南昌大學(xué)概率論隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件

1、1,復(fù)習(xí),分布 函數(shù),離散型 連續(xù)型,邊緣 分布,離散型 連續(xù)型,X 與Y 的聯(lián)合分布,X,Y)關(guān)于X 和Y 的邊緣分布,X 與 Y 相互獨(dú)立,離散型 連續(xù)型,2,我們?nèi)圆扇☆惐鹊姆椒▽W(xué)習(xí)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題,我們?cè)?jīng)討論了一維隨機(jī)變量 X 函數(shù) g(X) 的分布,3.5 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,現(xiàn)在我們進(jìn)一步二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題討論,二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布 和二元函數(shù) Z= g(X, Y,一維隨機(jī)變量 Z 的分布,分兩種情形討論,3,例1 設(shè)(X,Y)的分布律為 求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY 的分布律,一 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,X,Y,0 1 2,1 2

2、,0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,解,1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2,1 0 1 2 3 4,X,Y,Z=X+Y,Z=XY,0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,0 -1 -2 0 2 4,Z=XY,0.3 0.1 0.3 0.1 0.2,1 -2 0 2 4,4,則 是一維的離散型隨機(jī)變量,其分布率為,結(jié)論,5,6,7,解,8,9,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y )的概率密度為 f ( x , y),其函數(shù) Z = g(X,Y ) 為連續(xù)函數(shù),求連續(xù)型隨機(jī)變量 Z 的概率密度 fZ (z ),I) 求

3、Z 的分布函數(shù) FZ(z,II) 對(duì)分布函數(shù) FZ(z)求導(dǎo)即得 Z 的概率密度 fZ (z ),FZ(z)= P(Z z,P( g(X,Y ) z,構(gòu)成的區(qū)域記為G,P(X,Y)G,分布函數(shù)法,P( g(X,Y ) z,P( g(X,Y ) z,10,例4 設(shè)(X,Y)的概率密度為,求 Z =X-Y 的概率密度,解,x-y = z,y = x,FZ(z)= P(Z z,P( X-Y z,當(dāng) z 0 時(shí),當(dāng) 0 z 1 時(shí),當(dāng) z 1 時(shí),0,1,z,11,題 設(shè)X,Y獨(dú)立，密度函數(shù)分別為,求 Z=2X+Y 的密度函數(shù),解,x,顯然，當(dāng)z0時(shí),12,當(dāng)0z2時(shí),當(dāng)z2時(shí),13,因此,下面就按著

4、這個(gè)思路, 討論幾個(gè)特殊函數(shù)的分布,14,設(shè)(X,Y)的概率密度為f (x, y), Z=X+Y的分布函數(shù)為,一、 Z=X+Y 的分布,15,Z=X+Y 的概率密度,卷積公式,當(dāng)X,Y 相互獨(dú)立時(shí),16,例5 設(shè) XN(0, 1), YN(0, 1)且X與Y相互獨(dú)立，求 Z=X+Y的概率密度,Z=X+YN(0,2,解,17,2) 若 且相互獨(dú)立， 則,一般結(jié)論,1) 若 且相互獨(dú)立， 則 X+Y 仍服從正態(tài)分布，且,3)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,18,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域,解: 由公式,也即,19,如圖示,于是,服從均勻分布的有限個(gè)獨(dú)立地隨機(jī)

5、變量之和不服從均勻分布,20,解 依題意,它們分別服從參數(shù)為1,2 的泊松分布,由卷積公式,i = 0, 1, 2,j =0, 1, 2,例 若X和Y相互獨(dú)立,證明 Z=X+Y 服從參數(shù)為1 + 2 的泊松分布,即 Z 服從參數(shù)為 1 + 2 的泊松分布,r = 0, 1,離散型中也有類似公式,或,21,記 住 結(jié) 論,兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布,如果X與Y相互獨(dú)立,22,23,同理可得,故有,24,當(dāng) X, Y 獨(dú)立時(shí),由此可得分布密度為,25,例7,26,得所求密度函數(shù),得,3. Z=maxX,Y或Z=minX,Y的分布,1) Z=maxX,Y的分布函數(shù),FZ(z)=PZz,若X與Y相互獨(dú)

6、立,則FZ(z)=PXzPYz,FX(z)FY(z,PXz,Yz,2) Z=minX,Y的分布函數(shù),FZ(z)=PZz,1PZz,1PXz,Yz,若X與Y相互獨(dú)立,則 FZ(z)=1PXzPYz,11PXz1PYz,11FX(z)1FY(z,29,由于當(dāng) L1, L 2中有一個(gè)損壞 時(shí),系統(tǒng) L 就停止工作,已知它們的概率 密度分別為,例8 設(shè)系統(tǒng) L 由兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng) L1, L 2 聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為: (1)串聯(lián)， (2)并聯(lián), (3)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1 損時(shí),系統(tǒng)L2 開(kāi)始工作,設(shè)L1, L 2的壽命分別為X, Y,試分別就以上三種聯(lián)接方式寫(xiě)出 L 的壽命 Z 的概率密度,Z

7、= min(X,Y) 的分布函數(shù)為,故 L 的壽命為 Z=min(X,Y,Fmin (z) = 1-1-FX (z)1-FY (z,30,由于當(dāng)系統(tǒng) L1 損時(shí),系統(tǒng) L2 才 開(kāi)始工作,由于當(dāng)且僅當(dāng)L1, L 2都損壞時(shí), 系統(tǒng) L 才停止工作,2)并聯(lián)的情況,故 L 的壽命為 Z=max(X,Y,Z=max(X,Y)的分布函數(shù)為,故 L 的壽命為 Z=X+Y,當(dāng) z 0 時(shí),當(dāng) z 0 時(shí),Z 的概率密度函數(shù),31,推廣,例9 對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5次, 得到的觀察值為X1, X2, X3, X4, X5,設(shè)它們 是相互獨(dú)立的裝置,且都服從同一分布,試求: Z=maxX1, X2,

8、X3, X4, X54的概率,PZ4=1PZ4,1FZ(4,由已知 ,有FZ(z)=F(z)5,則PZ4=1F(4)5,1(1e2)5,解,34,常稱 M = max(X1, , Xn)，N = min(X1, , Xn) 為極值,由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值,當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立,且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),以上采用分布函數(shù)法討論了和、商以及極值的分布問(wèn)題,其他形式的函數(shù)的分布問(wèn)題仍可采用分布函數(shù)法來(lái)解決,35,例10 若X 和 Y 獨(dú)立, 且概率密度分別為,解,X 和Y 獨(dú)立,FZ(z)= P(Z z,當(dāng) z 0 時(shí),當(dāng) z 0 時(shí),0,36,1設(shè)某種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度是,如果各周的需求量是相互獨(dú)立的，試求：兩周的需求量的概率密度,解,分別用X,Y表示該