探索勾股定理(二)

1、教學(xué)時間第二課時課題 1.1.2 探索勾股定理 (二 )教學(xué)目標(biāo)(一 )教學(xué)知識點1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法.2.運(yùn)用勾股解決一些實際問題.(二 )能力訓(xùn)練要求1.學(xué)會用拼圖的方法驗證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力.2.在拼圖過程中，鼓勵學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識.(三 )情感與價值觀要求利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn).借助對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.并在拼圖的過程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點勾股定理的證明及其應(yīng)用 .教學(xué)難點勾股定理的證明 .教學(xué)方法教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探索相結(jié)合的方法.在用拼圖的方法驗

2、證勾股定理的過程中.教師要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想，將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生自主探索，大膽地聯(lián)系前面知識，推導(dǎo)出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實際問題 .教具準(zhǔn)備1.每個學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板；2.投影片三張：第一張：問題串 (記作 1.1.2A) ；第二張：議一議 (記作 1.1.2B) ；第三張：例題 (記作 1.1.2 C).教學(xué)過程 .創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課師我們曾學(xué)習(xí)過整式的運(yùn)算，其中平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2；完全平方公式 (ab)2=a2 2ab+b2 是非常重要的內(nèi)容.誰還能記得當(dāng)時這兩個公式是如何推出的？生利用多項式乘以多項式的法則從公式的左邊就可以推出右

3、邊.例如 (a+b)(a b)= a2ab+ab b2=a2 b2，所以平方差公式是成立的 .生還可以用拼圖的方法來推出.例如： (a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個邊長為a 的正方形，一個邊長為 b 的正方形，兩個長和寬分別為a 和 b 的長方形可拼成如下圖所示的邊長為(a+b)的正方形，那么這個大的正方形的面積可以表示為(a+b)2；又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2 .師由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀.上一節(jié)課我們已經(jīng)通過數(shù)格子通過一些特例大膽地猜想出了勾股定理.同時又利用一些特例驗證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿

4、所有的直角三角形一一驗證，靠一些特例歸納、猜想出來的結(jié)論不一定正確.因此我們需要用另一種方法說明直角三角形三邊的關(guān)系. .講授新課1.拼一拼出示投影片 ( 1.2.2 A)(1)在一張硬紙板上畫 4 個如右圖所示全等的直角三角形.并把它們剪下來.(2)用這 4 個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？(對于上面 2 個問題， 教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想， 將形與數(shù)的問題聯(lián)系起來.鼓勵學(xué)生大膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵，然后在小組內(nèi)交流，同時提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系 (a+b) 2=a2+2ab+b2 的拼圖推證方法說明勾股

5、定理).生我拼出了如下圖所示的圖形， 中間是一個邊長為 c 的正方形 .觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形的邊長是 (a+b).要利用這個圖說明勾股定理， 我們只要用兩種方法表示這個大正方形的面積即可 .1大正方形面積可以表示為：(a+b)2，又可以表示為：ab 4+( b a).12對比這兩種表示方法，可得出c2=ab4+( b a).化簡、整理得c2=a2 +b2.因此我們得到了2勾股定理 .生我拼出了和這個同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為 ba，利用這個圖形也可以說明勾股定理.因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既可以表示為 c2，又可以表示為1ab 4+(

6、 b a)2.對比兩種表示方法可得c2=122c2=a2+b2.同樣得到了勾股定理.ab 4+( ba)2 .化簡得師真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗證了勾股定理.利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn).在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它.在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了.有人做過統(tǒng)計，說有五百余種 .1940 年，國外有人收集了勾股定理的 365 種證法，編了一本書 .其實，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了 365 種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理的證明簡直到了每天一種的地步 .生老師，我在查資料時，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個總

7、統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？師是的 .1876 年 4 月 1 日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他提出的一個勾股定理的證明.據(jù)他說，這是一種思想體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”.由于 1881 年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話.生能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？師可以 .如下圖所示 .這就是這位總統(tǒng)用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學(xué)用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯(lián)系.生總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一個同學(xué)拼出的大正方形的一半.師同學(xué)們不妨自己從上圖中推

8、導(dǎo)出勾股定理.生上面的圖形整體上拼成一個直角梯形.所以它的面積有兩種表示方法.既可以表示為1111(a+b)(a+b)，又可以表示為ab 2+c2.對比兩種表示方法可得( a+b)(a+b)=ab 2+c2.2222化簡，可得 a2+b2=c2.師很好 .同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法.2.議一議師前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系 .那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？出示投影片 ( 1.1.2 B )觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2.師上圖中的ABC 和 ABC 是什么三角形？生 ABC， AB

9、 C在小方格紙上， 不難看出 ABC 中，BCA 90；C中， ABC AC都是銳角，所以 ABC 是鈍角三A B， B CA， B角形， ABC 是銳角三角形 .師 ABC 的三邊上“長”出三個正方形.誰來幫我數(shù)一下每個正方形含有幾個小格子.生以 b 為邊長的正方形含有 9 個小格子，所以這個正方形的面積b2=9 個單位面積；以a 為邊長的正方形中含有8 個小格子，所以這個正方形的面積a2=8 個單位面積；以 c 為邊長的正方形中含有 29 個小格子，所以這個正方形的面積c2=29 個單位面積 .a2+b2=9+7=16 個單位面積， c2=29 個單位面積，所以在鈍角三角形ABC 中 a2

10、+b2c2.師銳角三角形ABC 中，如何呢？生以 a 為邊長的正方形含 5 個小格子，所以a2=5 個單位面積；以b 為邊長的正方形含有 8 個小格子，所以b2=8 個單位面積；以 c 為邊長的正方形含9 個小格子，所以 c2=9 個單位面積 .由此我們可以算出a2+b2=5+8=13 個單位面積 .在銳角三角形ABC中， a2+b2 c2.師通過對上面兩個圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識到只有在直角三角形中，a，b， c 三邊才有 a2+b2=c2 (其中 a、 b 是直角邊， c 為斜邊 )這樣的關(guān)系 .生老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形 ABC 中，雖然 a2+b2 c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2

11、 c2；在銳角三角形 ABC中， a2+b2 c2.它們恒成立嗎？師這位同學(xué)很善于思考，的確如此.同學(xué)們課后不妨驗證一下，你一定會收獲不小.3.例題講解出示投影片 ( 1.1.2 C)例 1飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800 米處，過了 10秒后，飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000 米，飛機(jī)每小時飛行多少千米？例 2如下圖所示，某人在B 處通過平面鏡看見在 B 正上方 5米處的 A 物體，已知物體 A到平面鏡的距離為6 米，問 B 點到物體A 的像 A 的距離是多少？例 3在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3 分米，一陣風(fēng)吹來；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移

12、動的水平距離為6 分米，問這里的水深是多少？師生共析例 1分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，A 點表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C、B 點是兩個時刻飛機(jī)的位置，C 是直角，可以用勾股定理來解決這個問題.解：根據(jù)題意，得 RtABC 中， C=90 ， AB =5000 米， AC=4800 米 .由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即 50002=BC 2+48002，所以 BC =1400 米 .飛機(jī)飛行1400 米用了10 秒，那么它1 小時飛行的距離為1400 660=504000 米 =504 千米，即飛機(jī)飛行的速度為504 千米 /時 .評注：這是一個實際應(yīng)用問題，經(jīng)過分析，問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求

13、直角三角形第三邊的問題，這雖是一個一元二次方程的問題，學(xué)生可嘗試用學(xué)過的知識來解決 .同時注意，在此題中小孩是靜止不動的.例 2分析：此題要用到勾股定理，軸對稱及物理上的光的反射知識.解：如例2 圖，由題意知 ABA 是直角三角形，由軸對稱及平面鏡成像可知：在 RtAAB 中， AB2=AA2+AB2=12 2+52=169=13 2 米所以 AB=13 米，即 B 點到物體 A 的像 A的距離為 13 米 .評注：本題是以光的反射為背景，涉及到勾股定理、軸對稱等知識.由此可見，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ) .例 3分析：在此問題中，要注意水草的長度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時和吹到一邊，它的長度是不

14、變的 .解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D 是無風(fēng)時水草的最高點，BC 為湖面， AB 是一陣風(fēng)吹過水草的位置， CD =3 分米， CB=6 分米， AD =AB， BC AD .所以在 Rt ACB 中， AB2=AC2+BC2 ，即 (AC+3) 2=AC2+6 2，AC 2+6AC +9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以這里的水深為 4.5 分米 .評注：在幾何計算題中，方程的思想十分重要. .課時小結(jié)這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗證了勾股定理，并運(yùn)用勾股定理解決了生活中的實際問題. .課后作業(yè)1.課本 P11，習(xí)題 1.2.2.收集關(guān)于勾股定理的證明方法. .活動與探究如右圖，木長二丈，它的一周是 3 尺，生長在木下的葛藤纏木七周，上端恰好與木齊，問葛藤長多少？過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關(guān)系.但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會發(fā)現(xiàn)；這里的葛藤之長相當(dāng)于直角三角形的斜邊.結(jié)果：根據(jù)題意，