向量的內(nèi)積的概念

1、向量的內(nèi)積的概念 向量的長(zhǎng)度 向量的正交性 向量空間的正交規(guī)范基的概念 向量組的正交規(guī)范化 正交陣、正交變換的概念,1. 預(yù)備知識(shí)：向量的內(nèi)積,下頁(yè),關(guān)閉,n維向量是空間三維向量的推廣，本節(jié)通過(guò)定義向 量的內(nèi)積，從而引進(jìn)n維向量的度量概念：向量的長(zhǎng)度， 夾角及正交,定義1 設(shè)有 n 維向量,向量?jī)?nèi)積的概念,在空間解析幾何中，兩向量的數(shù)量積,在直角坐標(biāo)系中表示為,推廣到 n 維向量即有,上頁(yè),下頁(yè),返回,內(nèi)積,內(nèi)積的運(yùn)算規(guī)律,上頁(yè),下頁(yè),返回,向量的長(zhǎng)度,由向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)(v) 自然引入向量的長(zhǎng)度。 定義1 令,向量長(zhǎng)度的性質(zhì),上頁(yè),下頁(yè),返回,單位向量,正交向量組：指一組兩兩正交的非零向量,向

2、量的正交性,空間解析幾何中兩向量垂直推廣到 n 維向量，可得向量的正交性概念,上頁(yè),下頁(yè),返回,夾角,定理1,證,上頁(yè),下頁(yè),返回,例1,解,已知 3 維向量空間 R 3 中兩個(gè)向量,上頁(yè),下頁(yè),返回,上頁(yè),下頁(yè),返回,就是 R 4 的一個(gè)正交規(guī)范基,向量空間的規(guī)范正交基,定義3,上頁(yè),下頁(yè),返回,上頁(yè),下頁(yè),返回,向量組的正交規(guī)范化,上頁(yè),下頁(yè),返回,上頁(yè),下頁(yè),返回,就得 V 的一個(gè)正交規(guī)范基,然后只要把它們單位化，即取,上頁(yè),下頁(yè),返回,試用施密特正交化過(guò)程把這組向量正交規(guī)范化,解,例2,上頁(yè),下頁(yè),返回,再把它們單位化，取,上頁(yè),下頁(yè),返回,解,例 3,它的基礎(chǔ)解系為,上頁(yè),下頁(yè),返回

3、,把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求。取,上頁(yè),下頁(yè),返回,由于正交化過(guò)程十分繁鎖，因而在求正交向量組時(shí)，只要抓住向量正交的本質(zhì)，可以避免正交化過(guò)程,x1 + x2 + x3 = 0,的基礎(chǔ)解系為例,使得前兩個(gè)分量與,的前兩個(gè)分量對(duì)應(yīng),乘積之和為零即可,容易驗(yàn)證,要求兩兩正交的基礎(chǔ)解系，只要取,從而取,以例3中求齊次線性方程組,上頁(yè),下頁(yè),返回,Ex.1,解,其基礎(chǔ)解系可取為,上頁(yè),下頁(yè),返回,定義4 如果 n 階方陣 A 滿(mǎn)足 AT A = E ( 即 A1 = AT ), 那么稱(chēng) A 為正交陣。 上式用 A 的列向量表示，即是,上頁(yè),下頁(yè),返回,是正交陣,例4,解 P 的每一個(gè)行向量都是單位向量，

4、且兩兩正交，所以 P 是正交陣,驗(yàn)證矩陣,上頁(yè),下頁(yè),返回,這就說(shuō)明：方陣A 為正交陣的充分必要條件是A 的列( 行)向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣A 的n 個(gè)列( 行)向量構(gòu)成向量空間 R n 的一個(gè)規(guī)范正交基,定義5 若 P 為正交陣，則線性變換 y = P x 稱(chēng)為正交變換,這就說(shuō)明：正交變換保持線段長(zhǎng)度保持不變。從而利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形不會(huì)改變二次型的幾何特征,設(shè) y = P x 是正交變換，則有,上頁(yè),下頁(yè),返回,i). 正交矩陣A 的行列式 |A| = 1 或|A| = 1; (ii). 正交矩陣A 是可逆的，且A1 =AT ； (iii). 正交矩陣A 的逆矩陣A1 也是正交矩陣；