奧賽小學(xué)數(shù)學(xué)競賽容斥原理之重疊問題二教師版解題技巧 培優(yōu) 易錯(cuò) 難

1、 容斥原理之重疊問題（二）7-7-2. 教學(xué)目標(biāo) 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；1. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用2. 知識(shí)要點(diǎn) 一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，(”的意思；符號(hào)“和”或者“用式子可表示成：或其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“IAAUB?A?B?IBU表示小圓:)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下”，相當(dāng)于中文“且的意思讀作“交”A，即陰影面積圖示如下:表示大圓與小圓的公共部分

2、，記為：表示小圓部分，表示大圓部分，BAICAB，即陰影面積 表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：部分，BIACB1先包含 B?A重疊部分計(jì)算了次，多加了次； BAI122再排除 BI?AA?B把多加了次的重疊部分減去 BAI1 包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合的并集的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行： BUAB、A第一步：分別計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)，然后加起來，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)B、AA、BBA?來，加在一起)； 第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)) BC?AI 二、三量重疊問題 類、類與類元素個(gè)數(shù)的總和類元素的個(gè)數(shù)

3、類元素個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)既是類又是類?CC?BAAAB?B?的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是類、類、類的元?CCCBAAB?素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為：圖示如下： CI?AIBCIB?BIC?AIAAUBUC?B?C?A 圖中小圓表示的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示的元素的個(gè)數(shù)，BA大圓表示的元素的個(gè)數(shù) C1先包含： CB?A?重疊部分、重疊了次，多加了次 ACIBICAIB122再排除： CI?A?BICBA?B?C?AI重疊部分重疊了次，但是在進(jìn)行 CAIBI?CA?3B計(jì)算時(shí)都被減掉了 CAICIB?BI?A 3再包含： CIBIACACBBACBA?I?I?I? 來幫助分析思考)

4、韋恩圖(在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖 例題精講 模塊一、三量重疊問題 份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報(bào)【例一棟居民樓里的住戶每戶都訂了2 1】 _戶。份，丙報(bào)40份，那么既訂乙報(bào)又訂丙報(bào)的有份，乙報(bào)紙，其中甲報(bào)3034 【題型】填空 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3星 試4年級(jí)，1【關(guān)鍵詞】希望杯， 戶。戶居民，訂丙和乙的有3440）252523022【解析】 總共有（30? 戶【答案】22 人，手中有黃旗的共 【例 2】某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人而手中只有紅、黃有人，手中有藍(lán)旗的共有人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小

5、旗的有61826人，那么人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有兩種小旗的有人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有394 這個(gè)班共有多少人？ 【題型】解答 【難度】3星 【考點(diǎn)】三量重疊問題 BAC 圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有圓表示手中有紅旗的，圓表示手中有黃旗的，圖，用【解析】 如CBA紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去， 手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：?）4?3?（34?26?18）（9? 人()50?26 【答案】人50 人既愛打籃球又愛踢足球，人愛踢足球，人愛打籃球，【鞏固】 某班有人，其中人愛打排球，9171926

6、442人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個(gè)人三種球都愛好，也沒有一個(gè)人三種球都不愛好問：既愛打 籃球又愛打排球的有幾人？ 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【題型】解答3星 【難度】人根據(jù)包含排除法，人沒有一個(gè)人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有【解析】 由于全班4242，得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)既愛打籃球又愛打排球的人數(shù)0?（94?）?）42?（26?17?19 (為：人)7?4249 【答案】人7 人參加了語文小組，24人參加了數(shù)學(xué)小組，20項(xiàng)課外活動(dòng)四年級(jí)一班有【例 3】 46名學(xué)生參加3其中有項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)倍，又是3參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的35倍，既參加數(shù)

7、學(xué)小3的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當(dāng)于項(xiàng)都參加的人數(shù)的2 人求參加文藝小組的人數(shù)組又參加語文小組的有10 【題型】解答 【難度】 3星 【考點(diǎn)】三量重疊問題 ，參加文藝小組的學(xué)生組成集A 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合，參加語文小組的學(xué)生組成集合B【解析】CAIBUAUBCICAICBA，=24，=7z合G三者都參加的學(xué)生有人=20有，=3.5=46CIBAICBIBAI =10，=2AUBUC?A?B?C?AIB?AIC?BIC?AIBIC，因?yàn)?所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3， 即三者的都參加的有3人那么參加文藝小組的有37=21人 ?【答案】人

8、 21 35人參加自然興趣小組，25五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有 【鞏固】 人，參加語文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，人，人，參加自然同時(shí)又參加語文興趣小組的有9參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8 人求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)4語文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有 【題型】解答 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3星 自然A美術(shù)B語文C ，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人參加自然興趣小組的人組成集合A【解析】 設(shè) C組成集合CIAIBCIBICACBABAI=4. =8=25=12， =35，=9=27， CBU

9、AUA?B?C?AIB?AIC?BIC?AIBIC. =所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng)即這個(gè)班有62人 【答案】人 62 【鞏固】 光明小學(xué)組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個(gè)組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有人，42參加中國象棋比賽的有人，參加國際象棋比賽的有人，同時(shí)參加了圍棋和中國象棋比賽3355的有人，同時(shí)參加了圍棋和國際象棋比賽的有人，同時(shí)參加了中國象棋和國際象棋比賽1018的有人，其中三種棋賽都參加的有人，問參加棋類比賽的共有多少人？ 59【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)包含排除法

10、，先把參加圍棋比賽的人，參加中國象棋比賽的人與參加國際象棋比賽的人335542加起來，共是人把重復(fù)加一遍同時(shí)參加圍棋和中國象棋的人，同時(shí)參加圍棋1833?13042?55?和國際象棋的人與同時(shí)參加中國象棋和國際象棋的人減去，但是，同時(shí)參加了三種棋賽的人5109被加了次，又被減了次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類比賽的共有：33(人) 98?）?5130?（18?10?9或者根據(jù)學(xué)過的公式：，參加棋類比賽的總CBIC?AIIB?BIC?AIAAUBUC?B?C?A人數(shù)為：(人) 985?18?33?10?9?42?55【答案】人 98 【例 4】 新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、

11、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多4人；50人沒有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有_人 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn) 【解析】 設(shè)只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為，由人沒有參加演奏、人同時(shí)參加了跳1050x3x舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為人，即40?50?10，得，所以只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人

12、數(shù)為人，又由“同時(shí)參加10x40?10?x3x?30三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)37參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”有：人 173?10?10?40【答案】人 17 【鞏固】 六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)其中，愛好體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛好的15人，只愛好體育和科學(xué)的4人，只愛好體育和文藝的17人問：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛好體育的有多少人？ 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 只是A類和B類的元素個(gè)數(shù)，有別于容斥原理中的既是A類又是B

13、類的元數(shù)個(gè)數(shù)依題意，畫圖如下設(shè)只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)的有人由容斥原理，列方程得 x 100?1515?415?）?（?15）（x?）17?555651（即 100?2?15?x?4?17?51?56?55 100?111x ) 只愛好體育的有：(人 19?x?1155?17?15?4 人只愛好科學(xué)和文藝，人只愛好體育?！敬鸢浮?911 個(gè)人個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中個(gè)人帶了漢堡， 5】 在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，【例6610個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士個(gè)人帶了芝士蛋糕，有個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，帶了雞腿，314 蛋糕個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問：2 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有

14、幾個(gè)？ 【題型】解答星 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4ABC 【解析】 如圖，用圓表示帶漢堡的人，圓表示帶雞腿的人，圓表示帶芝士蛋糕的人 CBA 根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋糕的人數(shù)帶漢堡、雞（）?（?腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)三種都帶了的人數(shù)，即?）?三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：(人) 010?10?6?4）?（3?2?1）10?（6 求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即(人)只帶了一種4?2?1）310?（的有人 4【答案】（1）0人，（2）人 4 【鞏固】 盛夏的一天，有個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需

15、要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的10各有人；可樂、雪碧都要的有人；可樂、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三樣都3522要的只有人，證明其中一定有人這三種飲料都沒有要 11【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 略 【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)(要可樂的人數(shù)要雪碧的人數(shù)要橙汁的人?數(shù))(要可樂、雪碧的人數(shù)要可樂、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù))三種都要的人數(shù)，即至?少要了一種飲料的人數(shù)為：(人)(人)，所以其中有人這三種19?910?2（5?5?5）?（3?2）?11 飲料都沒有要 【例 6】 全班有個(gè)學(xué)生，其中人會(huì)騎自行車，人會(huì)游泳，人會(huì)滑冰，

16、這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì)，8171325至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，6那么， 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？ 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？ 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 有個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會(huì)超過人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一而196?6?1925又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：于(人)至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一198）?2?17（?13?是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是人，而這人又不是優(yōu)秀，說明全班人中除了人外，剩19191925下的名不及格，所以沒有數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的 6 上面分析可知，及格的人中

17、，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑19冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳，但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車所以，全班有(人)既會(huì)游泳又會(huì)滑冰 217?19?【答案】（1）0人，（2）人 2 【鞏固】 五年級(jí)一班共有人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有、五個(gè)小組，若參加組C36ABAED的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只C15EABD有人那么，參加組的有_人 B4【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 參加，三組的總?cè)藬?shù)是(人)，每組至少人，當(dāng)，每組 人時(shí)，6C?15417

18、C5?C36BDDD組為人，不符合題意，所以參加組的有 )人(75?5?5?17BB 人【答案】7 位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語文、自然課外小組中的一個(gè)其中僅參加數(shù)學(xué)與語文28】 五一班有【例 7個(gè)同學(xué)6小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語文或僅參加自然小組，恰有個(gè)小組全參加的人數(shù)3參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語文小組，僅參加語文與自然小組的人數(shù)是的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語文小組的人03個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為的5倍，并且知道 有多少人？ 【題型】解答 【難度】4星 【考點(diǎn)】三量重疊問題 ，那么僅參加語文與自然小40的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于 參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為【解

19、析】人，與題意306個(gè)，這樣至少應(yīng)有組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有，于是僅參加語文與102僅參加語文與自然小組的人數(shù)為矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為人是僅參加數(shù)學(xué)與語1018人，剩下的自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是 人文以及僅參加數(shù)學(xué)的由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語文小組的有5 人【答案】5 在一個(gè)自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的】 8 【例個(gè)人人；個(gè)人沒有摘草莓；人數(shù)多個(gè)；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多350114，你能回.如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有人摘

20、了李子10060 答下列問題嗎？ 人摘了山莓； 有 人同時(shí)摘了三種水果； 有 人只摘了山莓； 有 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓； 有 . 人只摘了草莓 有 山莓AEDGCBF李子草莓 【題型】填空 【難度】3星【考點(diǎn)】三量重疊問題 圖，根據(jù)題意有 如【解析】 C?2A 3C?G? 4E?B? 50?CA?D? 11?D 60?F?GC?D 40?B?EA? ，代入求解：，16G5?FA?26?B920C?13?E?11D? )摘了山莓；(所以有人58?26G?11?5?16EA?D? 有人同時(shí)摘了三種水果；16 人只摘了山莓；有26 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；有20. 人只摘了草莓有9

21、 摘了山莓；有人同時(shí)摘了三種水果；(【答案】有人)1658 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；人只摘了山莓；有有2026. 人只摘了草莓有9 某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長跑、跳高、標(biāo)槍 】【例 9人，長跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之201510三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為、 一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？ 體育55人41715人文藝56x人51 科學(xué) 【題型】解答 【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4星人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)3條件可知，參加長跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有【解析】 由，yx，只參加長跑和標(biāo)槍的人數(shù)為槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長跑和跳高的人數(shù)為 那么有以下方程組：n人.只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有 人 項(xiàng)目，參加跳高的人中有3參由 條件可知，參加長跑的人中有2人加其它 只參加假設(shè)只參加長跑和跳高的人數(shù)為x，參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目， 人.那么有以下方程組：y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n長跑和標(biāo)槍的人數(shù)為2?n?x?y? n?3x?z? ?4n? z?y?或只能是1=9，由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n2（x+y+z）+3n將3條等式相加則