異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角專題復(fù)習(xí)與提高

1、空間角專題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理一、異面直線所成的角及求法定義：在空間任意取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線所成的銳角或 直角稱為兩異面直線所成的角.n取值范圍：若B是異面直線a和b所成的角，則其取值范圍是 氏(0,刁，當(dāng)n缸2時(shí)，稱異面直線a和b垂直，記為a丄b.(3)求法：平移法：將兩異面直線中的一條或兩條平移至某特殊點(diǎn)后，構(gòu)造三角 形，通過(guò)解該三角形而求其大??；二、直線與平面所成的角及求法(1) 定義：設(shè)I和a分別表示直線與平面.若I / a或I? a,則稱直線I和平面a 所成的角為0；若I丄a則稱I與a所成的角為工；若I與a相交，則I與I2在a內(nèi)的射影所成的銳角為直線I與平面a所成的角.HT

2、取值范圍：設(shè)B是直線I與平面a所成的角，貝U B的取值范圍是0,.2(3)求法：定義法：探尋直線I在平面a內(nèi)的射影，(通常由垂直法找射影)構(gòu)造直 線I與平面a所成角對(duì)應(yīng)的直角三角形，通過(guò)解該直角三角形而求得直線與平面 所成的角.三、二面角及求法(1) 定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角， 且定義平面角的大小為該二面角的大 小.(2) 取值范圍：規(guī)定二面角的取值范圍為0，n.(3) 求法：定義法：分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角練習(xí)提升1.如圖，E、F分別是三棱錐 PABC的棱AP、BC的

3、中點(diǎn)，PC= i0, AB= 6, 異面直線AB與PC所成的角為A. 30C. 60B. 45D . 90答案：C2.已知長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB= BC= 4,成的角的正弦值為()A.呼bF2C. 5D. 10()答案：CCCi = 2，則直線BC1和平面AClJ-IDBBiDi 所3如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，/ ABC = 60將菱形沿對(duì)角線 AC折起，使折起后 BD = 1,則二面角B AC D的余弦值為1C龜C. 3答案：A1B.1.3D2( )4在正方體 ABCD AiBiCiDi中，BiC與對(duì)角面DDiBiB所成角的大小是(A. 15B. 30C. 45

4、D. 60答案：B5.如圖，ABCD AiBiCiDi 是長(zhǎng)方體，AAi= a,/ BABi=Z BAQi= 30,貝 U AB 與 AiG答案：300, 4506. 在正方體 ABCD Ai B1C1D1 中，(1) 直線AiB與平面ABCD所成的角是 ;(2) 直線 A1B與平面 ABC1D1所成的角是 (3) 直線A1B與平面AB1C1D所成的角是 答案 (1)45 (2)30 (3)90 7. 設(shè)直線與平面所成角的大小范圍為集合P,二面角的平面角大小范圍為集合Q,異面直線所成角的大小范圍為集合R,貝U P、Q、R的關(guān)系為()A. R=P? QB. R? P? QC. P? R? QD

5、. R? P= Q答案：B&設(shè) ABC和厶DBC所在兩平面互相垂直，且 AB = BC= BD = a，/ CBA=Z CBD = 120 , 則AD與平面BCD所成角的大小為()A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 解析：作AO_LCB交CB的延長(zhǎng)線于 O,連接OD，貝U OD即為AD在平面BCD內(nèi)的射影，/ADO即為AD與平面BCD所成的角.AO = OD/DO = 45答案：B9.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面， C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA= AC,則二面角P BCA的大小為p()AA. 60 B . 30 C. 45D . 15 答案 C10.如圖，已知

6、四棱錐 P ABCD的底面是正方形， PA丄平面ABCD，且PA= AD，則平面PAB與平面PCD所成的二面角的度數(shù)為（）A. 90 B .60 JC. 45 D .30 心C解析：AB/CD,面PAB與平面PCD的交線l必為過(guò)P點(diǎn)與AB平行的直線.FA丄平面ABCD ,-FA1AB, PA JCD，又 CD 1AD,DC丄平面FAD,DC JPD ,FA丄，PD丄，即ZAPD為所求二面角的平面角,厶PD = 45答案：C11. 把正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，對(duì)于下列結(jié)論：AC丄BD :厶ADC是正三角形；AB與CD成60。角；AB與平面BCD成60。角.則 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

7、）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè) D . 4個(gè)解析：取BD的中點(diǎn) O,貝U BD DC , BD JOA，得BD丄平面AOC ,1BD !AC,正確；cosADC = cos45 cos45 = ?,/ADC = 60 AD =DC ,AADC是正三角形，正確；AB與CD成60。角，正確；AB與平面BCD成角ZABO= 45錯(cuò)誤.答案：C12. 如圖所示的正方體 ABCD A1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn) B、D、C1作截面，則二面角 B DC1 C的平面角的余弦值是 .解析：取C1D的中點(diǎn)O,連接BO、CO,貝U BOIC1D, COJC1D,啟OC是二面角 B DC1 C的平面角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)

8、為1,則CO =-2?,DCi為正三角形，0B =且 BC= 1 ,2 2 2OB + 0C BC y/3 cos/BOC = 一2oB oc= T.答案：于13.如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AB = BC= AAi ,Z ABC = 90點(diǎn)E、F分別是棱AB、BBi的中點(diǎn)則直線 EF和BCi所成的角是（）A. 45 B. 60C. 90D. i20解析：取Bi Ci的中點(diǎn) G, AiBi的中點(diǎn) H，連結(jié)FG、BG、HG、EH，貝U FG伯Ci,且/EFG或其補(bǔ)角就是所求的角，利用余弦定理可求得icos/EFG = 2,故所求角為 60答案：Bi4 .如圖，將 RtA ABC沿斜

9、邊上的高AD折成i20。的二面角 C AD C，若直角邊 AB =D的正切值為（）D. 1DE1BC于ADB呼解析：JCDC = 120過(guò)D作4.3, AC = 4 ,6，則二面角 A BC A. 2丄平面BC D ,AD = 4.2,在ABC D中，由余弦定理求得 BC = 4.3,再由面積公式 Szbc d1,1,冷AD=2BC DE = 2 BD C D s in60 知 DE = 4,：tan/AED =在=V2.答案：A點(diǎn)評(píng)：考查二面角的知識(shí)， 余弦定理及三角形的邊角計(jì)算.如何作出二面角的平面角是 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.15.在矩形 ABCD中，AB= 3, AD = 4, PA丄平面

10、的度數(shù)是（）A. 30 C. 60 A BD PB . 45 D. 75 解析：如右圖所示，過(guò)A作AE JBD ,垂足為E，連結(jié)PE,則PE!BD（三垂線定理）,在Rt少AD中,AB AD 12AE= ABDD =孑在Rt AE中,ta n ZPEA =人丘答案：A16.正四棱錐 P ABCD的兩個(gè)側(cè)面PAB與PCD互相垂直，則相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的平面角為（）A. 60 B . 90 C. 120 D. 150解析：如圖，作BE1PC，連結(jié)DE.DC zPBC ,ADE JPC故/PEA為二面角 P BD A的平面角./EB就是二面角 D PC B的平面角,O為DB的中點(diǎn), QEB = 1

11、ZDEB ,又面PAB丄面PCD ,PO = 2AB ,在 Rt OC 中，OC =12ABOE =.QEB = 3, JDEB =亍答案：C17.如圖，在四棱錐 V ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為 乖的等腰三角形，則二面角 V ABC的度數(shù)是 .答案 60n18.如圖，直角梯形 ABCD中，AB/ CD，/ DAB = 2，點(diǎn)M、N分別在AB, CD上，且MN丄AB, MC CB, BC = 2, MB = 4，現(xiàn)將梯形 ABCD沿MN折起，使平面 AMND與平面MNCB垂直(如圖).(1) 求證：AB /平面 DNC ;3(2) 當(dāng)DN = 2時(shí)，求二

12、面角 D BC - N的大小.MB解：（1）證明：MB /NIC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC,MIB /平面DNC.同理 MA /平面DNC，又 MA A MB = M，且 MA、MB?平面 MAB.平面MAB /平面NCD? AB / 平面DNC .AB?平面MAB過(guò)N作NH _LBC交BC延長(zhǎng)線于H ,平面AMND 丄平面 MNCB , DN _UMN ,DN丄平面MBCN，從而 DH JBC,DHN為二面角 D BC N的平面角.CN= 4 2cos60 = 3,NH = 3sin603.32-由 MB = 4, BC= 2，/MCB = 90知/MBC = 60,由條

13、件知：tanNHD =出= -3,aJNHD = 30.NH 319.如圖，已知在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD , FA= AD = 1 , AB = 2, E、F 分別是 AB、PD 的中點(diǎn).(1)求證：AF /平面PEC ;求PC與平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角 P EC D的正切值.解：證明：如圖，取 PC的中點(diǎn)O,連接 OF、OE,貝 U FO DC,且 FO = 2DC ,FO AE ,又E是AB的中點(diǎn)，且 AB= DC,FO = AE.四邊形AEOF是平行四邊形,AF /QE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面P

14、EC.如圖，連接AC,PA丄平面ABCD ,OCA是直線PC與平面ABCD所成的角.在 Rt FAC 中,PA tan/PCA = ac1 =21/5,5=牙即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為如圖，作AM ICE, 交CE的延長(zhǎng)線于M .連接PM，由三垂線定理得 PM JCE,PMA是二面角 P EC D的平面角.由AAME sQbe可得AM =a n/MVIA = AAA =,2.面角P EC D的正切值為，2.20.如圖所示，四棱錐 PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,/ BCD = 60 E 是 CD 的中點(diǎn)，PA丄底面 ABCD , PA = J3.證明：平面PBE丄平面

15、PAB;(2)求二面角 A BE P的大小.證明 如圖所示，連接BD,由ABCD是菱形且/ BCD = 60。知， BCD是等邊三角形.B因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以 BE丄CD.又 AB / CD,所以BE丄AB.又因?yàn)镻A丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD ,所以PA丄BE.而 FAQ AB = A,因此BE丄平面FAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由(1)知，BE丄平面PAB, PB?平面PAB,所以PB丄BE.又 AB丄BE,所以/ PBA是二面角 ABE P的平面角.PA在 Rt PAB 中，tan/ PBA = AB= , 3,則/ PBA= 60AB

16、故二面角 A BE P的大小是6021.已知平面a外兩點(diǎn)A、B到平面a的距離分別為1和2, A、B兩點(diǎn)在a內(nèi)的射影之間距如圖，當(dāng)A、B位于平面離為 3,求直線AB和平面a所成的角.解 如圖，當(dāng)A、B位于平面a同側(cè)時(shí)，由點(diǎn)A、B分別向平面a作垂線，垂足分別為Ai、Bi,則AAi= 1 , BBi = 2, BiAi= 3.過(guò)點(diǎn)A作AH丄BBi于H，則AB和a所成角即為 / HAB.a異側(cè)時(shí)，經(jīng) A、B分別作AAi丄a于 人，BBi丄a于Bi,ABQ a= C,則AiBi為AB在平面a上的射影，/ BCBi或/ACAi為AB與平面a所成角. BCBjS ACAi, BB1= B= 2, BiC = 2CA1，而 BiC+ CAi = AA1 CA1 B1C=于. tan/ BCB1 = BBC =總=3,/ BCBi= 60 AB 與 a所成角為 60綜合(1)、可知：AB與平面a所成角為30或6022.如圖，在三棱錐 PABC中，PA丄底面 ABC, / BCA = 90 點(diǎn)D、E分別在棱 PB、PC 上，且 DE / BC.(1)求證：BC丄平面PAC.(2)是否存在點(diǎn)E使得二面角A DE P