般利率期限結(jié)構(gòu)模型.ppt

1、a,1,一般利率期限結(jié)構(gòu)模型,林海 （廈門大學(xué)金融系，361005,a,2,內(nèi)容提要,主要利用一般資產(chǎn)定價(jià)中隨機(jī)貼現(xiàn)因子的概念對利率的變動(dòng)情況進(jìn)行理論上的分析。通過這種分析方法，就可以將不同種類的利率期限結(jié)構(gòu)模型歸納到一個(gè)統(tǒng)一的框架中來。本文的思想主要來源于Cochrane(2000)、Dai and Singleton(2002)等。本文主要分為幾個(gè)部分：第一部分是理論框架的提出；第二部分是對不同的利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行歸納、總結(jié),a,3,隨機(jī)貼現(xiàn)因子（stochastic discount factor,由于債券，包括無違約風(fēng)險(xiǎn)（default free）債券，屬于資產(chǎn)的一種。因此，對債券的

2、分析可以用一般資產(chǎn)的定價(jià)理論來進(jìn)行分析和研究。這個(gè)一般資產(chǎn)定價(jià)理論是在一個(gè)代表性投資者為實(shí)現(xiàn)自身效用函數(shù)最大化的條件下所進(jìn)行的投資決策而導(dǎo)致的某種資產(chǎn)收益之間的均衡關(guān)系。原來有關(guān)一般資產(chǎn)定價(jià)的原理有CAPM、APT等，Cochrane(2000)用一個(gè)隨即貼現(xiàn)因子的概念將這些理論統(tǒng)一到一個(gè)定價(jià)模型框架之中，從而形成一個(gè)最一般化的資產(chǎn)定價(jià)模型,a,4,一般化模型設(shè)置,最大化： 約束條件： 這是一個(gè)秉賦經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，投資者除了投資收益之外，沒有其他收入，如工資收入等。這個(gè)問題涉及到多期優(yōu)化，因此必須用動(dòng)態(tài)優(yōu)化的方法進(jìn)行求解。動(dòng)態(tài)優(yōu)化的方法可以參考蔣中一（1999）、斯托基和盧卡斯（1999,a,5,動(dòng)

3、態(tài)優(yōu)化求解,構(gòu)建貝爾曼動(dòng)態(tài)方程： 一階條件為： 包絡(luò)條件為,a,6,計(jì)算結(jié)果,a,7,對零息債券（無違約風(fēng)險(xiǎn)）而言,收益率等于利率 。 在某個(gè)時(shí)點(diǎn)t,利率水平是確定的，因此它和隨機(jī)貼現(xiàn)因子之間的協(xié)方差為0。因此， 所以，隨機(jī)貼現(xiàn)因子的期望值和利率水平之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，我們可以通過對隨機(jī)貼現(xiàn)因子的分析來分析利率水平。我們可以通過對貼現(xiàn)因子的一些簡化假設(shè)來進(jìn)行分析。隨機(jī)貼現(xiàn)因子的條件方差可能有兩種假設(shè)：一種是同方差，一種是異方差,a,8,同方差：條件對數(shù)正態(tài)分布,在這個(gè)條件下， 因此，我們必須研究和分析貼現(xiàn)因子對數(shù)的條件期望和方差。因?yàn)樗瓦B續(xù)復(fù)利利率相反，所以可以對貼現(xiàn)因子對數(shù)的相反數(shù)進(jìn)

4、行分析,a,9,假設(shè)條件,但是這種方法認(rèn)為， 只會(huì)影響利率的水平，不會(huì)影響利率的形狀，所以可以把他剔除掉。但是筆者認(rèn)為，這種方法是不合適的。因?yàn)椋@會(huì)使得對創(chuàng)新項(xiàng)的方差估計(jì)發(fā)生錯(cuò)誤，從而對利率水平的估計(jì)也會(huì)產(chǎn)生偏誤，并最終導(dǎo)致對債券定價(jià)的偏誤。即使只是水平移動(dòng)，但是也會(huì)對債券定價(jià)產(chǎn)生影響，因?yàn)楹蛡▋r(jià)相關(guān)的是利率水平而不是利率的形狀,a,10,分析,在原有的假設(shè)條件下， 但在新的假設(shè)條件下， 二者不相等。推論：如果僅僅因?yàn)橹挥绊懤仕蕉挥绊懶螤罹涂梢园?卻掉，那么也可以對 采取同樣操作，因?yàn)樗彩浅?shù)，只影響水平，不影響形狀,a,11,因此，更為合理的模型安排是,不要對隨機(jī)因子進(jìn)行太多的

5、假設(shè)，比如，條件正態(tài)分布架設(shè)、無關(guān)因子剔除等。 通過一個(gè)一般化的模型假設(shè)，既首先假設(shè)市場存在的波動(dòng)源的個(gè)數(shù)，然后將所有的因子都和這些波動(dòng)源聯(lián)系起來進(jìn)行分析。在上述問題中，可以假設(shè)市場存在兩個(gè)不確定性源，其中一個(gè)只對隨機(jī)貼現(xiàn)因子產(chǎn)生影響，另一個(gè)同時(shí)對隨機(jī)貼現(xiàn)因子和狀態(tài)變量產(chǎn)生影響。此時(shí)關(guān)系仍然是一個(gè)線形關(guān)系，但是是以矩陣形式表現(xiàn)出來的線形。這方面的思想和工作直接得益于Dai and Singleton(2002)。在他們的文獻(xiàn)中，直接應(yīng)用了多因子的貼現(xiàn)因子的連續(xù)動(dòng)態(tài)變化過程，而不是隨機(jī)貼現(xiàn)因子的對數(shù),a,12,Dai and Singleton(2002,直接假設(shè)： 其中， 為瞬時(shí)利率。 是N個(gè)

6、獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)變量。 代表風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。而且， 這就是一個(gè)最一般化的模型，可以包括N個(gè)不確定源對利率的影響,a,13,一個(gè)簡單的證明,時(shí)刻t本身的貼現(xiàn)因子為1， 時(shí)刻t+1的貼現(xiàn)因子為 所以 一般化的式子就是,a,14,在存在n個(gè)不確定性源的條件下,因此， 由于不確定性源同隨機(jī)貼現(xiàn)因子的協(xié)方差（用比例表示）與不確定性源同瞬時(shí)利率的協(xié)方差相反，因此可以表示為： 可以表示不確定源對利率的影響程度，因此可以用表示風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。最后，結(jié)論成立,a,15,偏微分方程（PDE,a,16,經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的調(diào)整,a,17,利率期限結(jié)構(gòu)和固定收益證券定價(jià),對一個(gè)固定收益證券而言，期末收益為X(T),則現(xiàn)在的價(jià)

7、格為： 通過對隨機(jī)貼現(xiàn)因子的假設(shè)（在布朗運(yùn)動(dòng)下，是一個(gè)聯(lián)合對數(shù)正態(tài)分布）以及期末收益的規(guī)定，就可以計(jì)算固定收益證券的價(jià)格,a,18,利率期限結(jié)構(gòu)模型,從理論上分析,最一般化的模型是對隨機(jī)貼現(xiàn)因子遵循的過程直接進(jìn)行規(guī)定并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定價(jià)。這是一種非參數(shù)的研究方法，具體的有Backus and Zin(1994),Brandt and Yaron(2001),Lu and Wu(2000)等，但數(shù)量不多。但是，這種方法存在著缺陷。定價(jià)核的參數(shù)很難從債券收益率數(shù)據(jù)中進(jìn)行判別。一般的做法都是通過對狀態(tài)變量的參數(shù)模型設(shè)置進(jìn)行分析和研究。主要有四種類型：仿射線形模型、二次高斯模型、非線性的隨機(jī)波動(dòng)率模型

8、以及可違約的結(jié)構(gòu)模型。本文主要分析前三種模型,a,19,仿射（affine）線性模型,在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中,a,20,如果狀態(tài)變量只有一個(gè)：利率本身,在這條件下， 這就是單因子的一般化CIR模型。如果放寬狀態(tài)變量的數(shù)量，就可以變?yōu)槎嘁蜃拥腃IR模型。 如果 就變成Vasicek 模型,a,21,通過對狀態(tài)變量和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的假設(shè),我們就可以將各種各樣的線性期限機(jī)構(gòu)模型包括進(jìn)來。 缺陷，由于 的符號不會(huì)發(fā)生變化，因此風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格不會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化。在某個(gè)狀態(tài)下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格也不會(huì)發(fā)生變化。這就在很大程度上限制了模型的適用性。因此，我們必須放寬對風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的假設(shè)，使之能夠考慮風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的變化問題，同時(shí)保證在風(fēng)

9、險(xiǎn)中性世界中，狀態(tài)變量的飄移率還是一個(gè)線性關(guān)系，就可以直接利用有關(guān)線性關(guān)系的結(jié)論,a,22,Duarte(2001,假設(shè)： 在這條件下，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格就可以隨著時(shí)間的變化而變化。 同時(shí)， 因此，雖然狀態(tài)變量在風(fēng)險(xiǎn)中性中是線性的，他在現(xiàn)實(shí)世界中的表現(xiàn)卻可能是非線性的。這就大大的擴(kuò)大了線性模型的適用范圍。因?yàn)樵谟?jì)算金融衍生產(chǎn)品價(jià)格時(shí)，關(guān)系的風(fēng)險(xiǎn)中性世界，所以現(xiàn)實(shí)世界的線性和非線性與定價(jià)無關(guān)。這樣我們就可以放寬飄移率的假設(shè)，使之能夠考慮更多的利率期限結(jié)構(gòu)模型，比如Ait and Sahalia(1996),等。在這些模型中，飄移率和利率水平之間是一種非線性關(guān)系,a,23,二）二次高斯模型,假設(shè),a,24,

10、在這條件下,狀態(tài)變量在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是服從高斯過程。 對現(xiàn)實(shí)世界中沒有做出任何假設(shè)，因此，可以對它做出任何假設(shè)，只要能夠保證狀態(tài)變量在現(xiàn)實(shí)世界中是線性的。 在Ahh, Dittmar and Gallant(2002)中，假設(shè) 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界和現(xiàn)實(shí)世界中都是高斯過程,a,25,當(dāng)只有一個(gè)狀態(tài)變量時(shí),利率滿足方程： 在滿足有根的條件下，存在兩個(gè)可能的解。如果我們根據(jù)市場上的利率水平對狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)，就會(huì)可能產(chǎn)生兩個(gè)解。因此，在二次高斯模型中，不存在狀態(tài)變量和利率水平的一一對應(yīng)。這就使得模型變得十分復(fù)雜。 Constantinides(1992)是這種模型的一個(gè)特例。他假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)因子互相獨(dú)立，而且

11、對風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的系數(shù)也進(jìn)行了假定,a,26,三）非線性隨機(jī)波動(dòng)模型,假設(shè)： 狀態(tài)變量的波動(dòng)率為非線性； 風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格為非線性； 狀態(tài)變量的飄移率也是非線性。 一個(gè)例子：Anderson and Lund(1997,1998,a,27,另一個(gè)簡單例子,CIR(1980), Ahn and Gao(1999,a,28,非布朗運(yùn)動(dòng)下的利率期限結(jié)構(gòu)模型,上面的分析都是建立在隨機(jī)貼現(xiàn)因子以及狀態(tài)變量的影響因子服從布朗運(yùn)動(dòng)的條件之上的，他沒有考慮到其他的運(yùn)動(dòng)形式，比如說，由于政策變化而帶來的因子的突然跳躍，這種變化不是布朗運(yùn)動(dòng)，而是服從一個(gè)泊松分布（poission distribution）。 此外，我們

12、應(yīng)該還要考慮由于整個(gè)體制的變化而對參數(shù)造成的影響。 因此，就在原有的布朗運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)之上引入了存在跳躍行為的利率期限結(jié)構(gòu)模型和體制變化的利率期限結(jié)構(gòu)模型,a,29,存在跳躍行為的利率期限結(jié)構(gòu)模型,假設(shè)： 代表跳躍風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格， 代表現(xiàn)實(shí)世界中跳躍行為的條件均值,a,30,存在體制轉(zhuǎn)換的利率期限結(jié)構(gòu)模型,假設(shè)： 其中， 代表體制轉(zhuǎn)化的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。因此，如果沒有發(fā)生體制轉(zhuǎn)換，則風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格為0，而且，在兩個(gè)體制中互相轉(zhuǎn)換的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的絕對數(shù)額應(yīng)該相等。因此，如果存在S+1個(gè)可能體制，就有1/2S(S+1)體制轉(zhuǎn)換的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格,a,31,利率期限結(jié)構(gòu)模型的實(shí)證檢驗(yàn),存在兩個(gè)利率的實(shí)證結(jié)果，因此，一個(gè)有效的模型必

13、須能夠比較好的擬合這幾個(gè)實(shí)證結(jié)果： 1、利率期限結(jié)構(gòu)的斜率，與未來的利率變化水平負(fù)相關(guān)，期限越長，這種負(fù)相關(guān)越明顯（LPY）。 2、利率的條件波動(dòng)率隨著時(shí)間變化，而且是高度持續(xù)的。而且不同期限的利率的無條件波動(dòng)率是一種駝峰或者駝背形（HUMP）的， 這一般發(fā)生在期限為2年或三年的利率水平上。（CVY,a,32,一）LPY的實(shí)證方法,第一種，直接對和之間的相關(guān)關(guān)系，比較好的模型能夠得出向下的曲線。 第二種： 計(jì)算和之間的相關(guān)關(guān)系，得出的系數(shù)應(yīng)該都等于，與期限無關(guān),a,33,實(shí)證結(jié)果,a,34,結(jié)論,CIR模型（上圖中的（）無法有效的擬合LPT。線性高斯模型（上圖中的（）的表現(xiàn)要超過平方根模型。

14、對二次高斯模型而言，因?yàn)樗鼘儆诟咚鼓Ｐ?，所以也可以對LPY進(jìn)行估計(jì)和擬合。 體制轉(zhuǎn)換模型也可以比較好的擬合,a,35,二）實(shí)證檢驗(yàn),在單因子的線性模型或者二次模型中，條件波動(dòng)率都是線性的，因此無法表現(xiàn)波動(dòng)率的變化，應(yīng)該用多因子模型進(jìn)行分析。 在多因子模型中，波動(dòng)率的駝峰或者駝背可以通過狀態(tài)變量之間的負(fù)相關(guān)或者狀態(tài)變量與利率至今映射的非線性關(guān)系獲得。 實(shí)證結(jié)果表明，兩因子模型也是一個(gè)最合適的模型。 而且，美國的數(shù)據(jù)表明，不同時(shí)期的波動(dòng)率形狀會(huì)發(fā)生差異，年之前是駝背狀，年之后是駝峰狀。這可能反映出投資者受政策的影響而對狀態(tài)變量反映發(fā)生了變化,a,36,美國的利率波動(dòng)率和期限對應(yīng)圖,a,37,總結(jié),對利率期限結(jié)構(gòu)模型，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是能夠同時(shí)有效的預(yù)測LPY和CVY。 對一般利率期限結(jié)構(gòu)模型而言，在LPV和CVY之間存在著一個(gè)互相制約的問題。在大多數(shù)使用的利率其結(jié)構(gòu)模型中，存在