2016年高考全國Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國）數(shù)學(xué)（理科）第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2016年全國，理1，5分】設(shè)集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故選D【點(diǎn)評】考察集合運(yùn)算和簡單不等式解法，屬于必考題型，難易程度：易（2）【2016年全國，理2】設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，則（ ）（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B【解析】由題意知：，故選B【點(diǎn)評】察復(fù)數(shù)相等條件和復(fù)數(shù)的模，屬于必考題型，難易程度：易（3）【2016年全國，理3，5分】已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，則（ ）（A）100

2、（B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】解法一：， ，選C解法二：，即，又，解得，故選C【點(diǎn)評】考察等差數(shù)列的基本性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，屬于必考題型，難易程度：易（4）【2016年全國，理4，5分】某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】小明可以到達(dá)車站時長為40分鐘，可以等到車的時長為20分鐘，則他等車時間不超過10分鐘的概率是，故選B【點(diǎn)評】考察幾何概型的概率計算，第一次考察，難易程度：易（5）【20

3、16年全國，理5，5分】已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由題意知：，解得，解得，故選A【點(diǎn)評】考察雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于了解層次，必考題，難易程度：易（6）【2016年全國，理6，5分】如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】該幾何體為球體，從球心挖掉整個球的（如右圖所示），故解得，故選A【點(diǎn)評】考察三視圖還原，球的體積表面積計算，經(jīng)?？疾欤y易程度：中等（7）【2016年全國，理7，5分】

4、函數(shù)在的圖像大致為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】解法1（排除法）：為偶函數(shù)，且，故選D解法2：為偶函數(shù)，當(dāng)時，作與（如圖），故存在實(shí)數(shù)，使得且時，時，在上遞減，在上遞增，故選D【點(diǎn)評】本題結(jié)合導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)奇偶性，綜合考察函數(shù)解析式與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，常規(guī)題型， 屬于必考題，難易程度：中等這類題型的最佳解法應(yīng)為結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，選取特殊點(diǎn)進(jìn)行排除（8）【2016年全國，理8，5分】若，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令，易知C正確解法2：當(dāng)時，冪函數(shù)在上遞增，故A選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時，越大對數(shù)函數(shù)的圖像越靠近軸，當(dāng)時，故D選項(xiàng)錯誤；可

5、化為，由指數(shù)函數(shù)知，當(dāng)時，在上遞增，故B選項(xiàng)錯誤；可化為，故選C【點(diǎn)評】本題綜合考察冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，屬于?？碱}型，難易程度：中等 結(jié)合函數(shù)性質(zhì)證明不等式是比較麻煩的，最好采用特殊值法驗(yàn)證排除（9）【2016年全國，理9，5分】執(zhí)行右面的程序圖，如果輸入的，則輸出，的值滿足（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】時，框圖運(yùn)行如下： 1、；2、； 3、，故選C【點(diǎn)評】考察算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，必考題型，難易程度：易（10）【2016年全國，理10，5分】以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于、兩點(diǎn)，交的標(biāo)準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)已知，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ） （A）2 （B

6、）4 （C）6 （D）8【答案】B【解析】解法1排除法：當(dāng)時，不妨令拋物線方程為，當(dāng)時，即點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓的半徑為，此時點(diǎn)坐標(biāo)為，符合題意，故B選項(xiàng)正確解法2：不妨令拋物線方程為，D點(diǎn)坐標(biāo)為，則圓的半徑為，即點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，故選B【點(diǎn)評】考察拋物線和圓的簡單性質(zhì)，必考題型，難易程度：中等（11）【2016年全國，理11，5分】平面過正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則、所成角的正弦值為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】令平面與平面重合，則，故直線、所成角為，正弦值，故選A 【點(diǎn)評】考察正方體中線面位置關(guān)系和兩條直線夾角的計算，必考題型，難易程度：中等（12）【2016年

7、全國，理12，5分】已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖像的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（ ）（A）11 （B）9 （C）7 （D）5【答案】B【解析】解法1（特殊值驗(yàn)證法）令，則周期，區(qū)間剛為，且在上遞減，恰好符合題意，故選B解法2：由題意知，所以，故選B【點(diǎn)評】綜合考察三角函數(shù)圖像的單調(diào)性、對稱性、零點(diǎn)、周期等性質(zhì)，屬于必考題型，難易程度：偏難第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分第（13）題第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答第（22）題第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）【2016年全國，理13，5分】設(shè)向量，且，則 【答案】【解析】解法一（

8、幾何法）由向量加法的幾何意義知，故，所以；解法二（代數(shù)法），解得【點(diǎn)評】考察向量運(yùn)算，必考題型，難易程度：易（14）【2016年全國，理14，5分】的展開式中，的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答案）【答案】10【解析】，令，解得，【點(diǎn)評】考察二項(xiàng)式定理展開式中指定項(xiàng)問題，必考題型，難易程度：中等（15）【2016年全國，理15，5分】設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為 【答案】64【解析】由，解得，所以當(dāng)或4時，有最大值64【點(diǎn)評】考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和及二次函數(shù)最值問題，必考題型，難易程度：中等（16）【2016年全國，理16，5分】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)

9、品需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為900元 該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值為 元 【答案】【解析】將題中數(shù)據(jù)分類整理如下表：產(chǎn)品甲（kg）乙（kg）工時利潤（元）A（件）1.5152100B（件）0.50.33900限制條件15090600設(shè)生產(chǎn)類產(chǎn)品件，類產(chǎn)品件，兩類產(chǎn)品利潤和為元，則，的限制條件如下：，目標(biāo)函數(shù)為，可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，代入目標(biāo)函數(shù)可得【點(diǎn)評】考察線性規(guī)劃的應(yīng)用題，

10、數(shù)據(jù)較為繁雜，加上平時本類題型訓(xùn)練不夠充分，容易出錯，由于數(shù)據(jù)較大本題的可行域較為難作，故采用方程聯(lián)立求點(diǎn)代入法，注意點(diǎn)不適合第二個不等式，應(yīng)舍去，很少考的題型，難易程度：偏難 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）【2016年全國，理17，12分】的內(nèi)角的對邊分別別為，已知（1）求，（2）若的面積為，求的周長解：（1）由得，即，又，（2）， ，所以的周長為【點(diǎn)評】解三角形主要考察三大定理：正弦定理、余弦定理、內(nèi)角和定理，采用的策略是化統(tǒng)一：統(tǒng)一成純邊或純角問題即可，可概括為一句話：“三大定理化一統(tǒng)”，與數(shù)列輪流放在第17題考察，難易程度：中等偏易（18）【2016年全國，

11、理18，12分】如圖，在已為頂點(diǎn)的五面體中， 面為正方形，且二面角與二面角都是（1）證明平面（2）求二面角的余弦值解：（1），又，所以平面（2）解法一（向量法）：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，因?yàn)槎娼桥c二面角都是，即，易得，設(shè)平面與平面的法向量分別為和，則令，則，令，則，所以二面角的余弦值為解法二（幾何法）：將此五面體補(bǔ)成一個直三棱柱（如右圖所示）， 過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為二面角的平面角 設(shè)，則，因?yàn)槎娼桥c二面角C-BE-F都是，即，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)評】本題的幾何體為不規(guī)則幾何體，補(bǔ)形構(gòu)造成規(guī)則幾何體運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，做輔助線，按照經(jīng)典的求二

12、面角或距離的步驟：一找二證三求完成或建系運(yùn)用坐標(biāo)法解決，整體運(yùn)算不小，屬于必考題，難度中等（19）【2016年全國，理19，12分】某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)（1）求的分布

13、列（2）若要求，確定的最小值；（3）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？解：（1）這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11時的頻率為分別為，故1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11時發(fā)生的概率分別為，每臺機(jī)器更換與否相互獨(dú)立，故兩臺機(jī)器更換易損零件個數(shù)及對應(yīng)概率如下表：所以求的分布列為：16171819202122（2），所以的最小值為19（3）故至少購買19件，若買19件時費(fèi)用期望為（元），若買20件時費(fèi)用期望為（元），所以應(yīng)選用【點(diǎn)評】本題以實(shí)際問題為背景，以頻率作為概率，綜合考察柱狀圖（初中內(nèi)容），列舉法求概率，離散型隨機(jī)變量的分布列，期

14、望。審題較為費(fèi)勁，特別是第三問帶有創(chuàng)新性與平時訓(xùn)練題型不同，不冷靜分析難以找到突破口。屬于必考題，偏難（20）【2016年全國，理20，12分】設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)（1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍解：（1）圓心為，圓的半徑為，又，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)和點(diǎn)為焦點(diǎn)，以4為長軸長的橢圓，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為：（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時四邊形面積為12；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，則，直線方程為，即，所以圓心

15、到直線的距離為，綜上可知四邊形面積的取值范圍為【點(diǎn)評】本題以圓為背景，綜合考察橢圓定義，橢圓方程，直線與橢圓關(guān)系等知識點(diǎn)，題型常規(guī)，計算量偏大，最后求范圍時需考慮極限知識，屬于必考題型，偏難（21）【2016年全國，理21，12分】已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是的兩個零點(diǎn)，證明：解：（1）當(dāng)時，此時函數(shù)只有一個零點(diǎn)，不符合題意舍去；當(dāng)時，由，由，所以在上遞減，在上遞增，又，所以函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，此時，所以函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)，此時函數(shù)有兩個零點(diǎn)當(dāng)時，由，由所以在和上遞增，在上遞減，此時函數(shù)至多一個零點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時，恒成立，此時函數(shù)至多一個零點(diǎn)，不符合題意

16、，舍去當(dāng)時，由，由所以在和上遞增，在上遞減， 因?yàn)樵谏线f減，所以，此時函數(shù)至多一個零點(diǎn)，不符合題意，舍去綜上可知（2）由（1）若，是的兩個零點(diǎn)，則，不妨令，則，要證，只要證，當(dāng)時，在上遞減，且，所以，只要證，又，令 ，在上遞減，當(dāng)時，即成立，成立【點(diǎn)評】本題以導(dǎo)數(shù)為背景，綜合考察函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性、極值最值等知識點(diǎn)和分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，是具有鮮明特色的全國卷壓軸題，重點(diǎn)知識重點(diǎn)考察，不回避熱點(diǎn)，第二問需要構(gòu)造函數(shù)結(jié)合第一問結(jié)論加以解決，屬于必考題型，難度較大請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用

17、2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑（22）【2016年全國，理22，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，是等腰三角形，以為圓心，為半徑作圓（1）證明：直線與相切；（2）點(diǎn)，在上，且四點(diǎn)共圓，證明：解：（1）設(shè)圓的半徑為，作于，與相切（2）解法1：假設(shè)與不平行，與交于， 四點(diǎn)共圓，由可知矛盾解法2：因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，不妨設(shè)圓心為，因?yàn)?，所以為的中垂線上，同理所以的中垂線，所以（23）【2016年全國，理23，10分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線（1）說明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，若曲線與的公共點(diǎn)都在上，求解：（1）（均為參數(shù)）， 為以為圓心，為半徑的圓方程為 ，即為的