自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型教學目的：（1） 建立動態(tài)模擬的概念，能編寫系統(tǒng)的微分方程。（2） 掌握傳遞函數(shù)的概念及求法。（3） 通過本課學習掌握電路或系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并能應(yīng)用各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。（4） 通過本課學習掌握電路或自動控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進行變換。（5） 掌握信號流圖的概念，會用梅遜公式求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。（6） 通過本次課學習，使學生加深對以前所學的知識的理解，培養(yǎng)學生分析問題的能力教學要求：（1） 正確理解數(shù)學模型的特點；（2） 了解動態(tài)微分方程建立的一般步驟和方法；（3） 牢固掌握傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)，掌握典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)；（4

2、） 掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立、等效變換及其系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取，并對重要的傳遞函數(shù)如：控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)，能夠熟練的掌握；（5） 掌握運用梅遜公式求閉環(huán)傳遞函數(shù)的方法；（6） 掌握結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的定義和組成方法，熟練掌握等效變換代數(shù)法則，簡化圖形結(jié)構(gòu)，掌握從其它不同形式的數(shù)學模型求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。教學重點：有源網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)微分方程的編寫；有源網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)求傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)的概念及求法；由各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖；由各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)對系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進行變換；梅遜增益公式的應(yīng)用。教學難點：舉典型例題說明微分方程建立的方法

3、；求高階系統(tǒng)響應(yīng)；求復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖；對復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進行變換； 求第K條前向通道特記式的余子式。教學方法：講授本章學時：10學時主要內(nèi)容：2.0 引言2.1 動態(tài)微分方程的建立2.2 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5 信號流圖及梅遜公式2.0引言：什么是數(shù)學模型？為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型？1. 系統(tǒng)的數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。） 動態(tài)模型：描述系統(tǒng)處于暫態(tài)過程中個變量之間關(guān)系的表達式，他一般是時間函數(shù)。如：微分方程，傳遞函數(shù)，狀態(tài)方程等。） 靜態(tài)模型：描述過程處于穩(wěn)態(tài)時各變量之間的關(guān)系。一般不是時間函數(shù)2.

4、 建立動態(tài)模型的方法） 機理分析法：用定律定理建立動態(tài)模型。） 實驗法：運用實驗數(shù)據(jù)提供的信息，采用辨識方法建模。3. 建立動態(tài)模型的意義：找出系統(tǒng)輸入輸出變量之間的相互關(guān)系，以便分析設(shè)計系統(tǒng)，使系統(tǒng)控制效果最優(yōu)。2.1動態(tài)微分方程的建立無論什么系統(tǒng)，輸入輸出量在暫態(tài)過程中都遵循一定的規(guī)律，來反映該系統(tǒng)的特征。為了使系統(tǒng)滿足暫態(tài)性要求，必須對系統(tǒng)暫態(tài)過程進行分析，掌握其內(nèi)在規(guī)律，數(shù)學模型可以描述這一規(guī)律。一、編寫系統(tǒng)或元件微分方程的步驟：1. 根據(jù)實際情況，確定系統(tǒng)的輸入輸出變量。2. 從系統(tǒng)輸入端開始，按信號傳遞順序，以此寫出組成系統(tǒng)的各個元件的微分 方程（或運動方程）。3. 消去中間變量，

5、寫出輸入輸出變量的微分方程。二、舉例例1 RLC電路 根據(jù)電路基本原理有:例2 質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)由牛頓定律：3） 電動機：電路方程：(1)動力學方程： (2)(4) (2) 得：(3)(5)(1) 得：整理并定義兩個時間常數(shù) 機電時間常數(shù) 電磁時間常數(shù)電機方程如果忽略阻力矩 即，方程右邊只有電樞回路的控制量，則電機方程是一典型二階方程如果忽略（）電機方程就是一階的小結(jié)：本節(jié)通過講授介紹了自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，介紹了系統(tǒng)的動態(tài)以及靜態(tài)數(shù)學模型，描述了系統(tǒng)的動態(tài)微分方程，并通過幾個典型實例給出了求自動控制系統(tǒng)動態(tài)微分方程的步驟。2.2線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求解微分方程,可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng),但如果方

6、程階次較高,則計算很繁,因此對系統(tǒng)的設(shè)計分析不便,所以應(yīng)用傳遞函數(shù)將實數(shù)中的微分運算變成復(fù)數(shù)中的代數(shù)運算,可是問題分析大大簡化.1. 傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)：線性系統(tǒng),在零初始條件下,輸出信號的拉氏變換與輸入拉氏變換之比，叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。線性定常控制系統(tǒng)微分方程的一般表達式：設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，和是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令c(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

7、：式中2. 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明：1） 傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。2） G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。3） 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入量無關(guān)。4） 傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)非零初始條件下的運動規(guī)律。5） 傳遞函數(shù)分子多項式階次（m）小于等于分母多項式的階次（n）。6） 傳遞函數(shù)與微分方程之間的關(guān)系。如果將置換 7） 脈沖響應(yīng)（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。 因為 傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)3.傳遞函數(shù)的求法：圖 2-6輸入量Xr=u

8、，輸出量Xc=i。列回路電壓方程：u=Ri+L （227）即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）經(jīng)整理得：= （229）其中 Tl=,為電路的時間常數(shù)。思考題：，什么是零初始條件？如何從該框圖求得與之間的關(guān)系？2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 任何系統(tǒng)都是由各環(huán)節(jié)構(gòu)成，知道了各典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)就不難求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而對系統(tǒng)進行分析。這些典型環(huán)節(jié)包括：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和時滯環(huán)節(jié)。下面分別加以介紹：1 比例環(huán)節(jié) 式中 K增益 特點： 輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。 實例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。2 慣性環(huán)節(jié) 式中

9、T時間常數(shù) 特點： 含一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。 實例：圖2-4所示的RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3 微分環(huán)節(jié)理想微分 一階微分 二階微分 特點： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。 實例： 測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。4積分環(huán)節(jié) 特點： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。 實例： 電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。5 振蕩環(huán)節(jié) 式中 阻尼比 無阻尼自然振蕩頻率 特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路的

10、輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6 純時間延時環(huán)節(jié) 式中 延遲時間特點： 輸出量能準確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。小結(jié)：通過本節(jié)的講授使學生掌握了傳遞函數(shù)的基本概念及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。并了解了典型二階環(huán)節(jié)各參數(shù)的物理意義。24 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一、結(jié)構(gòu)圖的定義及其組成1. 結(jié)構(gòu)圖：是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，它表示了系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系。2. 結(jié)構(gòu)圖的組成： （1） 信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。（2） 分支點（引出點）：表示信號引出或測量的位置。注意：同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣。

11、（3） 比較點：對兩個以上信號加減運算。（4） 方框：方框圖內(nèi)輸入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：（1）建立控制系統(tǒng)各元件的微分方程（傳遞函數(shù)）要標明輸入輸出量。（2）對元件的微分方程進行拉氏變換，并作出各元件的結(jié)構(gòu)圖。（3）按系統(tǒng)各變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。二、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法例如圖2-9是閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng) UdSTKSUrnidiC0R0R1irIcifC1UkCrUf-圖2-9（一） 求各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和方框圖1. 比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)和方框圖， , 式中 為濾波常數(shù) 為時間常數(shù)為比例系數(shù) 為速度調(diào)節(jié)器函數(shù)為速度反饋濾波傳遞函數(shù) 方框圖如W1(S)

12、W2(S)Ur(S)UK(S)-Uf(S)圖2-102. 速度反饋傳遞函數(shù) 為速度反饋系數(shù)KSPn(S)Uf(S)圖2-113. 電動機及功率放大器裝置的傳遞函數(shù) 函數(shù)： 為功放電壓放大系數(shù)KSUd(S)UK(S)圖2-12電動機電框回路的微分方程：零初始條件下拉氏變換：電框回路傳遞函數(shù)W4(S)CeUr(S)Id(S)-n (S)圖2-13電動機帶負載時運動方程：拉氏變換： （2-47）（二） 系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖KCKSUr(S)E(S)Ur(S)n(S)-IZ(S)Id(S)-Ud(S)KsfCeUf(S)-圖2-14三、框圖的等效變換1框圖幾種常見的連接方式 (1)環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)W1

13、(S)Xr(S)X1(S)W2(S)X2(S)W3(S)XC(S)圖2-15證明： 消去中間變量得幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)的傳遞函數(shù) （2-50） 若有幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，則等效函數(shù)： （2-51）(2)環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)W1(S)Xr(S)W2(S)W3(S)XC(S)W1(S)+ W2(S) + W3(S)Xr(S)XC(S)圖2-16證明： （2-52） （2-53）若有幾個環(huán)節(jié)并聯(lián)： （2-54）(3)反饋連接的等效傳遞函數(shù) W1(S)W2(S)Xf(S)E(S)Xr(S)XC(S)-圖2-17特點：將輸出量返回系統(tǒng)輸入形式閉環(huán)。有兩個通道（正向通道 反饋通道）。傳遞函數(shù)的推導(dǎo)： （2-55）2框圖的等

14、效變換(1)相加點從單元輸入端移到輸出端W1(S)X2(S)X1(S)X3(S)W1(S)W1(S)X2(S)X1(S)X3(S)+圖2-18變換前：變換后： (2)相加點從單元輸出端移到輸入端W1(S)X1(S)X3(S)W1(S)X2(S)X1(S)Xf(S)+圖2-19變換前：變換后：(3)分支點從單元輸入端移到輸出端W1(S)X1(S)X2(S)X1(S)W1(S)X2(S)X1(S)圖2-30(4)分支點從單元輸出端移到輸入端W1(S)X2(S)X2(S)W1(S)X1(S)W1(S)X1(S)X2(S)X2(S)圖2-31(5)分支點及相加點可以互換 W1(S)X1(S)X2(S)

15、X2(S)W1(S)W1(S)X2(S)X1(S)W2(S)圖2-32X3(S)X1(S)X4(S)+X2(S)+X1(S)X4(S)+X2(S)+X3(S)圖2-33圖2-34 反饋控制系統(tǒng)方框圖四、幾個基本概念及術(shù)語R(s)給定輸入C(s)輸出B(s)主反饋量E(s)誤差(1) 前向通路傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。在圖中等價于C(s)與誤差之比E(s)。打開反饋后，輸出量拉氏與輸入量拉氏之比。(2) 反饋回路傳遞函數(shù) （Feedforward Transfer Function）假設(shè)N(s)=0主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。(3) 開環(huán)傳遞

16、函數(shù) （Open-loop Transfer Function ）假設(shè)N(s)=0主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(4)只有給定輸入作用（N（S）=0） 系統(tǒng)輸出： (5)只有擾動作用 系統(tǒng)總輸出： 小結(jié)：通過本課學習使學生掌握電路或系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并能應(yīng)用各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖；掌握等效的概念及等效變換的基本原則，能夠求出復(fù)雜結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)。25 信號流圖及梅遜公式一、信號流圖由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，但是系統(tǒng)很復(fù)雜時，結(jié)構(gòu)圖簡化很繁，采用信號流圖，不必對信號流圖簡化，應(yīng)用統(tǒng)一公式，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1繪制方法：(1)由代數(shù)方程繪制： 例： 描

17、述系統(tǒng)的方程組為： X2=aX1+bX2+gX5X3=cX2X4=dX1+lX3+fX4X5=X1+hX4信號流圖是由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點表示系統(tǒng)的變量或是信號用“O”表示，支路用有向線段表示。該系統(tǒng)的信號流圖： cabdhegX4X5fX3X2X1圖2-35(2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制f-XCX2X1XrX3X4dcba-lg圖2-36-gcdba-f-lX4XcX2X1XrX3圖2-372.信號流圖使用術(shù)語源點 ；匯點 ；混合節(jié)點 ；閉通路（回環(huán)）；回路增益 ；前向通路；自回路 ；不接觸回路。講法：結(jié)合信號流圖講述。3.梅遜增益公式求傳遞函數(shù)利用梅遜增益公式，不用對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變換，

18、一點寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 （2-65）X-系統(tǒng)輸出量；X-系統(tǒng)的輸出量；T-系統(tǒng)總傳輸；T-第K條前向通路的傳輸；n從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)；-信號流圖的特征式。 (2-66)信號流圖中所有不同回環(huán)傳輸之和。信號流圖中每兩個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。-信號流圖中每三個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。信號流圖中每m個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。第K條前向通路特征式的余子式，是在中除去與第K條前向通路相接觸的各回環(huán)傳輸（即將其置零）。 例1：如圖求系統(tǒng)總的傳輸。lX2X311-gcdbafX4XcX1XrX5圖238根據(jù)梅遜增益公式：T=此系統(tǒng)有兩條前向通路n=2,其傳輸=abcd,T=fd

19、;三個回環(huán)：L=be,L=-abcdg,L=-fdg三個回環(huán)只有L和L互不接觸 系統(tǒng)的特征方程式 ： =1-（L=1-be+(abc+f-bef)dg為除去（在中）得T特征余子式在中除去與T接觸回環(huán)L得特征余子式系統(tǒng)的傳輸為：T= =例2：如圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)XrXr-X1X2+X2-X2XCX5+-W2W3W4H2W5H1W1圖239信號流圖X1X3W51H2XcX1XrX5-H1-1-1W2W4W3W1X2X4圖2-40系統(tǒng)前向通路：T1=W1W3W5，T2=W2W4W5系統(tǒng)回環(huán)及傳輸： =-W1W3W5H1 =-W2W4W5=-W3H2 =-W4H2=-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)各回環(huán)相互接觸 =0各回環(huán)與前向通路T1，T2接觸系統(tǒng)傳遞函數(shù)： W(S)=小結(jié)： 通過本節(jié)課的學習，使學生掌握信號流圖的概念，會用梅遜公式求系統(tǒng)閉環(huán)