棱錐體積推導(dǎo)ppt課件

1、棱錐的體積,復(fù)習(xí)： 1、等底面積等高的兩個(gè)柱體體積相等。 2、V柱體Sh 3、柱體體積公式的推導(dǎo),柱體體積公式的推導(dǎo),等底面積等高的幾個(gè)柱體被平行于平面的平面所截截面面積始終相等,體積相等,V長(zhǎng)方體abc,V柱體Sh,問(wèn)題：對(duì)比柱體體積公式的推導(dǎo)及結(jié)論，猜想一下 錐體體積是否具有相似的結(jié)論,定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等,h1,S1,h1,S2,h,S,h,S,取任意兩個(gè)錐體，它們 的底面積為S，高都是h,平行于平面的任一平面去截,截面面積始終相等,兩個(gè)錐體體積相等,定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等,證明：取任意兩個(gè)錐體，設(shè)它們的底面積為S，高都是h,把這兩個(gè)錐體 放在同一個(gè)平面

2、上，這是它們的頂點(diǎn)都在和平面平行的同一個(gè)平 面內(nèi),用平行于平面的任一平面去截它們,截面分別與底面相似,設(shè)截面和頂點(diǎn)的距離是h1，截面面積分別是S1S,根據(jù)祖搄原理，這兩個(gè)錐體的體積相等,先割后補(bǔ),先補(bǔ)后割,與三棱柱相對(duì)照，請(qǐng)猜想三棱錐體積公式,C1,B1,與三棱柱相對(duì)照，請(qǐng)猜想三棱錐體積公式,C1,B1,把三棱錐1以 ABC為底面、 AA1為側(cè)棱補(bǔ)成 一個(gè)三棱柱,猜測(cè)三棱錐的體積公式,連接B1C,然后 把這個(gè)三棱柱 分割成三個(gè)三 棱錐,就是三棱錐1 和另兩個(gè)三棱 錐2、3,猜測(cè)三棱錐的體積公式,就是三棱錐1 和另兩個(gè)三棱 錐2、3,猜測(cè)三棱錐的體積公式,V1V2V3 V三棱柱,定理二：如果三棱

3、錐的底面積是S，高是h，那么 它的體積是 V三棱錐 Sh,猜測(cè):n棱錐的體積公式： Vn棱錐= Vn棱柱,任意錐體的體積公式,定理三：如果一個(gè)錐體的底面積是S， 高是h，那么它的體積是 V錐體 Sh,小結(jié)： 定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等。 定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h， 那么它的體積是 V三棱錐 Sh 定理三：如果一個(gè)錐體的底面積是S,高是h， 那么它的體積是 V錐體 Sh,例1.如圖是一石柱, 石柱頂上部是一個(gè)正四 棱錐,下部是一個(gè)正四棱柱. 已知正四 棱柱底面邊長(zhǎng)0.5米, 高1米, 正四棱錐 的高是0.3米.石料比重d為每一立方米 2400千克. 求這個(gè)石柱的重量,解

4、,V棱錐,V棱柱,所以石柱的重量 P=(V棱柱+V棱錐)d=660(千克,例2.在三棱錐V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10， 三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角均為60o, VO平面ABC, 交平面ABC于O,B,A,C,V,E,O,F,D,2) 求 三棱錐的高,3) 求 三棱錐的體積,1) 求證： O是 ABC的內(nèi)心,OD為VD在平面ABC內(nèi)的射影, 根據(jù)三垂線定理, 得VDAB.于是VDO為側(cè)面VAB與底面所成二面角的平面角. VDO=VEO=VFO=60o,C,V,解:（1）連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于D, 過(guò)O在平面ABC 內(nèi)分別作AC、BC的垂線, F、E為垂足. 連結(jié)VD、VF、VE

5、,A,E,O,F,D,B,RETURN,因?yàn)閂O平面ABC,CD AB,顯然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即點(diǎn)O到 ABC三邊距離相等. 因此 O是ABC的內(nèi)心,C,V,E,O,F,D,A,B,例3. 已知正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面 角為120o, 底面邊長(zhǎng)a, 求它的高、體積,A,B,C,D,S,E,O,解：連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)SO， 則SO為正四棱錐的高. 過(guò)B作BESC, E為垂足.連結(jié)DE, 則DEB為二面角D-SC-EB的平面角, 所以DEB=120o,A,S,B,C,D,E,O,連結(jié)OE,例4.如圖三棱錐V-ABC中, D為BC上一點(diǎn),E為 AV上一點(diǎn),

6、BCED, BCAV, ED AV, 已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求:三棱錐的體積,V,A,B,C,D,E,NEXT,RETURN,解,RETURN,例5、如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,G為A1B1上的點(diǎn),E、F在棱AB上,H在C1D1上. (1).若點(diǎn)G在A1B1上滑動(dòng), H在C1D1上滑動(dòng),線段EF在AB上滑動(dòng),則VH-EFG的值有何變化? (2).若點(diǎn)G滑動(dòng)到B1,E、F滑動(dòng)到A、B點(diǎn),H滑動(dòng)到D1點(diǎn),則VH-EFG體積為多少,G,H,E,F,例6：已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD， 側(cè)面ABC與底面所成的角為 求證：V三棱錐 SABC

7、ADcos,SAB C ADcos,BC AEcos AD,V三棱錐 SB CD AD,BC DE AD,例6：已知:三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD， 側(cè)面ABC與底面所成的角為 求證：V三棱錐 SABCADcos,問(wèn)題1、ADcos有什么幾何意義,F,結(jié)論： V三棱錐 SAB C DF,例6、已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD， 側(cè)面ABC與底面所成的角為 求證：V三棱錐 SABCADcos,結(jié)論： V三棱錐VC-AEDVB-AED,問(wèn)題2、解答過(guò)程中的 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示什么意思,AEcosED,又BE與CE都垂直平面AED，故BE

8、、CE 分別是三棱錐B-AED、C-AED的高,分析,練習(xí)1,將長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)三棱錐， 這個(gè)三棱錐的體積是長(zhǎng)方體體積幾分之幾？（請(qǐng) 列出三棱錐體積表達(dá)式,問(wèn)題1、你能有幾種 解法,問(wèn)題2、如果這是一 個(gè)平行六面 體呢？或者 四棱柱呢,練習(xí)2,從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去四個(gè)三棱錐，得 到一個(gè)正三棱錐A-BCD，求它的體積是正方體體 積的幾分之幾,問(wèn)題2、如果改為求 棱長(zhǎng)為a的正四面 體A-BCD的體積。 你能有幾種解法,問(wèn)題1、你能有幾種 解法,解一、補(bǔ)形，將三棱 錐補(bǔ)成一個(gè)正方體,解二、利用體積公式 V四面體 SBCDh,解三、將四面體分割為 三棱錐C-ABE和三棱 錐D

9、-ABE,E,小結(jié),1、錐體體積公式的證明體現(xiàn)了從整體上掌握知識(shí)的思想，形象具體地在立體幾何中運(yùn)用“割補(bǔ)”進(jìn)行解題的技巧,2、三棱錐體積的證明分兩步進(jìn)行： 、證明底面積相等、高也相等的任意兩個(gè)錐體體積相等： （一個(gè)錐體的體積計(jì)算可以間接求得） 、證明三棱錐的體積等于其底面積與高的積的三分之一： （它充分揭示了一個(gè)三棱錐的獨(dú)特性質(zhì)，可根據(jù)需要重 新安排底面，這樣也為點(diǎn)到面的距離、線到面的距離計(jì) 算提供了新的思考方法。這一點(diǎn)以后再學(xué)習(xí)。,3、錐體的體積計(jì)算在立體幾何體積計(jì)算中，占有重要位置，它 可補(bǔ)成柱體又可以截成臺(tái)體，它可以自換底面、自換頂點(diǎn)，在 計(jì)算與證明中有較大的靈活性，技巧運(yùn)用得當(dāng)，可使解題過(guò)程 簡(jiǎn)化，常常給人耳目一新的感覺(jué),小結(jié)： 4、定理及推論 定理一、等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等。 定理二、如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么 它的體積是 V三棱錐 Sh 定理三：如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積 是S，高是h，那么它的體積是 V錐體 Sh 推論：如果圓錐的底面半徑是r