16-3-3直線與圓的位置關(guān)系(3).講義教師版

1、目M歸 中考要求例題精講板塊考試要求A級要求B級要求C級要求直線與圓的W 方 位置大糸了解直線與圓的位置關(guān)系； 了解切線的概念，理解切線 與過切點的半徑之間關(guān)系； 會過圓上一點畫圓的切線能判定一條直線是否為圓的切線；能利用直 線和圓的位置關(guān)系解決簡單問題能解決與切線有關(guān)的問 題切線長了解切線長的概念會根據(jù)切線長知識解決簡單問題、切線長定理【例1】 如圖，PA, PB分別是、0的切線，A, B為切點，AC是、0的直徑，已知 NBAC =35，乙P的 度數(shù)為（）A. 35B. 45C. 60D. 70【考點】切線長定理【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2008年，四川涼山【解析】根據(jù)切線長定理結(jié)合

2、直徑所對圓周角是90所以選D【答案】D【鞏固】如圖，PA、PB分別切O O于A ,B兩點，PC滿足AB卩B - AC FC =ABPC - AC PB，且AP _PC , ZPAB =2/BPC，求 ZACB 的度數(shù).【考點】切線長定理A D【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】I PA、PB都是OO的切線， PA=PB/ AB PB -AC PC =AB PC -AC PB , AB AC PB_PC ；=0 PB =PC , A、B、C三點都在以P為圓心，PA為半徑的圓上. 設(shè).ACB，貝y . APB =2：. ,. BPC =90 2：.T . PAB =2. BPC ,

3、 . PAB=. PBA = 2 90 -2: =180 -4:在 PAB 中，.APB . PAB . PBA =180，即 2 180 -4:2: =180 6=180 , =30 ，即乙 ACB =30 .【例2】 如圖，從圓O外一點P引圓O的兩條切線PA, PB ,切點分別為A, B .如果.APB =60 ； PA =8 , 那么弦AB的長是()A . 4B. 8C. 4 3D. 8.3A【考點】切線長定理【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2008年，上海市【解析】根據(jù)切線長定理結(jié)合等邊三角形性質(zhì)，所以選 B【答案】B【鞏固】一個鋼管放在 V形架內(nèi)，右圖是其截面圖,O為鋼管的圓心.如

4、果鋼管的半徑為25 cm ,.MPN =60，貝V OP =()A . 50 cmB. 25 3 cm50、. 3C .cm3D . 50 3 cmP【考點】切線長定理【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2009年，綿陽【解析】考察對切線長定理的應(yīng)用，所以選 A【答案】A【例3】 如圖，已知以直角梯形 ABCD的腰CD為直徑的半圓O與梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相 切，切點分別是D , C , E .若半圓O的半徑為2 ,梯形的腰AB為5 ,則該梯形的周長是 ()B . 10C . 12D . 14O【考點】切線長定理【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2008年，泰州市【解析】由切線長定理

5、可知：AD二AE，BC二BE , 梯形 ABCD 的周長為 AB BC CD AD =2AB CD =104 =14 ,故選D .【答案】D【鞏固】等腰梯形 ABCD外切于圓，且中位線 MN的長為10,那么這個等腰梯形的周長是 【考點】切線的性質(zhì)及判定【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】40【例4】 如圖，PA、PB、DE分別切OO于A、B、C，若PO=10, PDE周長為16，求OO的半徑.【考點】切線長定理【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】連結(jié)OA PA、PB、DE 都與 OO 相切， PA 二 PB , DC =DA , EC EB , PDE 周長二PD DE

6、PE =PD DC CE PE=PD DA EB PE =PA PB =16 PA =8 OA =PO2 PA2 =6，即 O O 的半徑為 6 .【答案】6【鞏固】如圖，PA, PB切、O于A, B , MN切、O于C，交AB 于M , N兩點，已知PA =8，求P/N 的周長.【考點】切線長定理【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】由切線長定理可知：PA =PB , MA =MC , NC二NB ,/ PMN 的周長：L 二 PM MC CN PN 二 PM MA NB PN 二 PA PB = 16 【答案】16【例5】 由圓外一點P引圓的兩條切線 PB、PD，B、AD / PO .

7、D為切點，過B作直徑AB，連接AD、PO，則圓周角定理，切線長定理3星解答【考點】【難度】【題型】【關(guān)鍵詞】OD .=PB, PO 公共, ，有 1 = 2 .【解析】略【答案】證法一：如圖，連接/ OD =0B , PD/ . PDO 也.PBO 設(shè) PO 交 BD 于 E , De =BE , 2 =BD 的度數(shù).2又.A =】Bd的度數(shù)，2 . A = 2 . AD / PO .證法二：如圖，連接 BD ./ PD =PB，乙DPO ZBPO , PO _ BD .T AB為直徑， AD _BD . AD / PO .證法三：如圖，連接 BD、OD ./ OD =OB , PD 二 PB

8、 , PO是BD的中垂線.設(shè)PO交BD于F , DF 二BF，又 AO 二BO , OF / AD，即 AD / PO .證法四：如圖，連接 OD，延長PO交圓于F ./ . PDO 也.PBO , M1 = 2 , DG =BG .又 2 “3 , DG =AF，故 AD / PO .【鞏固】過圓O的直徑AB的兩端作圓的切線 AD、BE 證：OD _OE .3星解答【考點】【難度】【題型】【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】證法一：如圖，/ AD =CD ,廠7c 廠A101AFBEB，分別與過AB任一點C這切線相交于D、E，求連接OD公共,OC，顯然 OC _ DE，OA _ AD . Rt .

9、AOD 也 Rt. COD , .仁.2 .同理.3 =. 4 ,.1.4= 2.3-. DOE .又.1.4.2. 3J80 , 即 2 DOE =180 . . DOE =90 . OD _DE .證法二：如圖，連接 OC . AD_AB , BE_AB , AD / BE , . ADO . CDO . BEO . CEO =180 .又 NADO ZCDO，匚BEO ZCEO , . CDO . CEO =90 . OD _OE . 證法三： 如圖，延長 DO交BE于F . AD / BE , . ADF DFE .又.ADF FDE , . DFE = FDE , EDF為等腰三角形

10、. . DEO =/FEO , OD _OE .證法四：如圖，過 O作OF / BE交DE于F . AD / BE , ABED為梯形.又 AO 二 BO ,1 DF =EF , OF (AD BE).2又 AD =CD , BE =CE ,1 AD BE =DE , OF DE .2 DOE是直角三角形，DE是斜邊. OD _OE .【例6】 如圖甲，已知AB為半圓O的直徑，AP為過點A的半圓的切線，在AB上任取一點C (點C與A、 B不重合)，過點C作半圓的切線CD交AP于點D，過點C作CE _ AB，垂足為E，連接BD , 交CE于點F .(1)當點C為AB的中點時，求證：CF二EF ；

11、(2)當點C不是AB的中點時(圖乙)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否存在，并證明你的結(jié)論.P CABE O甲FE O乙P C1PGCA E O【考點】 【難度】 【題型】【關(guān)鍵詞】 【解析】【答案】切線長定理3星解答略1) DA為切線，AB為直徑， DA _ AB 點C是Ab的中點，且ce CE過圓心，點E為半圓的圓心，又 CE _AB ,四邊形DAEC為矩形， CE / AD , CE =AD ,EFBE111小，即 EF AD ECADAB222 F為EC中點，貝U CF =EF(2) CF =EF證明：連接BC ,并延長BC交AP于點 半圓O的切線， DC =DA , . DAC DCA

12、 , AB為直徑， . ACB =90 , . ACG =90 , /G ZDAC ZDCA EDCG =90 , . G = . DCG ,在. GDC 中，CD =DG , GD =DA , AP是半圓 AP _ AB, CE / AP , CF BFGD _BD _AD CF 二EFAD、 DC 是O的切線， 又 CE _ AB, AB ,G，連接AC ,【鞏固】已知，如圖， AB是。O的直徑，I是過B點的OO的切線，C是I上一動點(不與點B重合)，AC 與O O交于D (1 )若M是BC的中點，試判斷直線 DM與OO的位置關(guān)系，并證明；(2)過動點C作O O的切線CP , P為切點，且

13、交過點A的O O的切線于E ,若O O的半徑為2 , 試問PC PE是否為一定值？若是，請求出這個值；若不是，請求出其變化范圍.【考點】切線的性質(zhì)及判定，切線長定理【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】（1）連結(jié)OD、BD/ AB是 OO 的直徑， . ADB = BDC =90 ,/ OA =OD , 二A =/ADO ,1 M 是 BC 的中點， DM =CMBC ,二.MCD 二/MDC ,2/ l 是 O O 的切線， ABC =90 , ； A EC =90 , . ADO . MDC =90 , . ODM =90 , OD是半徑， DM與OO相切.（2）解法一：如圖

14、，連結(jié) OE、OC ,/ AE、BC、CE 都是 O O 的切線， AE=EP , PC = BC ,且 AE / BC , . AEO =. PEO , BCO =. PCO , . COE =90，則易得.：AOE s . BOC ,生二，即 AE BC = AO BO ,OB BC2 AE =EP , PC =BC , PC PE =AO =4 , PC PE是定值.解法二：如圖，過 E點作EF _BC于F , 同解法一，可以得到 AE =EP , PC =BC ,設(shè) AE =EP =x, BC =PC =y，貝U CE =x y , EF _BC，易得四邊形 ABFE是矩形， BF A

15、E =x , EF = AB =4，貝U CF y x ,在 Rt. EFC 中，.EFC =90 , EF2 FCCE2 ,2 2 2即 4 亠 iy-x x y , 4xy =16 , xy=4,則 PC PE 二xy =4 , PC PE是定值.二、三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【例7】 如圖，等邊 ABC的邊長為12cm，內(nèi)切O切BC邊于D點，則圖中陰影部分的面積為 （）2J32A ncmB. ncm3C. 2 ncm2D . 、3 ncm2A【考點】三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】考察等邊三角形與其內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，結(jié)合扇形面積所以答案C【答案】C【鞏固】如圖，點

16、 0是.：ABC的內(nèi)切圓的圓心，若-BAC =80，則.BOC二（）A . 130 B . 100 C. 50 D . 65 C【考點】三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2006年，宜昌市【解析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓圓心是三角形三條角分線的交點.所以答案選【答案】A【例8 如下圖所示，JABC的內(nèi)切圓與三邊 AB、BC、CA分別切于 D、E、F , AB=11cm . BC =13cm , CA =14cm，求 AD、BE、CF 的長.【考點三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【難度2星【題型解答【關(guān)鍵詞【解析 AB、BC、CA 與 OO 相切， AD=AF , BD = BE , CE =C

17、F設(shè) AD =x , BD =y , CE =z ,x y =11x = 6,y z =13，解得 y =5,z x =14z =8.即AD、BE、AF的長分別為6cm、5cm和8cm .【答案AD、BE、AF的長分別為6cm、5cm和8cm【鞏固ABC中，AB =7 , BC =8 , CA =9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE / BC，分別與 AB , AC 相交于點D , E，貝U DE的長為.A【考點】三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】解法一：如圖,Zaha2=S ABC【答案】所以rha a b c設(shè)ABC的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，1(a

18、b c)r，2a因為厶ADE s ABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此所以DE8 (79)163aa b ca(b c) a beha=DEha BC解法二：t S abc =rp = p( p -a)( p -b)( p -c) = . 12 4 3 5 =12.5故DE =8 7 9(這里pa +b +c、1 ),2所以r2 5 = .5 ,122 12.58,2S ABChaaDEBCha - r35 - 52ha3 一 53即DE =；=BC :163316由 ADEs ABC ,3【例9 如圖，為Rt ABC的內(nèi)切圓,CBC邊上的高為ha ,則ZACB =90 , AC =4 , B

19、C =3，求內(nèi)切圓半徑 r .【考點三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【難度3星【題型解答【關(guān)鍵詞【解析解法連接 OA, OB , OC ,T AC = 4, BC =3 , AB =5S BOC S AOC S AOB = S ABC , 設(shè)三角形的底 BC , AB , AC各為a , b , c ,11113 4即 ar br cr ab , r122223 4 5解法二 設(shè)、O 切 BC , AC , AB 于 M ,N , P 三點， 由切線長定理可知：CN =CM , AN =AP , BM =BP CM CN =(CB -BM ) (AC -AN)=BC AC _BP _AP=BC AC -A

20、B =34-5=2/ CM =CN , CM =1 ,由.C =90 , OM _BC , ON _AC可證得四邊形 OMCN為正方形. OM 二MC =1，即、O 的半徑 r =1 .【答案】1【鞏固】 RtMBC中，乂C=90, AC =6 , BC =8，貝U MBC的內(nèi)切圓半徑r=【考點】三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，湖北荊門【解析】略【答案】2目歸 課后作業(yè)1.如圖，oO是ABC的內(nèi)切圓,D , E , F 是切點，AB =18cm , BC =20cm , AC =12cm，又直線MN切OO于G，交AB、AC于MN，則BMN的周長為【考點】切線長

21、定理【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】由切線長定理可知 AE =AF , BD =BF , CD =CE ,/ AB =18cm , BC =20cm , AC =12cm ,1- AE CE BF AB BC AC =25cm , 2 BF =2512 =13cm ./ MN 是 OO 切線， MG =MF , NG =ND , . BMN 的周長=BM MN BN =BM MG GN BN =BF BD =26cm .【答案】26 cm2.如圖，已知 AB是OO的直徑，BC是和OO相切于點B的切線，O O的弦AD平行于OC，若OA = 2，且 AD OC =6，求 CD 的長.CA

22、O【考點】切線長定理【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】連結(jié) OD、BD ./ BC是OO的切線， AB是直徑， AB _BC , ADB =90/ OA =OD , . OAD =/ODA ,/ AD / OC , . OAD =/BOC , ODA =/COD , . BOC =/COD , . COB B . COD SAS , . ODC =/OBC =90 , OD _CD CD與OO相切. CD =BC又.OAD =. BOC , ODC =. OBC =90 , ABD s QCBAD ABOB OC即 AD OC =OB AB =2 4 =8 AD =2 , OC =4

23、.在 Rt . ：BOC 中，.OBC =90 , BC = . OC2 -OB22、3 CD的長為2 .3 .【答案】2 33. 在一個夾角為120的墻角放置了一個圓形的容器，俯視圖如圖，在俯視圖中圓與兩邊的墻分別切于B ,C點，如果用帶刻度的直尺測量圓形容器的直徑，發(fā)現(xiàn)直尺的長度不夠(1) 寫出此圖中相等的線段；(2) 請你設(shè)計兩種不同的通過計算可求出直徑的方法(只寫主要的解題過程)【考點】切線長定理【難度】3星【題型】【關(guān)鍵詞】海淀，一?！窘馕觥柯浴敬鸢浮?1) AB =AC ,(2 )方法一：作ZBAC的平分線，過點 B作射線AB的垂線交于點 O ,由圖形的對稱性可知圓心在 ZBAC的平分線上，點0就是該圓的圓心.可測得AB的長度，在Rt.lAOB中，.BAO=60 , OB = AB tan 60J3AB , /直徑為 2 . 3AB ,方法二：連接OC，BC，可證得ACOB是等邊三角形， BC -OC，可求得BC的長度，直徑等于2BC .A