專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料二

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當(dāng)x1x2時,若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加

2、( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點對稱 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn , (n為實數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a0、a1)4.對數(shù)函數(shù)： y=log

3、a x ,(a0、a1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)。二、 例題分析例1. 求下列函數(shù)的定義域： 解:對于有: 0 解得: 1對于有0 2 的定義域: 解: 由得： ，解得: 由 得： 0,2 的

4、定義域: 例2.設(shè)f(x)的定義域為（-1，1）則f(x+1) 的定義域為 A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.0,2 解：-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定義域為: x(-2,0),應(yīng)選A.例3.下列f(x)與g(x)是相同函數(shù)的為A. , B. ， C. ，D. ， 解：A. ，B. ， 應(yīng)選BC. ，D. ，例4.求，的反函數(shù)及其定義域。解：，在(-3,+)內(nèi)，函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)： 例5.設(shè)則其反函數(shù) 。解： 在.內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的 又 取 即： （應(yīng)填）例6.設(shè)函數(shù)和是定義在同一區(qū)間上的兩個偶函數(shù)，則為 函數(shù)。解：設(shè) = 是偶函數(shù)（應(yīng)填“偶”）例7

5、. 判斷的奇偶性。解: 為奇函數(shù) 例8.設(shè) ，則的周期為 。解法一: 設(shè)的周期為T, = 而 ， 解法二： (應(yīng)填)例9. 指出函數(shù)那是由些簡 單函數(shù)復(fù)合而成的？解：令 ， 則 ， 則 ， 則 是由：，復(fù)合而成的。例10. 已知,則等于 A. , B. , C. , D. 解: 或 （應(yīng)選A）例11. 已知求的表達(dá)式。解:解得 1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限： 當(dāng)時，的極限： 當(dāng)時，的極限： 左極限： 右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：無窮大量和無窮小量1 無窮大量： 稱在該變化過

6、程中為無窮大量。 X再某個變化過程是指： 2 無窮小量： 稱在該變化過程中為無窮小量。3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系： 定理：4 無窮小量的比較： 若,則稱是比較高階的無窮小量； 若 （c為常數(shù)），則稱與同階的無窮小量； 若，則稱與是等價的無窮小量，記作：； 若,則稱是比較低階的無窮小量。定理：若： 則：兩面夾定理1 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)： （n=1、2、3） 且： 則： 2 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)：對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點 （點x0除外）有： 且： 則：極限的運算規(guī)則 若： 則： 推論： 兩個重要極限 1 或 2 二、 例題分析例1 求數(shù)列的極限。解： 例2計算 解： 誤解

7、：=0例3 下列極限存在的是 A. B. C. D. 解：A. B. 不存在C. 應(yīng)選CD. 不存在例4.當(dāng)時，與是等價無窮小量， 則 。解： (應(yīng)填2)例5.計算 (n=1,2,3,)解: (n=2,3,) 又: 由兩面夾定理可得: 例6.計算下列極限 解: 解: 解法一: 共軛法 解法二： 變量替換法 設(shè)： 當(dāng)時， 解法一：共軛法 解法二：變量替換法 設(shè)： 當(dāng)時， 解法一： 解法二： 解：設(shè)： 當(dāng)時， 結(jié)論： 解法一： 又 解法二：解法三：應(yīng)用羅必塔法則 解法一： 解法二： 設(shè)當(dāng)時，解法三： 例7.當(dāng)時，若與為等價無窮小量，則必有 。解： （應(yīng)填）結(jié)論：例8.若，則 。解： （應(yīng)填）例9.

8、已知，求的值。解： 由 當(dāng)時，原式成立。例10.證明：當(dāng)時，與是等價無窮小量。證：只要證明 成立，即可。 設(shè)： 當(dāng)時，結(jié)論：1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)：2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 3. 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理：4. 函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點都連續(xù)。 在端點和連續(xù)是指： 左端點右連續(xù)； 右端點左連續(xù)。 a+ 0 b- x5. 函數(shù)的間斷點：若在處不連續(xù)，則為的間斷點。間斷點有三種情況： 1o在處無定義； 2o不存在； 3o在處有定義，且存在， 但。 兩類間斷點的判斷： 1o

9、第一類間斷點：特點：和都存在。可去間斷點：存在，但，或在處無定義。 2o第二類間斷點：特點：和至少有一個為， 或振蕩不存在。無窮間斷點：和至少有一個為函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算： 設(shè)， 1o 2o 3o 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 則：3. 反函數(shù)的連續(xù)性： 函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點 ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2

10、 b x 推論： 在上連續(xù)，且與異號 在內(nèi)至少存在一點，使得：。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。三、 例題分析例1. 分段函數(shù)，在處是否連續(xù)？解： 由函數(shù)連續(xù)的充要條件定理可知:在 處連續(xù)。例2設(shè)函數(shù)，試確定常數(shù)k的值，使在定義域內(nèi)連續(xù)。解：的定義域為： 當(dāng)時， 是初等函數(shù)，在有定義不論k為何值，在內(nèi)都是連續(xù)的。 當(dāng)時， 是初等函數(shù)，在有定義不論k為何值， 在內(nèi)都是連續(xù)的。 當(dāng)時， （無窮小量乘以有界函數(shù)還等于無窮小量）只有當(dāng)時，在處連續(xù)，只有當(dāng)時，在定義域內(nèi)連續(xù)。例3證明方程至少有一個根在1與2之間。證：設(shè)， 在 上連續(xù) 滿足介值定理推論的條件。由定理可得：在內(nèi)至

11、少存在一點，使得； 即：在1與2之間至少有一個根。例4 討論函數(shù)的間斷點。解：的定義域為： 在處無定義； 是函數(shù)的間斷點。若補充定義：，則函數(shù)在連續(xù)； 函數(shù)的可去間斷點。例5.討論函數(shù)的間斷點。解： 的定義域為： 當(dāng)時，函數(shù)無定義， 是函數(shù)的間斷點； 若補充定義：，則函數(shù)在處連續(xù)； 是可去間斷點。 是無窮間斷點。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念 1導(dǎo)數(shù)：在的某個鄰域內(nèi)有定義， 2左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在； 則： （或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件： 定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件： 定理：存在， 且存在。

12、 5.導(dǎo)函數(shù)： 在內(nèi)處處可導(dǎo)。 y 6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)： 是曲線上點 處切線的斜率。 o x0 x求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式： 2.導(dǎo)數(shù)的四則運算： 1o 2o 3o 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，或 注意與的區(qū)別： 表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo)； 表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念 1.微分：在的某個鄰域內(nèi)有定義， 其中：與無關(guān)，是比較高 階的無窮小量，即： 則稱在處可微，記作： 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價關(guān)系： 定理：在處可微在處可導(dǎo)，且： 3.微分形式不變性： 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。二、 例題分析例1.設(shè)存在，

13、且， 則等于 A.1, B.0, C.2, D. . 解： （應(yīng)選D）例2設(shè)其中在處連續(xù)；求。解： 誤解： 結(jié)果雖然相同，但步驟是錯的。因為已知條件并沒說可導(dǎo)，所以不一定存在。例3設(shè)在處可導(dǎo)，且，求： 解：設(shè) 當(dāng)時， 例4設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，且， 則等于： A. , B. , C. , D. . 解： (應(yīng)選A)（結(jié)論：可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。）例5設(shè)在處是否可導(dǎo)？解法一：在處連續(xù) 在處可導(dǎo)。解法二：在處連續(xù)當(dāng)時， 在處可導(dǎo)。例6設(shè) 求a,b的值，使處處可導(dǎo)。解：的定義域： 當(dāng)時， 是初等函數(shù)，在內(nèi)有定義， 不論a和b為何值，在內(nèi)連續(xù)； 當(dāng)時， 是初等函數(shù)，在內(nèi)有定義

14、， 不論a和b為何值，在內(nèi)連續(xù)； 只有當(dāng)時，在處連續(xù)； 當(dāng)時，處處連續(xù)； 當(dāng)時， 只有當(dāng)時，在處可導(dǎo)； 當(dāng)，處處可導(dǎo)。例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：解： 解： （ 為常數(shù)）解法一： 解法二: 解法一：解法二:設(shè) 解法一： 解法二:設(shè) 解：（對數(shù)法） 解法一：（對數(shù)法）解法二：（指數(shù)法） 解法一：（對數(shù)法）設(shè) 解法二：（指數(shù)法） 解法一：解法二：設(shè) 例8已知，求。解：設(shè) 例9求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 解： 解法一： 解法二： 例10設(shè)，求：。解： 結(jié)論：對于，若，則例11設(shè)，求。解： 例12求下列函數(shù)的微分 解法一： 解法二： 解法一： 解法一： 2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅

15、爾定理: 滿足條件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：滿足條件: 羅必塔法則：（ 型未定式）定理：和滿足條件：1o；2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；3o 則：注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。 即不是型或型時，不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時，要分別對分子、分母 求導(dǎo)，而不是對整個分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即： 5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變 形，化成或型；若是型可 采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)：切線方程：法線方程：2 曲線的單調(diào)性： 3.函數(shù)

16、的極值：極值的定義：設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點；若對于的某個鄰域內(nèi)的任意點，都有：則稱是的一個極大值（或極小值），稱為的極大值點（或極小值點）。 極值存在的必要條件：定理：稱為的駐點 極值存在的充分條件： 定理一：當(dāng)漸增通過時，由（+）變（-）；則為極大值； 當(dāng)漸增通過時，由（-）變（+）；則為極小值。定理二： 若，則為極大值； 若，則為極小值。注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。 4曲線的凹向及拐點：若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；若；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（）； 5。曲線的漸近線： 水平漸近線： 鉛直漸近線：二、例題分析例1 函數(shù)在-1，0上是否滿足羅爾定理的條件？若滿足

17、，求出的值。解：是初等函數(shù)，在-1，0上有定義； 在-1，0上連續(xù)。在（-1，0）內(nèi)有定義；在（-1，0）內(nèi)可導(dǎo)。 又 滿足羅爾定理的條件。由定理可得： 解得： 不在（-1，0）內(nèi)，舍去； 例2。證明：當(dāng)時，不等式成立。證法一：（采用中值定理證明）設(shè)：是初等函數(shù) ，在0,x上有定義，在0,x上連續(xù)。 在（0,x）內(nèi)有定義在（0,x）內(nèi)可導(dǎo)。滿足拉格朗日定理的條件，由定理可得： ； 證畢。證法二：（采用函數(shù)的單調(diào)性證明）設(shè)： 即：；證畢。例3證明：證：設(shè)： ；證畢。例4證明：當(dāng)時，。解：設(shè)：， ； 證畢。例5求下列極限： 解： 解： 解：令：當(dāng)時，； 解法一：解法二： 解： 解： 解法一： （對

18、數(shù)法）設(shè)： 解法二：（指數(shù)法） 解法一：設(shè)： 解法二：解法三：設(shè)： 解： 例6解：設(shè)： 例7解： 例8設(shè)：，求a、b的值。解： （） 代入（）式，得: 當(dāng)時，原式成立。例9求曲線在點（1，2）處的切線方程和法線方程。解： 切線方程： 即： 法線方程： 即： 例10曲線的切線在何處與直線平行？解： 的切線與平行 所要求的點為：例11求曲線上任意點處的切線與坐標(biāo)軸組成的三角形的面積。解：求切線方程： 切線方程為： （1） 求A、B的坐標(biāo)： A: 代入（1）式，得： B: 代入（1）式，得： 求三角形的面積： 例12求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間 和極值。解：的定義域： 令，解得： 當(dāng)時，無定義，是間斷點 列

19、表如下： (-,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+) + 0 - - 0 + 極大值 極小值 當(dāng)時， 為極大值； 當(dāng)時，為極大值。 單調(diào)減少區(qū)間為:(-1,0),(0,1) 單調(diào)增加區(qū)間為:(-,-1),(1,+)例13作函數(shù)的圖形解：的定義域：令：，解得：無一階導(dǎo)數(shù)不存在的點。令：，解得： 是水平漸近線列表如下：x ( -,1) 1 （1,2） 2 （ 2,+） + 0 - - - - 0 + 極大值 拐點 例14求下列曲線的漸近線 解：的定義域：是水平漸近線。 解：的定義域：是水平漸近線。是鉛直漸近線。例15設(shè)，求在上的最大值和最小值。解： 令：，解得： 舍去。 為極小值

20、；為最大值，為最小值.結(jié)論：若連續(xù)函數(shù)在內(nèi)只有一個極小（或大）值，而無極大（或?。┲?， 則此極?。ɑ虼螅┲稻褪窃趦?nèi)的最小（或大）值。例16欲圍一個面積為150m2的矩形場地。正面所用材料造價為6元/m，其余三面所用材料的造價為3元/m，求場地的長、寬各為多少米時，所用材料費最少？解：設(shè)：場地的正面長為x米，則：場地的側(cè)面長為米所用材料費為y元 令：，解得：（舍負(fù)） 為極小值點 函數(shù)y在（0,+）內(nèi)連續(xù)，并只有一個極小值，而無極大值， 函數(shù)y在處取得最小值。 當(dāng)場地的正面長為10米，側(cè)面長為15米時，所用材料費最少。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：

21、設(shè)： 若： 則稱是的一個原函數(shù)， 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分： 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體， 稱為函數(shù)的不定積分；記作： 其中：稱為被積函數(shù)； 稱為被積表達(dá)式； 稱為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì)： 或： 或： 分項積分法 (k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式：換元積分法： 第一換元法：（又稱“湊微元”法） 常用的湊微元函數(shù)有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法： 第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)， 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換： 1o (當(dāng)被積函數(shù)中有時) 2o (當(dāng)被積函數(shù)中有時) 3o (當(dāng)被積函數(shù)中有時) 4o (當(dāng)被積函數(shù)中有

22、時)分部積分法： 1. 分部積分公式： 2.分部積分法主要針對的類型： 其中： （多項式） 3.選u規(guī)律： 在三角函數(shù)乘多項式中，令， 其余記作dv;簡稱“三多選多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項式中，令， 其余記作dv;簡稱“指多選多”。 在多項式乘對數(shù)函數(shù)中，令， 其余記作dv;簡稱“多對選對”。 在多項式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。 在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù) 為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。簡單有理函數(shù)積分： 1. 有理函數(shù)： 其中是多項式。 2. 簡單有理函數(shù)： 二、例題分析：例1 解： 上式兩邊同時對x求積分： A和B選項是錯的。 （應(yīng)

23、選C） 而 D選項是錯的。例2若，則等于 解：由原函數(shù)和不定積分的定義可得： （應(yīng)選B）例3.設(shè)是的一個原函數(shù)， 則等于 解法一：由已知條件得： （應(yīng)選B）解法二：由已知條件得： 例4.若，且；則 。解： 注意：稱為初始條件。由此可以確 定不定積分中的任意常數(shù)C。例5. 。解法一： 解法二： 解發(fā)三 例6已知：在點的切線斜率為 ，且過（1，1）點，則此曲線方程是A. , B. , C. , D. , 解：在點的切線斜率為過點（1，1）曲線方程為： （應(yīng)選D）例7用換元法計算下列不定積分1. 解: 2. 解: 3. 解： 4解： 5解： 6解：令 7. 解：令 8 解：令 t9 x 解：令 1

24、x 例8用分部積分法計算不定積分1 （三多選多）解：令 則 2 解： 3解： 4解法一：設(shè) 循環(huán)積分公式：若：則：解法二: 解法三： 5.解法一： 解法二： 例9.計算下列簡單有理函數(shù)的不定積分1. 解： 2. 解 ：3. 解： 3.2定積分 一 主要內(nèi)容（一） 1. 定積分的定義： 定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號， x 軸下方的面積取負(fù)號。 2. 定積分存在定理： 若：f(x)滿足下列條件之一:若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)： 3. 牛頓萊布尼茲公式：*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理： 5. 定積分的性質(zhì)： （二）定積分的計算：1. 換元積分 2. 分部積分 3. 廣義積分 4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 (三)定積分的應(yīng)1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) . 求出曲線的交點，畫出草圖； . 確定積分變量，由交點確定積分上下限；. 應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積