矩陣與變換練習(xí)題

1、 矩陣與變換練習(xí)題1求矩陣A的逆矩陣解設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則 ，即.故解得從而A的逆矩陣為A1.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2y21在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程解設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x0，y0)則有 ，即又點(diǎn)P在橢圓上，故4xy1，從而xy1.曲線F的方程是x2y21.3已知矩陣M，N，且MN.(1)求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值；(2)求直線y3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程解(1)由題設(shè)得：解得(2)矩陣M對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn))，可取直線y3x上的兩點(diǎn)(0,0)，(1,3)，由

2、， ，得點(diǎn)(0,0)，(1,3)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是點(diǎn)(0,0)，(2,2)從而，直線y3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為yx.4若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(2,2)，求矩陣M的逆矩陣解由題意，知M，即，解得M.由M1M，解得M1.5已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值11的一個(gè)特征向量為a1，屬于特征值24的一個(gè)特征向量為a2，求矩陣A.解由特征值、特征向量定義可知，Aa11a1，即1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩陣A.6 已知矩陣M，求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量 解由矩陣M的特征多項(xiàng)式f()(3)210，解得12

3、，24，即為矩陣M的特征值設(shè)矩陣M的特征向量為，當(dāng)12時(shí)，由M2，可得可令x1，得y1，1是M的屬于12的特征向量當(dāng)24時(shí)，由M4，可得取x1，得y1，2是M的屬于24的特征向量7.求曲線C：xy1在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線C1的方程解設(shè)P(x0，y0)為曲線C：xy1上的任意一點(diǎn)，它在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(x，y)由 ，得解得因?yàn)镻(x0，y0)在曲線C：xy1上，所以x0y01.所以1，即x2y24.所以所求曲線C1的方程為x2y24.8已知矩陣A，B，求(AB)1.解AB .設(shè)(AB)1，則由(AB)(AB)1，得 ，即，所以解得故(AB)1.9.設(shè)矩陣M(其中a0，b

4、0)(1)若a2，b3，求矩陣M的逆矩陣M1；(2)若曲線C：x2y21在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C：y21，求a、b的值解(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M1，則MM1.又M. .2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩陣M1.(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P(x，y)，則 ，即又點(diǎn)P(x，y)在曲線C上，y21.則b2y21為曲線C的方程又已知曲線C的方程為x2y21，故又a0，b0，10. 已知矩陣M，其中aR，若點(diǎn)P(1，2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P(4,0)，求：(1)實(shí)數(shù)a的值；(2)矩陣M的

5、特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量解(1)由 ，所以22a4.所以a3.(2)由(1)知M，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f()(2)(1)6234.令f()0，得矩陣M的特征值為1與4.當(dāng)1時(shí)，xy0.所以矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為.當(dāng)4時(shí)，2x3y0.所以矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為.11已知二階矩陣M有特征值8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系；(3)求直線l：xy10在矩陣M的作用下的直線l的方程解(1)設(shè)M，則 8，故因 ，故聯(lián)立以上兩方程組解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f()(6)(4)821016，故其另一個(gè)特征值為2.設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2，則Me22，解得2xy0.(3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則，即xxy，yxy，代入直線l的方程后并化簡得xy20，即xy20.12已知矩陣A，A的一個(gè)特征值2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是1.(1)求矩陣A；(2)若向量，計(jì)算A5的值解(1