m,6,m,6,7,7,m,m,10,7,即,m,5,m,5,m,6,m,5,m,6,5,7,m,7,m,6,m,5,m,10,7,6,5,1,6,m,6,7,m,6,m,60,即,m,2,23,m,42,0,m,2,或,21,而,0,m,5,m,

10、2,C,m,8,C,2,8,28,3,m,C,m,n,m,n,m,n,m,n,n,1,m,1,n,m,n,n,1,m,1,n,m,n,C,m,1,n,1,點評,像排列數(shù)公式一樣，公式,C,m,n,n,n,1,n,2,n,m,1,m,一般用于計算；而公式,C,m,n,n,m,n,m,及,C,m,n,A,m,n,A,m,m,一般用于證明、解方程,不等式,等,變式探究,1,計算下列各式的值,1)3C,3,8,2C,2,5,2)C,98,100,C,199,200,3)C,3,7,C,4,7,C,5,8,C,6,9,4)C,38,n,3,n,C,3,n,21,n,解析,1)3C,3,8,2C,2,5,

11、3,8,7,6,3,2,1,2,5,4,2,1,148,2)C,98,100,C,199,200,C,2,100,C,1,200,100,99,2,1,200,5 150,3,原式,C,4,8,C,5,8,C,6,9,C,6,10,C,4,10,210,4,0,38,n,3,n,0,3,n,21,n,即,19,2,n,38,0,n,21,2,19,2,n,21,2,n,N,n,10,C,38,n,3,n,C,3,n,21,n,C,28,30,C,30,31,C,2,30,C,1,31,466,考點二,無約束條件的組合問題,例,2,某次足球賽共,12,支球隊參加，分三個階段進行,1,小組賽：經(jīng)抽

12、簽分成甲、乙兩組，每組,6,隊進行單循環(huán)比賽,以積分及凈勝球數(shù)取前兩名,2,半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二,名作主客場交叉淘汰賽,每兩隊主客場各賽一場,決出勝者,3,決賽：兩個勝隊參加決賽一場，決出勝負,問全部賽程共需比賽多少場,解析,1,小組賽中每組,6,隊進行單循環(huán)比賽，就是,6,支球隊的任,兩支球隊都要比賽一次，所需比賽的場次即為從,6,個元素中任取,2,個,元素的組合數(shù)，所以小組賽共要比賽,2C,2,6,2,6,5,1,2,30,場,2,半決賽中甲組第一名與乙組第二名,或乙組第一名與甲組第二,名,主客場各賽一場,所需比賽的場次即為從,2,個元素中任取,2,個元素,

13、的排列數(shù)，所以半決賽共要比賽,2A,2,2,2,1,2,4,場,3,決賽只需比賽,1,場，即可決出勝負,所以全部賽程共需比賽,30,4,1,35,場,點評,1,本題在小組賽時是單循環(huán)賽，與順序無關(guān)，是組合問,題；半決賽中實行主客場，屬排列問題；決賽只有一場，與順序無,關(guān)，是組合問題,2,解簡單的組合應(yīng)用題時，要先判斷它是不是組合問題，取出,元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列,與順序有關(guān)則是排列問題只有當該問題能構(gòu)成組合模型時，才能運,用組合數(shù)公式求出其種數(shù)在解題時還應(yīng)注意兩個計數(shù)原理的運用,在分類和分步時，注意有無重復(fù)或遺漏,變式探究,2,現(xiàn)有,10,名教師，其中男教師

14、,6,名，女教師,4,名,1,現(xiàn)要從中選,2,名去參加會議，有多少種不同的選法,2,選出,2,名男教師或,2,名女教師去外地學習的選法有多少種,解析,1,從,10,名教師中選,2,名去參加會議的選法種數(shù)，就是從,10,個不同元素中取出,2,個元素的組合數(shù)，即,C,2,10,10,9,2,1,45,2,可把問題分兩類：第,1,類，選出的,2,名是男教師有,C,2,6,種方法,第,2,類，選出的,2,名是女教師有,C,2,4,種方法，即,C,2,6,C,2,4,21,種,考點三,有限制條件的組合問題,例,3,高二,1,班共有,35,名同學，其中男生,20,名，女生,15,名，今從,中選出,3,名同

15、學參加活動,1,其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種,2,其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種,3,恰有,2,名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種,4,至少有,2,名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種,5,至多有,2,名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種,解析,1,從余下的,34,名學生中選取,2,名，有,C,2,34,561,種,不同的取法有,561,種,2,從,34,名可選學生中選取,3,名，有,C,3,34,種,或者,C,3,35,C,2,34,C,3,34,5 984,種,不同的取法有,5 984,種,3,從,20,名男生中選取,1,名，從,15,名女生中選取,2,名，有,C,1,20,C,2,

16、15,2,100,種,不同的取法有,2 100,種,4,選取,2,名女生有,C,1,20,C,2,15,種，選取,3,名女生有,C,3,15,種，共有選取方,式,N,C,1,20,C,2,15,C,3,15,2 100,455,2 555,種,不同的取法有,2 555,種,5,選取,3,名的總數(shù)有,C,3,35,因此選取方式共有,N,C,3,35,C,3,15,6,545,455,6 090,種,不同的取法有,6 090,種,點評,1,對于含有,必須在內(nèi),不能在內(nèi),恰有,至少,至多,等字眼的問題，應(yīng)合理使用兩個計數(shù)原理,2,解答組合應(yīng)用題的總體思路是,1,整體分類，從集合的意義講，分類要做到各

17、類的并集等于全,集即,不漏,任意兩類的交集等于空集即,不重,計算結(jié)果時使,用分類計數(shù)原理,2,局部分步，整體分類以后，對每類進行局部分步，分步要做,到步驟連續(xù)，保證分步不遺漏，同時步驟要獨立,變式探究,3,某醫(yī)院從,10,名醫(yī)療專家中抽調(diào),6,名奔赴災(zāi)區(qū)救災(zāi),其中這,10,名醫(yī)療專家中有,4,名是外科專家問,1,抽調(diào)的,6,名專家中恰有,2,名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種,2,抽調(diào)的,6,名專家中至少有,2,名是外科專家的抽調(diào)方法有多少,種,3,抽調(diào)的,6,名專家中至多有,2,名是外科專家的抽調(diào)方法有多少,種,解析,1,分步：首先從,4,名外科專家中任選,2,名，有,C,2,4,種選法,再從除

18、外科專家的,6,人中選取,4,人，有,C,4,6,種選法，所以共有,C,2,4,C,4,6,90,種抽調(diào)方法,2,至少”的含義是不低于，有兩種解答方法,方法一,直接法,按選取的外科專家的人數(shù)分類,選,2,名外科專家，共有,C,2,4,C,4,6,種選法,選,3,名外科專家，共有,C,3,4,C,3,6,種選法,選,4,名外科專家，共有,C,4,4,C,2,6,種選法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有,C,2,4,C,4,6,C,3,4,C,3,6,C,4,4,C,2,6,185,種抽調(diào),方法,方法二,間接法,不考慮是否有外科專家，共有,C,6,10,種選法，考慮,選取,1,名外科專家參加，有,C,1

19、,4,C,5,6,種選法；沒有外科專家參加，有,C,6,6,種,選法，所以共有,C,6,10,C,1,4,C,5,6,C,6,6,185,種抽調(diào)方法,3,至多,2,名”包括“沒有”“有,1,名”“有,2,名”三種情況，分,類解答,沒有外科專家參加，有,C,6,6,種選法,有,1,名外科專家參加，有,C,1,4,C,5,6,種選法,有,2,名外科專家參加，有,C,2,4,C,4,6,種選法,所以共有,C,6,6,C,1,4,C,5,6,C,2,4,C,4,6,115,種抽調(diào)方法,考點四,組合應(yīng)用中的分組問題,例,4 6,本不同的書，求按下列要求各有多少種不同的選法,1,分給甲、乙、丙三人，每人兩

20、本,2,分為三分，每份兩本,解析,1,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到,C,2,6,C,2,4,C,2,2,90,種,2,分給甲、乙、丙三人，每人兩本有,C,2,6,C,2,4,C,2,2,種方法，這個過程可,以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有,x,種方法；第二步,再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有,A,3,3,種方法根據(jù)分步乘法計數(shù),原理可得,C,2,6,C,2,4,C,2,2,x,A,3,3,所以,x,C,2,6,C,2,4,C,2,2,A,3,3,15,因此分為三份，每份兩本一共有,15,種方法,點評,1,解決這類問題的關(guān)鍵是分清其為分組問題還是分配問,題,2,分組問題屬于,組合,問題

21、，常見的分組問題有三種,1,完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等,2,部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有,n,組均勻，最后必須除以,n,3,完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象,變式探究,4,北京財富全球論壇期間，某高校有,14,名志愿者,參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班,4,人，每人每天最多值,一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為,A,C,12,14,C,4,12,C,4,8,B,C,12,14,A,4,12,A,4,8,C,C,12,14,C,4,12,C,4,8,A,3,3,D,C,12,14,C,4,12,C,4,8,A,3,3,解析,首先從,14,人中選出,12,人共,C,12,

22、14,種，然后將,12,人平均分為,3,組,共,C,4,12,C,4,8,C,4,4,A,3,3,種，然后這兩步相乘，得,C,12,14,C,4,12,C,4,8,A,3,3,將三組分配下去共,C,12,14,C,4,12,C,4,8,種故選,A,答案,A,考點五,排列與組合的綜合應(yīng)用,例,5,從,1,到,9,的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)試問,1,能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),2,上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個,3)(1,中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾,個,4)(1,中任意兩個偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個,解析,1,分步完成：第一步在,4,個偶數(shù)中取,3,個，可有,

23、C,3,4,種情,況；第二步在,5,個奇數(shù)中取,4,個，可有,C,4,5,種情況；第三步,3,個偶數(shù),4,個,奇數(shù)進行排列，可有,A,7,7,種情況，所以符合題意的七位數(shù)有,C,3,4,C,4,5,A,7,7,100 800,個,2,上述七位數(shù)中，三個偶數(shù)排在一起的有,C,3,4,C,4,5,A,5,5,A,3,3,14,400,個,3,上述七位數(shù)中,3,個偶數(shù)排在一起,4,個奇數(shù)也排在一起的有,C,3,4,C,4,5,A,3,3,A,4,4,A,2,2,5 760,個,4,上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把,4,個奇數(shù)排好，再將,3,個偶數(shù)分別插入,5,個空檔，共有,C,3,4,C,4,5,A,4,4,A,3,5,28 800,個,點評,解答排列、組合綜合問題的一般思路和注意點,1,一般思路,