1996年哈爾濱工業(yè)大學(xué)量子力學(xué)試題

1、 1996年量子力學(xué)考研試題 一. （見習(xí)題選講6.1）設(shè)氫原子處于 的狀態(tài)上，求其能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量分量的可能取值與相應(yīng)的取值幾率，進(jìn)而求出它們的平均值。解：選為描述體系的力學(xué)量完全集，氫原子的本征解為 其中，量子數(shù)的取值范圍是 利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為 主量子數(shù)的可能取值只有兩個(gè)，即，于是 角動(dòng)量量子數(shù)的可能取值只有一個(gè)，即，故有 角動(dòng)量磁量子數(shù)的可能取值有兩個(gè)，即，于是 二. （見習(xí)題選講7.4）已知算符滿足 證明，并在表象中求出的矩陣表示。解：由題中所給條件可知 設(shè)算符滿足的本征方程為 則有 由上式可知 顯然，有 在自身表象中， 設(shè)算符在表象中的矩陣形式為 利用 得到 再利

2、用 又得到 只有 否則，算符。最后，根據(jù)條件 即 可定出 在表象中的矩陣表示為 其中，為任意實(shí)常數(shù)。 三. （見2001年第二題）作一維運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)哈密頓算符為時(shí)，能級是，如果哈密頓算符變成（為實(shí)參數(shù)），求變化后的能級。解：視為參變量，則有 利用費(fèi)曼-海爾曼定理可知 又知 在任何束縛態(tài)下，均有 所以， 進(jìn)而得到能量本征值滿足的微分方程 對上式作積分，得到 利用時(shí)，定出積分常數(shù) 最后，得到的本征值為 四. 兩個(gè)自旋為的非全同粒子，自旋間的相互作用是，其中，是常數(shù)，與分別是粒子1和粒子2的自旋算符。設(shè)時(shí)，粒子1的自旋沿軸的正方向，粒子2的自旋沿軸的負(fù)方向，求時(shí)測量粒子2的自旋處于軸負(fù)方向的幾率。

3、解： 體系的哈密頓算符為 選擇耦合表象，由于，故四個(gè)基底為 ；在此基底之下，哈密頓算符是對角矩陣，即 可以直接寫出它的解為 ， ， ， ， 已知時(shí)，體系處于 因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為 粒子2處于軸負(fù)方向的幾率為 五 （類似習(xí)題選講9.4）三維各向同性諧振子的能量算符為 試寫出能量本征值與本征函數(shù)。如這諧振子又受到微擾的作用，求基態(tài)能量到二級微擾修正，并與精確解比較。 解：已知的本征解為 因?yàn)榛鶓B(tài)無簡并，故可以直接使用無簡并微擾論公式 利用公式 可知 于是有 能量的二級修正為 近似解為 利用坐標(biāo)變換求體系的精確解。由于微擾項(xiàng)與方向無關(guān)，故可以只考慮另外兩個(gè)方向的坐標(biāo)變換。令 即 可以證明 因此，哈密頓算符可以改寫為 若令 ； 則哈密頓算符為 最后