北師版數(shù)學七年級上冊一元一次方程經(jīng)典例題

1、第三章 一元一次方程 教學重點：1、一元一次方程和方程的解的概念；2、理解和應(yīng)用等式的性質(zhì)；3、找相等關(guān)系列一元一次方程，用合并、移項解一元一次方程；4、去括號法則在解方程中的熟練應(yīng)用；5、利用“去分母”將方程作變形處理；6、建立方程解決實際問題，會解 “axb=c”類型的一元一次方程。7、將實際問題抽象為方程，列方程解應(yīng)用題。精例精析例1、判斷下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)1+2=3 ； (2)； (3) =0； (4) R2； (5)； （6）分析：判斷一個式子是不是方程，第一要看是不是含有未知數(shù)；第二要看是不是等式；判斷方程是不是一元一次方程，第一要看是不是只含有一

2、個字母（看作未知數(shù)）；第二要看，未知數(shù)的次數(shù)是不是都為1.解：方程：(2)； (3)=0；(5)；（6） 一元一次方程：(2)；(5)【小結(jié)】：在運用定義進行判斷時，通?？蓮恼磧蓚€方面著手：完全符合條件的，必屬所定義類別；只要有一個條件不符合，必不屬于所定例2、已知是關(guān)于的一元一次方程，求的值.分析：本題的解題關(guān)鍵是緊扣一元一次方程系數(shù)和指數(shù)的限制，建立相應(yīng)全面的數(shù)量關(guān)系.解：由題意可知該方程是一元一次方程，所以二次項的系數(shù)必須為0，即，;而一次項系數(shù)，則，綜合以上， 【小結(jié)】：正確識別一元一次方程應(yīng)注意以下幾點：（1）只含有一個未知數(shù)：（2）未知數(shù)的次數(shù)是1（若次數(shù)不是1的項，其系數(shù)必須為

3、0）；（3）未知數(shù)的系數(shù)不為0.例3、解下列一元一次方程：（1） （2）分析：將方程中含有未知數(shù)的項移到左邊，把常數(shù)項移到右邊，通過合并，把系數(shù)化為1就可以求出方程的解.解：（1）移項，得： 合并同類項，得：系數(shù)化為1，得：（2）移項，得： 合并同類項，得： 系數(shù)化為1，得：【小結(jié)】：（1）合并同類項：合并是指根據(jù)分配律，把含的幾項合并成一個式子.如： （2）移項：方程中的任何一項，都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這類變形叫做移項，這個法則叫做移項法則，利用移項求出方程解的方法叫做移項法.移項的根據(jù)是等式的性質(zhì).例4、解方程 (1) ； (2) .分析：與前面學過的方程相比，本題多

4、了括號，只要能去掉括號，就轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的問題了；含有多重括號的方程，在解題過程中應(yīng)按照由內(nèi)到外（或由外到內(nèi)）的順序依次去括號.解：（1）去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數(shù)化為1，得： （2）去中括號，得： 去小括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數(shù)化為1，得：【小結(jié)】：去括號法則：括號外的因數(shù)是正數(shù)時，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同；括號外的因數(shù)是負數(shù)時，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反；有多重括號時，要按照由內(nèi)到外（或由外到內(nèi)）的順序依次去括號.例5、解方程 （1）； （2）分析：與前面學過的方程相比，本題多了分母，如果能去掉分母就可以轉(zhuǎn)

5、化為整式方程；方程中含有小數(shù)，特別是分母含有小數(shù)，計算起來比較麻煩。解這類方程時，先利用分數(shù)的性質(zhì)把分子、分母同時擴大相同的倍數(shù).解：（1）去分母，得： 去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數(shù)化為1，得： （2）利用分數(shù)基本性質(zhì)去掉分母中的小數(shù)，得： 去分母，得： 去括號，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數(shù)化為1，得：【小結(jié)】：去分母的方法：對于含有分數(shù)系數(shù)的方程，可以運用等式的性質(zhì)2，在方程的兩邊同乘以所有分母的最小公倍數(shù)，將方程化為整系數(shù)的方程.這種化簡的方法叫做去分母.例6、解方程 （1）； （2）分析：與前面學過的方程相比，本題多了分母，如果能去掉分母就可以轉(zhuǎn)化為整式方

6、程；方程中含有小數(shù)，特別是分母含有小數(shù)，計算起來比較麻煩.解這類方程時，先利用分數(shù)的性質(zhì)把分子、分母同時擴大相同的倍數(shù).解：（1）去分母，得：10x5（x1）=202(x3) 去括號，得：10x5x+5=202x+6 移項，得：10x5x+2x=20+65 合并同類項，得：7x=21 系數(shù)化為1，得：x=3 （2）利用分數(shù)基本性質(zhì)去掉分母中的小數(shù)，得： 去分母，得：4（x1）0.8x=1.2 去括號，得：4x40.8x=1.2 移項，得：4x0.8x=1.2+4 合并同類項，得：3.2x=5.2 系數(shù)化為1，得：x=【小結(jié)】：（1）在解方程時，應(yīng)注意觀察方程的特點，根據(jù)方程的特點，靈活把握求解

7、的方法步驟；（2）求解過程中的步驟并不是固定不變的；（3）通過解方程體驗轉(zhuǎn)化思想.例7、學校新進一批教學設(shè)備，共由若干個小箱組成，讓七（1）班的學生去運，若每人8箱，還余36箱；若每人10箱，還缺少44箱. 問這批設(shè)備共有多少箱？這個班有多少人？分析：若設(shè)這批設(shè)備為未知數(shù)，那么相等關(guān)系是“表示七（1）班多少人的兩個不相同的式子”；同樣可以設(shè)七（1）班的人數(shù)為未知數(shù)。解：設(shè)七（1）班有名學生，則這批設(shè)備可以表示為箱或箱，根據(jù)題意列方程，得： 移項，得： 合并同類項，得： 系數(shù)化為1，得：，那么答：這批設(shè)備有356箱，這個班有40人.【小結(jié)】：列一元一次方程解實際問題找等量關(guān)系是關(guān)鍵， 注意抓住基

8、本等量關(guān)系：表示同一個量的兩個不同的式子相等。 例8、根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運專線項目建成后，連云港至徐州的最短客運時間將由現(xiàn)在的2小時18分鐘縮短為36分鐘，其速度每小時將提高260km,求提速后的火車速度.(精確到1km/h)解：設(shè)提速后的火車速度是x km/h，根據(jù)題意，得：2.3(x260)=0.6x, 解得x=352.答：提速后的火車速度是352km/h.1、總結(jié)：解較簡單的一元一次方程的步驟：移項：將常數(shù)項放在等號的右邊，未知數(shù)的項放在等號的左邊；合并：將同類項進行合并，一般要逆用分配律；系數(shù)化為1：用等式的性質(zhì)2，化成的形式.2、列方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1

9、）設(shè)恰當?shù)奈粗獢?shù)，并用表示相關(guān)的量；（2）根據(jù)相等關(guān)系列一元一次方程；（3）解一元一次方程；（4）作答.3、去括號解方程時，一是：要注意不要漏乘項，二是：當括號外的因數(shù)是負數(shù)時，要注意去掉括號后的各項都要變號例題變招例9、已知方程，求整式的值.分析：如果按照解含分母的一元一次方程的一般步驟，最小公分母就會比較大，給我們計算帶來麻煩，再觀察已知方程和要求整式，方程中含有，整式中含有，它們只相差個負號.解：由，得：，即： 原整式=【小結(jié)】：對于解分母比較大的方程，應(yīng)該首先觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，然后運用技巧根據(jù)特征可以簡化計算.例10、已知關(guān)于x的方程和有相同的解，求這個相同的解.解：甲的研究 先用a

10、分別表示兩個方程的解，再求出a，從而解出x. 由得：7x=2a， x=. 由得：21x=272a, x=. 兩個方程的解相同，=，a=. 相同的解為x=. 乙的探究 3，得：21x=6a. 由知，27-2a=6a, a=. x=. 丙的探究 由得：a=， ，解得：x=.【小結(jié)】：解答此類題目首先要用含有字母的式子表示方程的解，然后根據(jù)特征計算出結(jié)果；本題采用了三種方法求出了x的值，請同學們比較一下哪種方法簡單。中考直通車例11、去年秋季以來，我市某鎮(zhèn)遭受百年一遇的特大干旱，為支援該鎮(zhèn)抗旱，上級下?lián)軐ｍ椏购蒂Y金80萬元用于打井已知用這80萬元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井和生活用井分

11、別需要資金4萬元和0.2萬元，求這兩種井各打多少口？解：設(shè)灌溉用井打x口，生活用井打58x口，由題意得： 4x+0.2(58x)=80 解得：x=18 那么58x=40答：灌溉用井打18口，生活用井打40口【小結(jié)】：找等量關(guān)系是關(guān)鍵，注意抓住基本等量關(guān)系：總量各部分量的和。例12、在長為10m,寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示求小矩形花圃的長和寬 解：設(shè)小矩形的長為x m，由題意得： 10x=8（102x） 解得：x=4 那么102x=2答：小矩形花圃的長和寬分別為4m, 2m.四、歸納小結(jié) 1、解一元一次方程的一般步驟：去分母，注意方程

12、中所有項都乘以最小公倍數(shù).去括號，注意括號前的數(shù)和符號一起與括號內(nèi)每項相乘.移項，注意移的項變號，未移的項不變.合并同類項，注意未知項的系數(shù)相加作為未知項的系數(shù)，常數(shù)項合并作常數(shù)項.系數(shù)化為1，方程兩邊都除以未知項的系數(shù)或都乘以未知項系數(shù)的倒數(shù).注意：上述步驟不是一成不變的，要根據(jù)方程的特點，靈活處理，如有時可以先合并同類項再移項。2、解決較復雜的一元一次方程問題時，要靈活運用分類思想和整體代換思想。3、知識總結(jié)等式等式的性質(zhì)方程方程的解一元一次方程和它的解法解方程一元一次方程的應(yīng)用 例13、某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉

13、庫中的糧食是第一個中的.問每個倉庫各有多少糧食？解：設(shè)第二個倉庫有x噸糧食，則第一個倉庫有3x噸糧食，根據(jù)題意，得： x+20=(3x20)解得：x=30 那么3x=90答：第一個倉庫有90噸糧食，第二個倉庫有30噸糧食.【小結(jié)】：在解答應(yīng)用題時，若題中出現(xiàn)“幾倍”、共、多、少、快、慢、提前、超過、增加、相差等含數(shù)量關(guān)系的句子，應(yīng)抓住它們進行分析，以使相等關(guān)系顯現(xiàn)出來.例14、某種商品的標價是650元，打8折銷售，仍可獲得4%的利潤，這種商品的進價是多少？分析：打折是相對標價而言，而利潤率是相對于進價而言，本題的等量關(guān)系是：售價進價 =利潤=進價利潤率. 解：設(shè)進價為x元，則：65080%x=

14、4%x. 解得： x=500 經(jīng)檢驗，符合題意. 答：這種商品的進價是500元.【小結(jié)】：商品的利潤率問題常見數(shù)量關(guān)系：利潤率=；利潤=售價-進價；注意事項：分清利潤與利潤率；打幾折就是按原價的百分之幾十后出售.例15、儲戶到銀行存款，一段時間后，銀行要向儲戶支付存款利息，同時銀行還將代扣由儲戶向國家繳納的利息稅，稅率為利息的20%.（1）將8500元錢以一年期的定期儲蓄存入銀行，年利率為2.2%，到期支取時可得到利息_元.扣除個人所得稅后實得_元；（2）小明的父親將一筆資金按一年期的定期儲蓄存入銀行，年利率為2.2%，到期支取時，扣除所得稅后得本金和利息共計71232元，問這筆資金是多少元？

15、（3）王紅的爸爸把一筆錢按三年期的定期儲蓄存入銀行，假設(shè)年利率為3%，到期支取時扣除所得稅后實得利息為432元，問王紅的爸爸存入銀行的本金是多少？分析：利息=本金利率期數(shù)，存幾年，期數(shù)就是幾，另外，還要注意，實得利息=利息利息稅. 解：（1）利息=本金利率期數(shù)=85002.2%1=187元 實得利息=利息（120%）=1870.8=149.6元. （2）設(shè)這筆資金為x元，依題意，得： x(12.2%0.8)=71232. 解方程，得：x=70000. 經(jīng)檢驗，符合題意. 答：這筆資金為70000元. （3）設(shè)這筆資金為x元，依題意，得： x33%(120%)=432 解方程，得：x=6000.

16、 經(jīng)檢驗，符合題意. 答：這筆資金為6000元. 【小結(jié)】：利息問題常用公式：利息=本金利率期數(shù)；本息=本金+利息；常見數(shù)量關(guān)系：利息稅=利息稅率；實得利息=利息利息稅；注意月利率與年利率的區(qū)別例16、甲、乙兩地相距162千米，甲地有一輛貨車，速度為每小時48千米，乙地有一輛客車，速度為每小時60千米，求：（1）若兩車同時相向而行，多長時間可以相遇？（2）若兩車同時背向而行，多長時間兩車相距270千米？（3）若兩車相向而行，貨車先開1小時，再過多長時間可以相遇？分析：在行程問題，我們可以先畫示意圖，從圖中就可以得到等量關(guān)系解：（1）設(shè)x小時可以相遇則由題意可列：48x+60x=162解得：x=

17、1.5答：若兩車同時相向而行，1.5小時可以相遇。（2）設(shè)x小時兩車相距270千米則由題意可列：48x+162+60x=270解得：x=1答：若兩車同時背向而行，行駛1小時兩車相距270千米。（3）設(shè)再過x小時兩車可以相遇則由題意可列：48(x+1)+60x=162解得：x=答：再過小時兩車可以相遇。【小結(jié)】：能利用示意圖作為建模策略，分析行程問題中的等量關(guān)系列方程. 分析問題重在理順路程、時間、速度三者的關(guān)系，抓住其中的一條線索路程（或時間或速度）找相等關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵.例17、修筑一條公路，甲工程隊單獨承包要80天完成，乙工程隊單獨承包要120天完成.（1）現(xiàn)在由兩個工程隊合作承包，幾

18、天可以完成？（2）如果甲乙兩工程隊合作了30天，因甲工作隊另有任務(wù)，剩下工作由乙工作隊完成，則修好這條公路共需要幾天?分析：工程總量為單位1，甲工程隊每天完成，乙工程隊每天完成（1）解：設(shè)由兩個工程隊合作承包，x天可以完成.由題意可列方程：解方程得：所以兩個工程隊合作承包，48天可以完成. （2）分析：甲乙兩工程隊合作了30天，那他們完成的工程為：解：設(shè)剩下工作由乙工作隊完成還需要天.由題意可列方程：解方程得： 所以修好這條公路共需要：30+45=75天【小結(jié)】： 工程問題中要善于把握什么是總工作量，總工作量可以看成“1”；工程問題中的等量關(guān)系一般是各部分完成的工作量之和等于總工作量“1”。例

19、18、如右圖：小杰、小麗分別在400米環(huán)形跑道上練習跑步與競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一點出發(fā)，問幾分鐘后，小麗與小杰第一次相遇？分析：問題中給出的已知量和未知量各是什么？圖中給出了什么信息？如果設(shè)x分鐘后，小麗與小杰第一次相遇，請試著完成下表：路程速度時間小麗小杰已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？小杰跑的路程小麗走的路程=環(huán)形跑道一周的長問題二：小杰、小麗分別在400米環(huán)形跑道上練習跑步與競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一點反向而跑，問幾分鐘后，小麗與小杰第一次相遇？分析：已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？小杰跑的路

20、程+小麗走的路程=環(huán)形跑道一周的長（1）解：設(shè)x分鐘后，小麗與小杰第一次相遇.320x120x=400解得： x=2（2）解：設(shè)x分鐘后，小麗與小杰第一次相遇.320x+120x=400解方程得：x=答：分鐘后，小麗與小杰第一次相遇.【小結(jié)】：借助示意圖和列表格分析問題，建立等量關(guān)系.中考直通車例19、目前“自駕游”已成為人們出游的重要方式“五一”節(jié)，林老師駕轎車從舟山出發(fā)，上高速公路途經(jīng)舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速，其間用了4.5小時；返回時平均速度提高了10千米小時，比去時少用了半小時回到舟山嘉興舟山東海（1）求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程；（2）兩座跨海大橋的長度及過橋費見下表：大橋名稱舟山跨海大橋杭州灣跨海大橋大橋長度48千米36千米過橋費100元80元省交通部門規(guī)定：轎車的高速公路通行費（元）的計算方法為：，其中（元千米）為高速公路里程費，（千米）為高速公路里程（不包括跨海大橋長），（元）為跨海大橋過橋費若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費為295.4元，求轎車的高速公路里程費解：（1）設(shè)舟山與嘉興兩地間的高速公路路程為s千米，由題意得： 解得：s=360答：舟山與嘉興兩地間的高速公路路程為360千米(2) 將x=3604836=276，b=100+80=180，y=295.4，