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1、【正弦定理公式】;【余弦定理公式】;如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)“方程”的話,那么解三角形的實(shí)質(zhì)就是把題目中所給的已知條件按方程的思想進(jìn)行處理,解題時(shí)根據(jù)已知量與所求量,合理選擇一個(gè)比較容易解的方程(公式、正弦定理、余弦定理),從而使同學(xué)們?nèi)胧秩菀祝忸}簡(jiǎn)潔。 一、直接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理(1)三角公式在中,已知兩角的三角函數(shù)值,求第三個(gè)角;存在。證明:有解有解即,要判斷是否有解,只需。(2)正弦定理在中,已知兩角和任意一邊,解三角形;在中,已知兩邊和其中一邊對(duì)角,解三角形;(3)余弦定理在中,已知三邊,解三角形;在中,已知兩邊和他們的夾角,解三角形。直接運(yùn)用正弦定理、余弦

2、定理的上述情況,是我們常見、常講、常練的,因此,在這里就不加贅述,同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看!二、間接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理(1)齊次式條件(邊或角的正弦)若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式,可以根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化;有些題中沒(méi)有明顯的齊次式,但經(jīng)過(guò)變形得到齊次式的依然適用。1.相同角齊次式條件的弦切互化【例】在中,若,求。【解析】無(wú)論是條件中的,還是都是關(guān)于一個(gè)角的齊次式。是關(guān)于的一次齊次式;是關(guān)于的二次齊次式。因此,我們將弦化切,再利用三角公式求解。由;由或;在中,且。代值可得:當(dāng),時(shí),;當(dāng),時(shí),(舍去)。2.不同角(正弦)齊次式條件

3、的邊角互化【例】在中,若,且,求的面積?!窘馕觥織l件是關(guān)于不同角正弦的二次齊次式。因此,我們利用正弦定理將角化為邊,然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。由;顯然這個(gè)形式符合余弦定理的公式,因此,可得。又因?yàn)?,所以?.不同邊齊次式條件的邊角互化【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。已知,求?!窘馕觥織l件是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此,我們利用正弦定理將邊化為角,然后由將不同角轉(zhuǎn)化為同角,利用化一公式求解。由,又,可得:,運(yùn)用化一公式得。4.邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合邊為齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求?!窘馕觥織l件是邊角混合關(guān)于不同邊的一次齊次式,由于所求為切的值,所以將邊化為角,然后將弦化

4、為切求解。由,又,則。邊角混合角(正弦)為齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求。【解析】條件是邊角混合角(正弦)為不同角的一次齊次式。因此,我們將角的正弦化為邊,然后根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。由,由于,我們可以得到:,顯然這個(gè)形式符合余弦定理公式,因此,可得。從而得出。邊角混合邊、角(正弦)都為齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求?!窘馕觥織l件是邊角混合邊、角(正弦)各為一次齊次式。因此,我們可以隨意邊角互化,但是一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。由,顯然這個(gè)形式符合余弦定理公式,因此,可得。從而得出。5.非三角形內(nèi)角正弦但可化為角(正弦)齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求證:的三邊成等比數(shù)列

5、?!窘馕觥織l件顯然不是齊次式,并且角也不全是三角形的內(nèi)角。因此,首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角,然后再往齊次式化利用正弦定理求解。由,只要將變換為,題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦的二次齊次式:。(2)不同邊的平方關(guān)系(余弦定理)若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系,可以選用余弦定理邊角互化,在上面的一些情況中,有利用正弦定理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系,可以作為參考例題?!纠康膬?nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求。【解析】條件含有不同邊的平方關(guān)系,形式顯然符合余弦定理公式。由。(3)存在消不掉的正弦、余弦值(兩定理同時(shí)使用,邊角互化)若題目條件中的條件不是上述情況,且始終含有消不去的內(nèi)角正弦、余弦,可以同時(shí)使用正弦、余弦定理邊角互化,要么都化為角(正弦、余弦),要么都化為邊?!纠吭谥?,已知,且,求?!窘馕觥坑深}目中條件可得,接下來(lái)再利用余弦定理可得,又,所以或。因?yàn)?。解三角形運(yùn)用的原理簡(jiǎn)單,但是題目靈活多變,往往使

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