無(wú)窮小和無(wú)窮大

1、第三節(jié) 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量,2.3.1 無(wú)窮小量,1.定義1 設(shè) f (x)在某U(x0)內(nèi)有定義. 若 則稱 f (x)為當(dāng) xx0 時(shí)的無(wú)窮小量,例如,2)無(wú)窮小量與極限過(guò)程分不開(kāi)，不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮小量,如sinx是x0時(shí)的無(wú)窮小量，但,注,1)無(wú)窮小量是變量，不能與很小的數(shù)混淆,3)關(guān)于有界量,2.無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì),時(shí), 有,定理1. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小,證: 考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和,設(shè),當(dāng),時(shí) , 有,當(dāng),時(shí) , 有,取,則當(dāng),因此,這說(shuō)明當(dāng),時(shí),為無(wú)窮小量,定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,證: 設(shè),又設(shè),即,當(dāng),時(shí), 有,取,則當(dāng),時(shí) , 就有,故,即,是,時(shí)

2、的無(wú)窮小,推論 1 . 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,推論 2 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,其中 為,時(shí)的無(wú)窮小量,定理2.3.1. ( 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系,證,當(dāng),時(shí),有,對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類似可證,2.3.2、 無(wú)窮大,定義2 . 若任給 M 0,一切滿足不等式,的 x , 總有,則稱函數(shù),當(dāng),時(shí)為無(wú)窮大,使對(duì),若在定義中將 式改為,則記作,正數(shù) X ),記作,總存在,概念：在某個(gè)變化過(guò)程中，絕對(duì)值無(wú)限增大的函數(shù)，稱為在此變化過(guò)程中的無(wú)窮大量.(非正常極限,注意,1. 無(wú)窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài),2. 函數(shù)為無(wú)窮大 , 必定無(wú)界 . 但反之不真,例如, 函數(shù),當(dāng)

3、,但,不是無(wú)窮大,例 . 證明,證: 任給正數(shù) M,要使,即,只要取,則對(duì)滿足,的一切 x , 有,所以,若,則直線,為曲線,的鉛直漸近線,漸近線,說(shuō)明,無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,若,為無(wú)窮大,為無(wú)窮小,若,為無(wú)窮小, 且,則,為無(wú)窮大,則,定理2.3.2 在自變量的同一變化過(guò)程中,2.3.3 無(wú)窮小量階的比較,都是無(wú)窮小,引例,但,可見(jiàn)無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的,若,則稱 是比 高階的無(wú)窮小,若,若,若,若,或,記作,則稱 是比 低階的無(wú)窮小,則稱 是 的同階無(wú)窮小,則稱 是關(guān)于 的 k 階無(wú)窮小,則稱 是 的等價(jià)無(wú)窮小,記作,定義2.3.3,例如 , 當(dāng),時(shí),又如,故,時(shí),是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小,且,例1. 證明: 當(dāng),時(shí),證,命題2.3.2,證,即,即,例如,故,命題2.3.3 設(shè),且,存在 , 則,證,例如,無(wú)窮小量的等價(jià)替換定理,求兩個(gè)無(wú)窮小量比值的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小 量來(lái)代替 因此，如果用來(lái)代替的無(wú)窮小量選取得適當(dāng)，則可使計(jì) 算簡(jiǎn)化,定理3.12的意義,常用等價(jià)無(wú)窮小,無(wú)窮小量的等價(jià)替換定理的幾何意義,解 當(dāng)x0時(shí) tan 2x2x sin 5x5x 所以,說(shuō)明 只有對(duì)所求極限式相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小