正弦定理公式

1、【正弦定理公式】；【余弦定理公式】；如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)“方程”的話，那么解三角形的實(shí)質(zhì)就是把題目中所給的已知條件按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)根據(jù)已知量與所求量，合理選擇一個(gè)比較容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），從而使同學(xué)們?nèi)胧秩菀祝忸}簡(jiǎn)潔。 一、直接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理（1）三角公式在中，已知兩角的三角函數(shù)值，求第三個(gè)角；存在。證明：有解有解即，要判斷是否有解，只需。（2）正弦定理在中，已知兩角和任意一邊，解三角形；在中，已知兩邊和其中一邊對(duì)角，解三角形；（3）余弦定理在中，已知三邊，解三角形；在中，已知兩邊和他們的夾角，解三角形。直接運(yùn)用正弦定理、余弦

2、定理的上述情況，是我們常見、常講、常練的，因此，在這里就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看！二、間接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理（1）齊次式條件（邊或角的正弦）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化；有些題中沒(méi)有明顯的齊次式，但經(jīng)過(guò)變形得到齊次式的依然適用。1.相同角齊次式條件的弦切互化【例】在中，若，求。【解析】無(wú)論是條件中的，還是都是關(guān)于一個(gè)角的齊次式。是關(guān)于的一次齊次式；是關(guān)于的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。由；由或；在中，且。代值可得：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，（舍去）。2.不同角（正弦）齊次式條件

3、的邊角互化【例】在中，若，且，求的面積?！窘馕觥織l件是關(guān)于不同角正弦的二次齊次式。因此，我們利用正弦定理將角化為邊，然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。由；顯然這個(gè)形式符合余弦定理的公式，因此，可得。又因?yàn)?，所以?.不同邊齊次式條件的邊角互化【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。已知，求?！窘馕觥織l件是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角，然后由將不同角轉(zhuǎn)化為同角,利用化一公式求解。由，又，可得：，運(yùn)用化一公式得。4.邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合邊為齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求?！窘馕觥織l件是邊角混合關(guān)于不同邊的一次齊次式，由于所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化

4、為切求解。由，又，則。邊角混合角（正弦）為齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求。【解析】條件是邊角混合角（正弦）為不同角的一次齊次式。因此，我們將角的正弦化為邊，然后根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。由，由于，我們可以得到：，顯然這個(gè)形式符合余弦定理公式，因此，可得。從而得出。邊角混合邊、角（正弦）都為齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求?！窘馕觥織l件是邊角混合邊、角（正弦）各為一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。由，顯然這個(gè)形式符合余弦定理公式，因此，可得。從而得出。5.非三角形內(nèi)角正弦但可化為角（正弦）齊次式【例】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求證：的三邊成等比數(shù)列

5、?！窘馕觥織l件顯然不是齊次式，并且角也不全是三角形的內(nèi)角。因此，首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角，然后再往齊次式化利用正弦定理求解。由，只要將變換為，題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦的二次齊次式：。（2）不同邊的平方關(guān)系（余弦定理）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可以選用余弦定理邊角互化，在上面的一些情況中，有利用正弦定理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題?！纠康膬?nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求。【解析】條件含有不同邊的平方關(guān)系，形式顯然符合余弦定理公式。由。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（兩定理同時(shí)使用，邊角互化）若題目條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi)角正弦、余弦，可以同時(shí)使用正弦、余弦定理邊角互化，要么都化為角（正弦、余弦），要么都化為邊?！纠吭谥?，已知，且，求?！窘馕觥坑深}目中條件可得，接下來(lái)再利用余弦定理可得，又，所以或。因?yàn)?。解三角形運(yùn)用的原理簡(jiǎn)單，但是題目靈活多變，往往使