高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形3.6正弦定理和余弦定理理

1、第六節(jié) 正弦定理和余弦定理,知識(shí)梳理】 1.正弦定理 _, 其中R是ABC的外接圓半徑,2.余弦定理 a2=_,cosA=_; b2=_,cosB=_; c2=_,cosC=_,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.勾股定理 在ABC中,C=90_,a2+b2=c2,特別提醒】 1.正弦定理的其他形式 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. (2) (3)abc=sinAsinBsinC,2.解三角形時(shí)用到的平面幾何知識(shí) (1)A+B+C,2)兩邊之和大于第三邊 a+bc,a+cb,c+ba. 3.三角形中的射影定理 在A

2、BC中,a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=bcosA+acosB,小題快練】 鏈接教材練一練 1.(必修5P10習(xí)題1.1B組T2改編)在ABC中,若sin2A+ sin2Bsin2C,則ABC的形狀是() A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.不能確定,解析】選C.由正弦定理,得 代入得到a2+b2c2,由余弦定理得cosC= 0, 所以C為鈍角,所以該三角形為鈍角三角形,2.(必修5P4練習(xí)T1(2)改編)在ABC中,已知A=60, B=75,c=20,則a=. 【解析】C=180-(A+B)=180-(60+75)=45. 由正弦定理,得 答案,感

3、悟考題 試一試 3.(2015廣東高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分 別為a,b,c.若 則b=_,解析】因?yàn)?答案：1,4.(2015合肥模擬)已知在ABC中,a2=b2+bc,acosB+ bcosA=csinC,則B=. 【解析】由于acosB+bcosA=c,所以c=csinC, sinC=1.又0C,所以C= . 由于a2=b2+bc及a2=b2+c2-2bccosA, 所以bc=c2-2bccosA,b=c-2bcosA,由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcosA, 因?yàn)锳+B= ,所以cosA=sinB, 所以2sin2B+sinB-1=0, 因?yàn)閟inB0,所以si

4、nB= ,B= . 答案,考向一正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【典例1】(1)(2016黃岡模擬)在ABC中,內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA= b,且 ab,則B=(,2)如果滿足ABC=60,AC=12,BC=k的ABC恰有一個(gè),那么k的取值范圍是() A.k=8 B.0k12 C.k12 D.0k12或k=8,解題導(dǎo)引】(1)利用正弦定理,將邊化為角,借助式子的特點(diǎn),利用和角公式與相關(guān)的誘導(dǎo)公式解決問題. (2)由正弦定理和三角函數(shù)的圖象求解,規(guī)范解答】(1)選A.根據(jù)正弦定理, 設(shè) 則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 將它

5、們代入asinBcosC+csinBcosA= 整理得sinAcosC+cosAsinC= 即sin(A+C),又sin(A+C)=sin(-B)=sinB, 所以sinB= 因?yàn)閍b,所以B必為銳角,所以B,一題多解】解答本題還有以下解法： 由asin Bcos C+csin Bcos A= 得sin B(acos C+ccos A)= 所以 因?yàn)閍b,所以B必為銳角，所以,2)選D.由正弦定理得 因?yàn)?所以由圖象可以知道當(dāng)且僅當(dāng)k= 或0k12時(shí)有唯一的k,母題變式】 1.在本例(2)中,條件改為“ABC中,ABC=60, AC=12,BC=k”,討論k的取值范圍對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的影響,解

6、析】由 畫出函數(shù) 圖象,可知(1)當(dāng)k=8 或08 時(shí)三角形無(wú)解. (3)當(dāng)12k8 時(shí)三角形有兩個(gè)解,2.在本例(2)中,條件改為“ABC中,ABC=60, AC=12,BC=14”,判斷三角形解的情況. 【解析】由正弦定理得 所以不存在滿足條件的三角形,故三角形無(wú)解,規(guī)律方法】 1.利用正弦定理可以解決的兩類問題 (1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角. (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,從而進(jìn)一步求出其他的邊和角.由于三角形的形狀不能唯一確定,會(huì)出現(xiàn)兩解,一解和無(wú)解三種情況,在ABC中,已知a,b和A,解的個(gè)數(shù)見下表,2.利用余弦定理可以解決的兩類問題 (1)已知兩邊及夾

7、角,先求第三邊,再求其余兩個(gè)角. (2)已知三邊,求三個(gè)內(nèi)角,易錯(cuò)提醒:(1)應(yīng)用正弦定理求角時(shí)容易出現(xiàn)增解或丟解的錯(cuò)誤,要根據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍. (2)求角時(shí)忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤,需要根據(jù)大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊的規(guī)則,畫圖幫助判斷,變式訓(xùn)練】(2015安徽高考)在ABC中,AB= , A=75,B=45,則AC=. 【解析】由正弦定理可知: 答案:2,加固訓(xùn)練】 1.(2016長(zhǎng)沙模擬)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c，已知b=2， 則ABC的面積為(,解析】選B.因?yàn)?由正弦定理得 所以三角形的面積為,2.(2016阜陽(yáng)模擬)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是

8、 a,b,c,若B=2A,a=1,b= ,則c=()A.2 B.2 C. D.1,解析】選B.由B=2A,則sinB=sin2A, 由正弦定理知 所以c2=a2+b2=1+3=4,c=2,3.(2016宿州模擬)已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊 分別是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,則角C的大小是. 【解析】a2+ab+b2-c2=0cosC= 答案,考向二利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀 【典例2】(1)(2016洛陽(yáng)模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則ABC的形狀為() A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角

9、形D.不確定,2)(2016成都模擬)在ABC中,a,b,c分別 為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA=(2b+c)sinB+ (2c+b)sinC. 求A的大小; 若sinB+sinC=1,試判斷ABC的形狀,解題導(dǎo)引】(1)由正弦定理把邊化為角,求出角A. (2)先由正弦定理把角化為邊,再用余弦定理求角; 用三角恒等變換公式求出B,C,判斷三角形的形狀,規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, 所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1, 所以A為直角,所以三角形ABC是直角三

10、角形,2)由已知,結(jié)合正弦定理, 得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc, 又由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA, 所以bc=-2bccosA,即cosA=- , 由于A為三角形的內(nèi)角,所以A=,對(duì)于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC, 結(jié)合正弦定理, 有2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC, 即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC= 又由sinB+sinC=1, 得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,所以sinBsinC= 從而有sinB=sinC= 因?yàn)?

11、B,0C,0B+C, 所以B=C= 所以ABC是等腰的鈍角三角形,易錯(cuò)警示】解答本例題(2)會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:(1)求得cosA= 后,得A= 或A= ,這是由于記錯(cuò)了 特殊角的三角函數(shù)值而致誤.(2)求得sin2A= 后,開方得sinA= ,這是忽略了角 的范圍和三角函數(shù)的符號(hào)而致誤,規(guī)律方法】 1.應(yīng)用余弦定理判斷三角形形狀的方法 在ABC中,c是最大的邊, 若c2a2+b2,則ABC是鈍角三角形,2.判斷三角形形狀的常用技巧 若已知條件中有邊又有角,則 (1)化邊:通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀. (2)化角:通過(guò)三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形

12、狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=這個(gè)結(jié)論,變式訓(xùn)練】(2016蚌埠模擬)若ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinAsinBsinC=51113,則ABC() A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是鈍角三角形 D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形,解析】選C.由sinAsinBsinC=51113及正弦 定理得abc=51113. 由余弦定理得cosC= 0,所以C為鈍角, 即ABC一定是鈍角三角形,加固訓(xùn)練】1.(2016汕頭模擬)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若原點(diǎn)到直線xsinA+ysinB+sinC=0的距離大于1,則此三角形形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角

13、形C.鈍角三角形 D.不能確定,解析】選C.由已知, 所以sin2Csin2A+sin2B.又 =2R,所以,c2a2+b2.由余弦定理得cosC= 0,所以,C為鈍角,三角形為鈍角三角形,2.(2016六安模擬)ABC中,如果 那么ABC是()A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形,解析】選B.由正弦定理及 整理得cosA=cosB=cosC,因?yàn)锳,B,C為三 角形內(nèi)角, 所以ABC是等邊三角形,3.(2016青島模擬)在ABC中,若 則ABC是()A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形,解析】選B.利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式得: 即tanA

14、=tanB=tanC,因?yàn)锳,B,C為 三角形內(nèi)角,所以A=B=C,則ABC為等邊三角形,4.(2016十堰模擬)給出下列命題:若tanAtanB1,則ABC一定是鈍角三角形;若sin2A+sin2B=sin2C,則ABC一定是直角三角形;若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則ABC一定是等邊三角形.以上正確命題的序號(hào)為,解析】tan(A+B)=-tanC= 0, 所以C為銳角,因?yàn)閠anAtanB1,A,B為三角形內(nèi)角, 則tanA0,tanB0,所以A,B均為銳角,所以ABC不是鈍角三角形,錯(cuò),由正弦定理,得a2+b2=c2,所以一定為直角三角形,對(duì).由cos(A-B)

15、cos(B-C)cos(C-A)=1可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,對(duì).答案,考向三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 【典例3】(1)(2015北京高考)在ABC中,a=4,b=5, c=6,則 =. (2)(2015重慶高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別 為a,b,c,且a=2,cosC=- ,3sinA=2sinB,則c,解題導(dǎo)引】(1)利用二倍角公式展開sin2A,再利用正、余弦定理角化邊. (2)首先根據(jù)正弦定理求出b的大小,再利用余弦定理可求出c的值,規(guī)范解答】(1) 答案:1,2)在ABC中,因?yàn)?sinA=2sinB. 由正弦定理可

16、知3a=2b, 因?yàn)閍=2,所以b=3.由余弦定理可知 c2=a2+b2-2abcosC=4+9-223 =16, 所以c=4. 答案:4,規(guī)律方法】與三角形的邊長(zhǎng)、角度等有關(guān)問題的求解思路 (1)若求角,則先把已知條件中的邊用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系,再求解. (2)若求邊,則先把已知條件中的角用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再求解,變式訓(xùn)練】1.(2016武漢模擬)在ABC中,內(nèi)角A, B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若bsinA- acosB=0,且 b2=ac,則 的值為() A. B. C.2 D.4,解析】選C.ABC中,由bsinA- acosB=0, 利用

17、正弦定理得sinBsinA- sinAcosB=0, 所以tanB= ,故B= . 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 即b2=(a+c)2-3ac, 又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得 =2,2.(2016南陽(yáng)模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=(,解析】選D.因?yàn)?sinA=5sinB, 由正弦定理可得:3a=5b,所以a= 又b+c=2a,可得c=2a-b= 不妨取b=3,則a=5,c=7, 所以cosC= 因?yàn)镃(0,),所以C,3.(2015咸陽(yáng)模擬)已知在銳角ABC中,2asinB= b,b=2,