參數(shù)方程化普通方程[學(xué)術(shù)參考]

1、參數(shù)方程化普通方程 重點(diǎn)難點(diǎn)掌握參數(shù)方程化普通方程的方法，理解參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程的等價性；應(yīng)明確新舊知識之間的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題能力。 例題分析1把參數(shù)方程化為普通方程(1)(R，為參數(shù)) 解: y=2+1-2sin2, 把sin=x代入， y=3-2x2,又 |sin|1, |cos2|1, |x|1, 1y3 所求方程為y=-2x2+3 (-1x1, 1y3) (2)(R，為參數(shù)） 解: x2=(sin+cos)2=1+2sincos，把y=sincos代入， x2=1+2y。 又 x=sin+cos=sin(+)y=sincos=sin2 |x|，|y

2、|。 所求方程為x2=1+2y (|x|, |y|) 小結(jié):上述兩個例子可以發(fā)現(xiàn)，都是利用三角恒等式進(jìn)行消參。消參過程中都應(yīng)注意等價性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出x, y的范圍。在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法。 (3)(t1, t為參數(shù)) 法一:注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法。 x+y=1,又x=-1-1，y=2, 所求方程為x+y=1 (x-1, y2)。 法二:其實(shí)只要把t用x或y表示，再代入另一表達(dá)式即可。由x=, x+xt=1-t, (x+1)t=1-x，即t=代入y=1-x， x+y=1，（其余略） 這

3、種方法稱為代入消參，這是非常重要的消參方法，其它不少方法都可以看到代入消參的思想。 (4)(t為參數(shù)) 分析:此題是上題的變式，僅僅是把t換成t2而已，因而消參方法依舊，但帶來的變化是范圍的改變，可用兩種求值域的方法: 法一:x=-1, t20, t2+11, 01, -1-11, -1x1。 法二:解得t2=0, -1x1,同理可得出y的范圍。 (5) (t為參數(shù)) 分析:現(xiàn)在綜合運(yùn)用上述各種方法進(jìn)行消參，首先，求x,y范圍。 由x=得x2=0, -1x1,由y=, t=0時，y=0； t0時，|y|=1，從而|y|1。 法一:注意到分子，分母的結(jié)構(gòu)，采用平方消參， x2+y2=()2+()

4、2=1。 法二:關(guān)鍵能不能用x, y表示t，且形式簡單由x=得t2=，代入y=t(1+x) t=再代入x=，化簡得x2+y2=1。 法三:注意到表達(dá)式與三角中萬能公式非常相象 可令t=tg，(-)，x=cos2,y=sin2, x2+y2=1，又2(-,)， -10)，過原點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別被拋物線截得線段為AB，CD，M為AB中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，G為MN中點(diǎn)。求G點(diǎn)軌跡方程，并說明其圖形。 解:設(shè)AB方程為y=kx代入拋物線方程y2=4p(x+p) k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐標(biāo)為(x1, y1), (x2, y2) 則 xM=, yM=, ABCD, CD方程為y=-

5、x，代入y2=4p(x+p)， x2-4px-4p2=0，設(shè)C(x3, y3),D(x4,y4) N(2pk2, -2pk) 則G點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)為 y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)p2=2p，而yR在方程中都已體現(xiàn)， 軌跡方程為y2=p(x-2p)為頂點(diǎn)(2p,0)開口向右的拋物線。 說明:消參一般應(yīng)分別給出x,y的范圍，而二題中變量的范圍已體現(xiàn)在方程之中。在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時應(yīng)用語言作補(bǔ)充說明。如方程 0,，是個圓，但消參之后得x2+y2=1(|x|1, |y|1)卻無法說明這一點(diǎn)。在線測試窗體頂端選擇題

6、1曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則方程所表示的曲線為（） A、射線B、線段C、雙曲線的一支D、拋物線 窗體底端窗體頂端2參數(shù)方程（為參數(shù)，且02）所表示的曲線是（）. A、橢圓的一部分B、雙曲線的一部分 C、拋物線的一部分，且過(-1，)點(diǎn)D、拋物線的一部分，且過(1，)點(diǎn) 窗體底端窗體頂端3已知直線l的參數(shù)方程為則直線l的傾斜角為（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端4拋物線（t為參數(shù)）的準(zhǔn)線方程是（） A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-2 窗體底端窗體頂端5彈道曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，v0，g為常數(shù)）當(dāng)炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時，炮彈飛行的水平距離是（） A、B、C、D、 窗體底端答案與

7、解析 解析：（1） x=cos20，1，y=1-cos2=1-x， x+y-1=0， x0，1為一條線段。故本題應(yīng)選B。 （3）本題認(rèn)為直線l的傾斜角是是不對的，因?yàn)橹挥挟?dāng)直線的參數(shù)方程為：（其中t為參數(shù)），其中的才是直線的傾斜角，消去參數(shù)t，化參數(shù)方程為普通方程后，再求直線l的傾斜角是可以的。但直線l的傾斜角適合tan=，這里只要把兩個方程相除就可得：， tan=-，又00)的對稱軸上兩點(diǎn)，且它們關(guān)于頂點(diǎn)O對稱，過M，N作兩條平行線，分別交拋物線于P1，P2，Q1，Q2，求證:|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|。證明:由已知可設(shè)M(a,0), N(-a, 0)(a0) 則直線MP1，NQ

8、1的參數(shù)方程為: （1）和（2）其中t是參數(shù)，是傾斜角。 把（1）（2）分別代入y2=2px中，由韋達(dá)定理可得:|MP1|MP2|=，|NQ1|NQ2|=，|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2| 評述:此例中應(yīng)用了點(diǎn)角式參數(shù)方程中t的幾何意義，即|t1|,|t2|為相應(yīng)點(diǎn)到定點(diǎn)M的距離，據(jù)此證明了關(guān)于線段的等式問題。 例5橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點(diǎn)F1引直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)F2F1M=，0,），若|MN|等于短軸時，求。 解:a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，橢圓方程+y2=1。 法（1）設(shè)MN所在直線參數(shù)方程為.(1)（t為參數(shù)） 將(1)代

9、入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=,0,）， sin=, =或。 （法二）設(shè)MN方程:y=k(x+2) x1+x2=.(1),x1x2=.(2) |MN|=|x1-x2|.又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 將(1),(2)代入(3)，將(3)代入(I)解得:k2=(下略) 另； e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定義:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=+6, k2=(下略)。

10、 評述:利用直線參數(shù)方程，常常解決弦長的問題，對比普通方程的弦長公式可知，形式上要簡捷，運(yùn)算上也將更加簡化，減少運(yùn)算的出錯可能。 例6過M(-1,0)的直線l交雙曲線x2-y2=10于A，B兩點(diǎn)，且|MA|=3|MB|，求直線l的方程。 分析:|MA|=3|MB|，若設(shè)普通方程，則兩線段間的上述關(guān)系表述很繁瑣，條件不利于應(yīng)用。設(shè)直線參數(shù)方程點(diǎn)角式，直接利用參數(shù)t的幾何意義表達(dá)|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去應(yīng)用。 解:設(shè)直線MA的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0，有 t1+t2=, t1t2= 又 |

11、MA|=3|MB|， t1=3t2。 當(dāng)t1=3t2時，4t2=, 3=, t2=, 3=, 解得:cos2=，sin2=, tg=， l: y=(x+1)。 當(dāng)t1=3t2時，同理可求l:y=(x+1)。 本周小結(jié):直線參數(shù)方程點(diǎn)角式問題，應(yīng)注重從下面幾點(diǎn)講解。會判斷方程是否為點(diǎn)角式參數(shù)方程；若參數(shù)方程為會化為點(diǎn)角式，并會求出傾角，一定要注意傾角的范圍。會應(yīng)用它解決弦長問題，弦的中點(diǎn)線分弦成定比問題，點(diǎn)在直線上位置等常見問題。 參考練習(xí):1直線:（t為參數(shù)）的傾斜角是（ ）A、20B、70C、110D、160 2直線（t是參數(shù)）與圓（為參數(shù)）相交所得弦長為（） A、(3-) B、C、D、(3

12、+) 3圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(-1,2)，AB為過P0且傾角為的弦。 （1）當(dāng)=，求|AB|；（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P0平分時，寫出直線AB的方程。 參考答案: 1.C2.B 3.解:設(shè)直線AB方程為:(1)（t為參數(shù)）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos-2sin)t-3=0.(2) 直線與圓相交，(2)有實(shí)根，則由韋達(dá)定理:t1+t2=2(cos-sin), t1t2=-3, (1)當(dāng)=時，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4(-3)=30（2）弦AB被點(diǎn)P0平分 cos-2sin)=0tg=，即k=, AB方程為:y

13、-2=(x+1)，即x-2y+5=0。在線測試窗體頂端選擇題1直線（t為參數(shù)）的傾斜角是（） A、20B、70C、110D、160 窗體底端窗體頂端2曲線的參數(shù)方程為（0t5），則曲線是（） A、線段B、雙曲線的一支C、圓弧D、射線 窗體底端窗體頂端3橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是（） A、(-3,5), (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1) 窗體底端窗體頂端4下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端5曲線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)，t0)，它的普通方程是（） A、(x-1)2

14、(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1窗體底端答案與解析 答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析：1本題考查三角變換及直線的參數(shù)方程。解：由直線方程知此直線過定點(diǎn)(3，0)，那么它的斜率k=-ctg20=tg(90+20)=tg110。因此直線的傾斜角為110。故應(yīng)選C。 2本小題考查化參數(shù)方程為普通方程的方法，及解不等式的知識。 解：消去參數(shù)t，得x-3y-5=0。因?yàn)?t5，所以2x77，-1y24。因此是一條線段，故選A。 3本小題考查參數(shù)方程和橢圓方程的知識，以及坐標(biāo)軸平移。解：原方程消參得=1，是中心為（3，-1），焦點(diǎn)在x=3這條直線上的橢圓，c=4，焦點(diǎn)坐

15、標(biāo)為(3，3)及(3，-5)，所以選B。 4本小題考查參數(shù)方程和三角函數(shù)式的恒等變形解：選項(xiàng)A中x0，與x2-y=0中x的取值范圍不符；B中，-1x1，與x2-y=0中的x范圍不符；C中，y=ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，y=tg2t=x2，即x2-y=0，故選D。 5本題考查參數(shù)方程的知識。解：由參數(shù)方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故選B參數(shù)方程、極坐標(biāo)知識小結(jié) 一、求軌跡的參數(shù)方程（1）對于曲線的參數(shù)方程應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：一是參數(shù)方程中參數(shù)的變化范圍是有限制的；二是給出一個t，解出唯一對應(yīng)的x, y的值，因而得出唯一的對應(yīng)點(diǎn)。 （2）可供選擇的參數(shù)較多，如角度、時間、點(diǎn)的

16、坐標(biāo)、位移、直線斜率等。 二、普通方程與參數(shù)方程的互化1注意方程等價性在曲線的普通方程與參數(shù)方程的互化中應(yīng)注意方程的等價性通過參數(shù)的取值范圍推出x、y的取值范圍。 2消去參數(shù)，把參數(shù)方程化為普通方程化曲線的參數(shù)方程為普通方程可用代數(shù)消元法和三角消元法，如果參數(shù)方程中不含三角函數(shù)式，或者參數(shù)方程中雖含三角函數(shù)式，但三角函數(shù)中不含參數(shù)，用代入等代數(shù)方法消去參數(shù)；如果三角函數(shù)式含參數(shù)，可用三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)。當(dāng)然問題不是絕對的，有的題目既可以用代數(shù)方法又可用三角方法。 3普通方程化參數(shù)方程由普通方程化為參數(shù)方程，應(yīng)注意恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，一般在與運(yùn)動有關(guān)的問題中往往選時間為參數(shù)，與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的某些曲線中

17、往往選角度為參數(shù)。參數(shù)選擇得不同，所得方程也不同。因此，同一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的。注意 應(yīng)用參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義解題，有時可使解法簡便。 三、求軌跡的極坐標(biāo)方程1直接法建立極坐標(biāo)方程常?？梢栽谝粋€三角形中實(shí)現(xiàn)。也就是說，建立起這個三角形中的邊角關(guān)系，就是建立了極坐標(biāo)方程。 2轉(zhuǎn)移法如果已知某直線的極坐標(biāo)方程，求受該直線制約的動點(diǎn)軌跡方程時，常使用轉(zhuǎn)移法，利用已知的極坐標(biāo)方程推出所求的極坐標(biāo)的方程。 3參數(shù)法在建立曲線的極坐標(biāo)方程時也可運(yùn)用參數(shù)法，先適當(dāng)?shù)剡x取參數(shù)t，建立動點(diǎn)的坐標(biāo)、與t的關(guān)系：(t為參數(shù))這就是動點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程。再消去參數(shù)t，就得到極坐標(biāo)方程。 注意 在求曲線的極坐標(biāo)方程時，要特別注意點(diǎn)的極坐標(biāo)(, )取值范圍。因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中，平面上所有點(diǎn)的集合與極坐標(biāo)之間不是”一一對應(yīng)的；一般情況下，如果限制0，02，則除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和它的極坐標(biāo)之間便可以一一對應(yīng)。但是這樣的限制對于研究曲線的極坐標(biāo)方程有時有妨礙。如限制02，那么螺線=a只表示動點(diǎn)M的軌跡的一部分，這時螺線只剩下圈了，這顯然是不合適的。 四、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化1極坐標(biāo)方程與直角坐