奧賽小學數(shù)學競賽容斥原理之重疊問題二教師版解題技巧 培優(yōu) 易錯 難

1、 容斥原理之重疊問題（二）7-7-2. 教學目標 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；1. 掌握容斥原理的在組合計數(shù)等各個方面的應用2. 知識要點 一、兩量重疊問題在一些計數(shù)問題中，經常遇到有關集合元素個數(shù)的計算求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，(”的意思；符號“和”或者“用式子可表示成：或其中符號“”讀作“并”，相當于中文“IAAUB?A?B?IBU表示小圓:)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下”，相當于中文“且的意思讀作“交”A，即陰影面積圖示如下:表示大圓與小圓的公共部分

2、，記為：表示小圓部分，表示大圓部分，BAICAB，即陰影面積 表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：部分，BIACB1先包含 B?A重疊部分計算了次，多加了次； BAI122再排除 BI?AA?B把多加了次的重疊部分減去 BAI1 包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合的并集的元素的個數(shù)，可分以下兩步進行： BUAB、A第一步：分別計算集合的元素個數(shù)，然后加起來，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進B、AA、BBA?來，加在一起)； 第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復計算的元素個數(shù)) BC?AI 二、三量重疊問題 類、類與類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)

3、類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是類又是類?CC?BAAAB?B?的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)同時是類、類、類的元?CCCBAAB?素個數(shù)用符號表示為：圖示如下： CI?AIBCIB?BIC?AIAAUBUC?B?C?A 圖中小圓表示的元素的個數(shù)，中圓表示的元素的個數(shù)，BA大圓表示的元素的個數(shù) C1先包含： CB?A?重疊部分、重疊了次，多加了次 ACIBICAIB122再排除： CI?A?BICBA?B?C?AI重疊部分重疊了次，但是在進行 CAIBI?CA?3B計算時都被減掉了 CAICIB?BI?A 3再包含： CIBIACACBBACBA?I?I?I? 來幫助分析思考)

4、韋恩圖(在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖 例題精講 模塊一、三量重疊問題 份不同的報紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報【例一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2 1】 _戶。份，丙報40份，那么既訂乙報又訂丙報的有份，乙報紙，其中甲報3034 【題型】填空 【考點】三量重疊問題 【難度】3星 試4年級，1【關鍵詞】希望杯， 戶。戶居民，訂丙和乙的有3440）252523022【解析】 總共有（30? 戶【答案】22 人，手中有黃旗的共 【例 2】某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人而手中只有紅、黃有人，手中有藍旗的共有人其中手中有紅、黃、藍三種小

5、旗的有61826人，那么人，手中只有紅、藍兩種小旗的有兩種小旗的有人，手中只有黃、藍兩種小旗的有394 這個班共有多少人？ 【題型】解答 【難度】3星 【考點】三量重疊問題 BAC 圓表示手中有藍旗的如果用手中有圓表示手中有紅旗的，圓表示手中有黃旗的，圖，用【解析】 如CBA紅旗的、有黃旗的與有藍旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復計算了一次，應減去， 手中有三種顏色小旗的重復計算了二次，也應減去，那么，全班人數(shù)為：?）4?3?（34?26?18）（9? 人()50?26 【答案】人50 人既愛打籃球又愛踢足球，人愛踢足球，人愛打籃球，【鞏固】 某班有人，其中人愛打排球，9171926

6、442人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好問：既愛打 籃球又愛打排球的有幾人？ 【考點】三量重疊問題 【題型】解答3星 【難度】人根據(jù)包含排除法，人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有【解析】 由于全班4242，得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)0?（94?）?）42?（26?17?19 (為：人)7?4249 【答案】人7 人參加了語文小組，24人參加了數(shù)學小組，20項課外活動四年級一班有【例 3】 46名學生參加3其中有項活動都參加人數(shù)倍，又是3參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學小組也參加文藝小組人數(shù)的35倍，既參加數(shù)

7、學小3的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當于項都參加的人數(shù)的2 人求參加文藝小組的人數(shù)組又參加語文小組的有10 【題型】解答 【難度】 3星 【考點】三量重疊問題 ，參加文藝小組的學生組成集A 設參加數(shù)學小組的學生組成集合，參加語文小組的學生組成集合B【解析】CAIBUAUBCICAICBA，=24，=7z合G三者都參加的學生有人=20有，=3.5=46CIBAICBIBAI =10，=2AUBUC?A?B?C?AIB?AIC?BIC?AIBIC，因為 所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3， 即三者的都參加的有3人那么參加文藝小組的有37=21人 ?【答案】人

8、 21 35人參加自然興趣小組，25五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項其中有 【鞏固】 人，參加語文同時又參加美術興趣小組的有12人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組，人，人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9參加自然同時又參加美術興趣小組的有8 人求這個班的學生人數(shù)4語文、美術、自然3科興趣小組都參加的有 【題型】解答 【考點】三量重疊問題 【難度】3星 自然A美術B語文C ，參加美術興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人參加自然興趣小組的人組成集合A【解析】 設 C組成集合CIAIBCIBICACBABAI=4. =8=25=12， =35，=9=27， CBU

9、AUA?B?C?AIB?AIC?BIC?AIBIC. =所以，這個班中至少參加一項活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個班每人至少參加一項即這個班有62人 【答案】人 62 【鞏固】 光明小學組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的有人，42參加中國象棋比賽的有人，參加國際象棋比賽的有人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽3355的有人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽1018的有人，其中三種棋賽都參加的有人，問參加棋類比賽的共有多少人？ 59【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)包含排除法

10、，先把參加圍棋比賽的人，參加中國象棋比賽的人與參加國際象棋比賽的人335542加起來，共是人把重復加一遍同時參加圍棋和中國象棋的人，同時參加圍棋1833?13042?55?和國際象棋的人與同時參加中國象棋和國際象棋的人減去，但是，同時參加了三種棋賽的人5109被加了次，又被減了次，其實并未計算在內，應當補上，實際上參加棋類比賽的共有：33(人) 98?）?5130?（18?10?9或者根據(jù)學過的公式：，參加棋類比賽的總CBIC?AIIB?BIC?AIAAUBUC?B?C?A人數(shù)為：(人) 985?18?33?10?9?42?55【答案】人 98 【例 4】 新年聯(lián)歡會上，共有90人參加了跳舞、

11、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時參加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有_人 【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】西城實驗 【解析】 設只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為，由人沒有參加演奏、人同時參加了跳1050x3x舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為人，即40?50?10，得，所以只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人

12、數(shù)為人，又由“同時參加10x40?10?x3x?30三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少人”，得到同時參加三項的有人，所以參加了合唱的人中“同時37參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有：人 173?10?10?40【答案】人 17 【鞏固】 六年級100名同學，每人至少愛好體育、文藝和科學三項中的一項其中，愛好體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學的51人，三項都愛好的15人，只愛好體育和科學的4人，只愛好體育和文藝的17人問：有多少人只愛好科學和文藝兩項？只愛好體育的有多少人？ 【考點】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 只是A類和B類的元素個數(shù)，有別于容斥原理中的既是A類又是B

13、類的元數(shù)個數(shù)依題意，畫圖如下設只愛好科學和文藝兩項的有人由容斥原理，列方程得 x 100?1515?415?）?（?15）（x?）17?555651（即 100?2?15?x?4?17?51?56?55 100?111x ) 只愛好體育的有：(人 19?x?1155?17?15?4 人只愛好科學和文藝，人只愛好體育?！敬鸢浮?911 個人個同學相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中個人帶了漢堡， 5】 在某個風和日麗的日子，【例6610個人既帶了雞腿又帶了芝士個人帶了芝士蛋糕，有個人既帶了漢堡又帶了雞腿，帶了雞腿，314 蛋糕個人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問：2 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有

14、幾個？ 【題型】解答星 【考點】三量重疊問題 【難度】4ABC 【解析】 如圖，用圓表示帶漢堡的人，圓表示帶雞腿的人，圓表示帶芝士蛋糕的人 CBA 根據(jù)包含排除法，總人數(shù)帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋糕的人數(shù)帶漢堡、雞（）?（?腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)三種都帶了的人數(shù)，即?）?三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：(人) 010?10?6?4）?（3?2?1）10?（6 求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即(人)只帶了一種4?2?1）310?（的有人 4【答案】（1）0人，（2）人 4 【鞏固】 盛夏的一天，有個同學去冷飲店，向服務員交了一份需

15、要冷飲的統(tǒng)計表：要可樂、雪碧、橙汁的10各有人；可樂、雪碧都要的有人；可樂、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三樣都3522要的只有人，證明其中一定有人這三種飲料都沒有要 11【考點】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 略 【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)(要可樂的人數(shù)要雪碧的人數(shù)要橙汁的人?數(shù))(要可樂、雪碧的人數(shù)要可樂、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù))三種都要的人數(shù)，即至?少要了一種飲料的人數(shù)為：(人)(人)，所以其中有人這三種19?910?2（5?5?5）?（3?2）?11 飲料都沒有要 【例 6】 全班有個學生，其中人會騎自行車，人會游泳，人會滑冰，

16、這三個運動項目沒有人全會，8171325至少會這三項運動之一的學生數(shù)學成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有個人數(shù)學不及格，6那么， 數(shù)學成績優(yōu)秀的有幾個學生？ 有幾個人既會游泳，又會滑冰？ 【考點】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 有個數(shù)學不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會超過人會這三項運動之一而196?6?1925又因為沒人全會這三項運動，那么，最少也會有：于(人)至少會這三項運動之一198）?2?17（?13?是，至少會三項運動之一的只能是人，而這人又不是優(yōu)秀，說明全班人中除了人外，剩19191925下的名不及格，所以沒有數(shù)學成績優(yōu)秀的 6 上面分析可知，及格的人中

17、，每人都會兩項運動：會騎車的一定有一部分會游泳，一部分會滑19冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會騎車就一定會游泳，但既會游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車所以，全班有(人)既會游泳又會滑冰 217?19?【答案】（1）0人，（2）人 2 【鞏固】 五年級一班共有人，每人參加一個興趣小組，共有、五個小組，若參加組C36ABAED的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只C15EABD有人那么，參加組的有_人 B4【考點】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 參加，三組的總人數(shù)是(人)，每組至少人，當，每組 人時，6C?15417

18、C5?C36BDDD組為人，不符合題意，所以參加組的有 )人(75?5?5?17BB 人【答案】7 位同學，每人至少參加數(shù)學、語文、自然課外小組中的一個其中僅參加數(shù)學與語文28】 五一班有【例 7個同學6小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學小組的人數(shù)，沒有同學僅參加語文或僅參加自然小組，恰有個小組全參加的人數(shù)3參加數(shù)學與自然小組但不參加語文小組，僅參加語文與自然小組的人數(shù)是的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學和語文小組的人03個小組全參加的人數(shù)是一個不為的5倍，并且知道 有多少人？ 【題型】解答 【難度】4星 【考點】三量重疊問題 ，那么僅參加語文與自然小40的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于 參加3個小組的人數(shù)是一個不為【解

19、析】人，與題意306個，這樣至少應有組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學與自然小組的人有，于是僅參加語文與102僅參加語文與自然小組的人數(shù)為矛盾，所以參加3個小組的人數(shù)為人是僅參加數(shù)學與語1018人，剩下的自然、僅參加數(shù)學與自然和參加3個小組的人數(shù)一共是 人文以及僅參加數(shù)學的由于這兩個人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學和語文小組的有5 人【答案】5 在一個自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的】 8 【例個人人；個人沒有摘草莓；人數(shù)多個；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多350114，你能回.如果參與采摘水果的總人數(shù)是摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有人摘

20、了李子10060 答下列問題嗎？ 人摘了山莓； 有 人同時摘了三種水果； 有 人只摘了山莓； 有 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓； 有 . 人只摘了草莓 有 山莓AEDGCBF李子草莓 【題型】填空 【難度】3星【考點】三量重疊問題 圖，根據(jù)題意有 如【解析】 C?2A 3C?G? 4E?B? 50?CA?D? 11?D 60?F?GC?D 40?B?EA? ，代入求解：，16G5?FA?26?B920C?13?E?11D? )摘了山莓；(所以有人58?26G?11?5?16EA?D? 有人同時摘了三種水果；16 人只摘了山莓；有26 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；有20. 人只摘了草莓有9

21、 摘了山莓；有人同時摘了三種水果；(【答案】有人)1658 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；人只摘了山莓；有有2026. 人只摘了草莓有9 某學校派出若干名學生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個項目，已知參加長跑、跳高、標槍 】【例 9人，長跑、跳高、標槍每一項的的參加選手中人中都有五分之201510三個項目的人數(shù)分別為、 一的人還參加了別的比賽項目，求這所學校一共派出多少人參加比賽？ 體育55人41715人文藝56x人51 科學 【題型】解答 【考點】三量重疊問題 【難度】4星人參加其它項目，參加標3條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項目，參加跳高的人中有【解析】 由，yx，只參加長跑和標槍的人數(shù)為槍的人中有4人還參加別的項目，假設只參加長跑和跳高的人數(shù)為 那么有以下方程組：n人.只參加標槍和跳高的有z人，三項都參加的有 人 項目，參加跳高的人中有3參由 條件可知，參加長跑的人中有2人加其它 只參加假設只參加長跑和跳高的人數(shù)為x，參加其它項目，參加標槍的人中有4人還參加別的項目， 人.那么有以下方程組：y，只參加標槍和跳高的有z人，三項都參加的有n長跑和標槍的人數(shù)為2?n?x?y? n?3x?z? ?4n? z?y?或只能是1=9，由這個等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n2（x+y+z）+3n將3條等式相加則