第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明學(xué)案(無答案)新人教A版選修2_2

1、221綜合法和分析法（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；（2）了解分析法和綜合法的思考過程及其特點【重點難點】重點：會用綜合法與分析法證明問題 難點：會用綜合法與分析法證明問題【學(xué)法指導(dǎo)】注意根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法和分析法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.【學(xué)習(xí)過程】一課前預(yù)習(xí)閱讀教材2.2.1的內(nèi)容，并思考下列問題：1. 在數(shù)學(xué)5 （必修）中，我們是如何證明基本不等式 ,ab乞旦尹（a 0,b 0）的?你能用兩種方法證明嗎？方法2.如圖：已知 PA.I 工于 A , PB :二 B , a 二a AB，求證：a PB證明：3.上

2、面的證明有上面特點?二課堂學(xué)習(xí)與研討1. 綜合法：(1) 定義：一般地，利用 和等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(2) 綜合法的模式：用 P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可以表示為：TQ2TQ2= Q3TQ汙Q4T TQn=Q2. 分析法：(1) 定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的 ，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做 分析法.例1 .已知a 0， b 0 ,試用綜合法與分析法證明：a(b2 c2) b(c2 a2) _ 4a

3、bc.證明：例2求證 3 5 I冷2仁：，6變式：求證:.3亠7 ：: 2、. 59例3.：ABC的三個內(nèi)角A, B,C成等差數(shù)列，求證:【當(dāng)堂檢測】1. 已知直線m、n與平面:,:，給出下列三個命題：若 m/： , n/：,則m/n若 m/： , n _ :-,則n _ m若m _, m/ / ：,則：.其中真命題的個數(shù)是()A. 0B. 1C. 2D. 32函數(shù)f(x)二ax的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.0 a ： 1,b : 0B. a 1,b0C. 0 ： a ： 1,b0 Da 1,b ： 03.函數(shù) f(x) =1 n(ex 1) -X ()2A.是奇函數(shù)

4、，但不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.4.設(shè)a . 0、b 0，且a嚴(yán)b，用分析法證明：a3 - b3 a2b - ab2【課堂小結(jié)】1.直接證明：從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義，公理，定理直接推證結(jié)論的真實性.2. 綜合法：從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所求證的命題.綜合法是一種由因索果的證明方法3.分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法【作業(yè)】課本P91頁A組2,3 , B組

5、22.2.2 反證法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例， 了解間接證明的一種基本方法一一反證法；了解反證法的思考過程、特點.【重點難點】重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程難點：根據(jù)問題的特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法【學(xué)法指導(dǎo)】了解反證法的思考過程.學(xué)會根據(jù)問題的特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法【學(xué)習(xí)過程】 反證法的思維方法：正難則反1. 反證法定義：一般地， 由證明 p=q轉(zhuǎn)向證明： 與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾。從而判定 為假，推出 為真的方法，叫做反證法（也叫歸謬法）。2. 歸繆矛盾的幾個途徑：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾.3. 反證法的證明過程

6、包括以下三個步驟：（1）反設(shè)一一假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原命題的反面為真；（2）歸謬一一從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；（3） 存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.（二）典型例題：3例1.已知a,b,c R,a b 0,abc = 1，求證：a,b,c中至少有一個大于2練習(xí)1 ：已知x、y、z是整數(shù)，且x2 y2 = z2求證：x、y、z不可能都是奇數(shù)例2.求證：2是無理數(shù)練習(xí)2:.求證：若一個整數(shù)的平方是偶數(shù)，則這個數(shù)也是偶數(shù)證明例 3.若三個方程 x2 4mx - 4m 3 = 0 ； x2 (m - 1)x m2 = 0 ； x2 2mx

7、- 2m = 0 至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù) m的取值范圍.【當(dāng)堂檢測】1. 用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程 ax2 bx c =0(a = 0)有有理根，那么a, b, c 中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是()A.假設(shè)a, b, c都是偶數(shù)E.假設(shè)a, b, c都不是偶數(shù)C. 假設(shè)a, b, c至多有一個是偶數(shù)D. 假設(shè)a, b, c至多有兩個是偶數(shù)2. ( 1)已知p3 q2，求證p q 2 , ( 2)已知 a, b R , a b d，求證方程x2 ax 0的兩根的絕對值都小于1用反證法證明時可假設(shè)方程有一根 x的絕對值大于或等于 1，即假設(shè)xi 1，以下結(jié)論正確的

8、是()A. 與的假設(shè)都錯誤B. (1)與的假設(shè)都正確C. (1)的假設(shè)正確；(2)的假設(shè)錯誤D. (1)的假設(shè)錯誤；(2)的假設(shè)正確3命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是()A.有兩個內(nèi)角是鈍角B.有三個內(nèi)角是鈍角C.至少有兩個內(nèi)角是鈍角D.沒有一個內(nèi)角是鈍角4.三角形ABC中，/ A, / B,/ C至少有1個大于或等于60 :的反面為.【課堂小結(jié)】1. 反證法的基本步驟：(1)假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2 )從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得岀矛盾_(3 )從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確2. 應(yīng)用反證法的情形：(1)直接證明困難；(2)需分成很多類進(jìn)行討論；(3) 結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”類命題；(4結(jié)論為“唯一”類命題；應(yīng)用反證法證明問題時，反設(shè)要恰當(dāng)，常見的“結(jié)論詞”和“反設(shè)詞”歸納如下:原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個只有一個反設(shè)詞一個也沒有至少有兩個至多有n -1個至少有n +1沒有或至少有兩個原結(jié)論詞對所有x成立對任意x不成立都是宀曰疋是p或q p且q反設(shè)