概率論 二重積分的計(jì)算(二)

1、3.2 二重積分的計(jì)算,二重積分的計(jì)算,一）在直角坐標(biāo)系中,累次積分,或,X-型,Y-型,復(fù)習(xí),因此,針對(duì)不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù),的特點(diǎn),選擇不同的坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算二重,積分是一個(gè)重要的問(wèn)題,3.2 二重積分的計(jì)算,解,二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,x,y,如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸為極軸,原點(diǎn)O,x軸,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,用以極點(diǎn)O為中心的一族同心圓,1.利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,設(shè)過(guò)極點(diǎn)O的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點(diǎn) 不多于兩點(diǎn),把區(qū)域D分成n個(gè)小區(qū)域,在極坐標(biāo)系下,以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線,在直角坐標(biāo)系下,在極坐標(biāo)系下,極坐標(biāo)系下的面積微元,則,得,故面

2、積微元為,這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式,如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分,化為二次積分或累次積分來(lái)計(jì)算,二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分,同樣要解決下面兩個(gè)問(wèn)題,2）確定積分的上、下限,1）選擇積分次序,化為二次積分或累次積分來(lái)計(jì)算,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,2.極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分,1)若極點(diǎn)O在區(qū)域 D 之外,則有,2) 極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界線上,則有,D,D,只研究先對(duì)r后對(duì)的積分次序,下面根據(jù)極點(diǎn)O與區(qū)域D的位置分三種情況討論,型區(qū)域,3

3、) 若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部,則有,D,特殊地,D,D,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,x,或被積函數(shù)為f (x2+y2),利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征,利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算,如果積分區(qū)域 D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等,等形式,要點(diǎn)與步驟,用直角坐標(biāo)系計(jì)算繁鎖或不能計(jì)算的可以用極坐標(biāo)計(jì)算,2) 畫(huà)區(qū)域圖, 列出型區(qū)域, 寫(xiě)成極坐標(biāo)下的二次積分,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,3.極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算的基本步驟,1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分,將 代入被積函數(shù),將區(qū)域D 的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限,將面積元素 dxdy 換為,2)將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為

4、二次積分,3)計(jì)算二次積分,則,例1 計(jì)算,其中,解,故,注：由于 的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無(wú)法用直角坐標(biāo)計(jì)算,在極坐標(biāo)系下,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,例2,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,解,例3 計(jì)算積分,積分域是圓環(huán),解,D,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,例3.14,例4,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,解,例5 計(jì)算二重積分 其中區(qū)域D為由x=0及 x2+y2=2y 圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域,解,D的邊界曲線為x2+y2=2y,此時(shí)D可以表示為,其極坐標(biāo)表達(dá)式,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,解,故,例6,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,解,因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù),例7 求廣義積分,所以，不能直接用一元函數(shù)的廣

5、義積分計(jì)算,泊松積分,例3.19,又因?yàn)楸环e函數(shù) 的原函數(shù)不是初等函數(shù),二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,D,令,利用極坐標(biāo)計(jì)算H,令,利用極坐標(biāo)計(jì)算H,所以,D,正態(tài)分布,當(dāng)積分區(qū)域由直線和除圓以外的其它曲線圍成時(shí),一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的,而被積函數(shù)中含有 項(xiàng)時(shí),選擇坐標(biāo)系,選擇積分次序,二重積分計(jì)算過(guò)程,通常選擇在直角坐標(biāo)系下計(jì)算,下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便,二重積分計(jì)算方法總結(jié),化為累次積分,計(jì)算累次積分,二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計(jì)算,采用極坐標(biāo)系,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,由區(qū)域的對(duì)稱性和 函數(shù)的奇偶性可得,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,解,例7,1,1,D,解,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算,例3.173.18不作要求,例8,二、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算,一、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算,小結(jié),選擇積分次序,選擇積分限,化為累次積分,作業(yè)：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3,下次課內(nèi)容 3.3 二重積分的應(yīng)用,二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算,一、二重積分在直角坐標(biāo)系下