人教版高中數(shù)學選修4-4課件：1.1平面直角坐標系 (1)

1、第一講坐標系 一平面直角坐標系,自主預習】 1.直角坐標系 (1)數(shù)軸. 定義:規(guī)定了原點、正方向和_的直線. 對應關系:數(shù)軸上的點與_之間一一對應,單位長度,實數(shù),2)直角坐標系. 定義:在同一個平面上相互垂直且有公共原點的兩條 數(shù)軸構成平面直角坐標系,簡稱直角坐標系. 相關概念: 數(shù)軸的正方向:水平放置的數(shù)軸_的方向、豎直放 置的數(shù)軸_的方向分別是數(shù)軸的正方向,向右,向上,x軸或橫軸:坐標軸_的數(shù)軸. y軸或縱軸:坐標軸_的數(shù)軸. 坐標原點:坐標軸的_. 對應關系:平面直角坐標系內(nèi)的點與_ _之間一一對應,水平,豎直,公共原點O,有序實數(shù)對,x,y,公式: 設平面直角坐標系中,點P1(x1

2、,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點為P,填表,2.平面直角坐標系中的伸縮變換 設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換 :_的作用下,點P(x,y)對應到點P(x, y),稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱 伸縮變換,即時小測】 1.函數(shù)y=ln|x|的圖象為(,解析】選D.函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,又y=lnx在(0,+)上為增函數(shù),故選D,2.曲線C經(jīng)過伸縮變換 后,對應曲線的方程 為:x2+y2=1,則曲線C的方程為(,解析】選A.曲線C經(jīng)過伸縮變換 后,對應 曲線的方程為x2+y2=1, 把代入得到: +9y2=1,知識探究】 探究點

3、平面直角坐標系中點的位置 1.平面直角坐標系中點的坐標的符號有什么特點? 提示:平面直角坐標系內(nèi)的點,第一象限符號全正,第二象限橫坐標為負,縱坐標為正,第三象限全負,第四象限橫坐標為正,縱坐標為負,即一三同號,二四異號,2.伸縮變換一定會改變點的坐標和位置嗎? 提示:不一定.伸縮變換對原點的位置沒有影響.但是會改變除原點外的點的坐標和位置,但是象限內(nèi)的點伸縮變換后仍在原來的象限,歸納總結】 1.平面直角坐標系的作用與建立 平面直角坐標系是確定點的位置、刻畫方程的曲線形狀和位置的平臺.建立平面直角坐標系,常常利用垂直直線為坐標軸,充分利用圖形的對稱性等特征,2.伸縮變換的類型與特點 伸縮變換包括

4、點的伸縮變換,以及曲線的伸縮變換,曲線經(jīng)過伸縮變換對應的曲線方程就會變化,通過伸縮變換可以領會曲線與方程之間的數(shù)形轉化與聯(lián)系. 特別提醒:實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,所以一個實數(shù)就能確定數(shù)軸上一個點的位置,類型一坐標法求軌跡方程 【典例】已知ABC的邊AB長為2a,若BC的中線為定長m,求頂點C的軌跡方程,解題探究】求軌跡方程的一般步驟是什么? 提示:建系-設點-列條件-得方程、整理,解析】由題意,以線段AB的中點為原點,AB邊所在的 直線為x軸建立直角坐標系,如圖所示, 則A(-a,0),B(a,0). 設C(x,y), 則線段BC的中點為 因為|AE|=m,所以,化簡得(x+3a)2+y

5、2=4m2. 由于點C在直線AB上時,不能構成三角形,故去掉曲線與x軸的兩個交點,從而所求的軌跡方程是(x+3a)2+y2 =4m2(y0).(建系不同,軌跡方程不同,方法技巧】 1.建立平面直角坐標系的技巧 (1)如果平面幾何圖形有對稱中心,可以選對稱中心為坐標原點. (2)如果平面幾何圖形有對稱軸,可以選擇對稱軸為坐標軸,特別提醒:建系時盡量使平面幾何圖形上的特殊點在坐標軸上,2.運用解析法解決實際問題的步驟 (1)建系建立平面直角坐標系.建系原則是利于運用已知條件,使表達式簡明,運算簡便.因此,要充分利用已知點和已知直線作為原點和坐標軸. (2)建模選取一組基本量,用字母表示出題目涉及的

6、點的坐標和曲線的方程,3)運算通過運算,得到所需要的結果. (4)回歸回歸到實際問題作答,變式訓練】1.已知點(5-m,3-2m)不在第四象限,求實數(shù)m的取值范圍,解析】若點(5-m,3-2m)在第四象限, 則5-m0,且3-2m0,解得 m5, 故點(5-m,3-2m)不在第四象限時, 實數(shù)m的取值范圍是m 或m5,2.四邊形ABCD為矩形,P為矩形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點,求證:PA2+PC2=PB2+PD2,證明】如圖所示, 以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在 直線為y軸,建立平面直角坐標系,設 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 則PA2=

7、x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2,所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2, PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2. 故PA2+PC2=PB2+PD2,類型二伸縮變換公式與應用 【典例】求曲線x2+y2=1經(jīng)過: 變換后得到的 新曲線的方程,解題探究】如何求變換后的新曲線的方程? 提示:將x,y表示出來,代入到原方程即可得到新曲線的方程,解析】曲線x2+y2=1經(jīng)過: 變換后, 即 代入到圓的方程,可得 即所求新曲線的方程為,延伸探究】 1.若曲線C經(jīng)過 變換后得到圓x2+y2=

8、1,求曲線 C的方程,解析】將 代入到方程x2+y2=1, 得 即曲線C的方程,2.若圓x2+y2=1經(jīng)過變換后得到曲線 求變換的坐標變換公式,解析】設: 代入到C中得 與圓的方程比較得=5,=4. 故的變換公式為,方法技巧】與伸縮變換相關問題的處理方法 (1)已知變換前的曲線方程及伸縮變換,求變換后的曲線方程的方法:利用伸縮變換用(x,y)表示出(x,y),代入變換前的曲線方程,2)已知變換后的曲線方程及伸縮變換,求變換前的曲線方程:利用伸縮變換用(x,y)表示(x,y),代入變換后的曲線方程. (3)已知變換前后的曲線方程求伸縮變換,將變換前后的方程變形,確定出(x,y)與(x,y)的關系

9、即為所求的伸縮變換,也可用待定系數(shù)法,補償訓練】1.(2016蚌埠高二檢測)在同一平面直 角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換 后,曲線C變?yōu)榍€ x2+y2=1,則曲線C的方程為(,解析】選B.設曲線C上任意一點的坐標為P(x,y),按 : 變換后的對應的坐標為P(x,y),代入 x2+y2=1,得16x2+9y2=1,2.將曲線y=sin(2016x)按: 變換后的曲線 與直線x=0,x=,y=0圍成圖形的面積為_,解析】設曲線y=sin(2016x)上任意一點的坐標為 P(x,y),按變換后的對應點的坐標為P(x,y), 由: 代入y=sin(2016x),得2y=sinx,所以y= sinx, 即y= sinx,所以y= sinx與直線x=0,x=,y=0圍成圖,形的面積為S= 答案:1,自我糾錯伸縮變換公式的應用 【典例】將曲線 按照: 變換為曲線 求曲線y=cos4x在變換后 的曲線的最小正周期與最大值,