大學精品課件：現(xiàn)代制造系統(tǒng)(v4.1)7A 直接間接數(shù)據模型

1、現(xiàn)代制造系統(tǒng),第7章 制造數(shù)據的建模與分析（1-2） 東北大學秦皇島分校 黃亮 n-,制造系統(tǒng)的研究可分為分析與綜合兩個階段： 系統(tǒng)分析的目的是了解系統(tǒng)的運行原理，以便能夠對新的系統(tǒng)設計方案的執(zhí)行效果進行預測，是系統(tǒng)設計的基礎。其主要工作為制造系統(tǒng)的建模與性能評價（第7、8、9章,系統(tǒng)綜合的目的就是根據系統(tǒng)分析掌握的原理，構造出新的更優(yōu)秀的制造系統(tǒng)。其主要工作為制造系統(tǒng)的設計與控制（第10、11章,使用制造系統(tǒng)模型具有重要意義： （1）有利于加速新系統(tǒng)的研究開發(fā)； （2）可降低實驗成本； （3）有利于保證安全； （4）節(jié)省時間，提高效率； （5）簡化操作，易于理解。 課程第7章至第9章按照從制

2、造數(shù)據、制造過程到制造企業(yè)的順序，由局部到整體，從簡單到復雜，逐步介紹制造系統(tǒng)建模領域的常見模型，以及這些模型的性能分析方法,很顯然，這門課程涉及到的模型不是實物模型或比例模型，而都是由信息構造的虛擬模型。 這樣，不管模型有多復雜，其根本上都是由數(shù)據組成的，這些數(shù)據的來源包括 （1）直接測量得到的； （2）間接計算得到的； （3）通過預測得到的。 本章將按此分類分成三節(jié)介紹這些數(shù)據的建模方法,第7章 制造數(shù)據的建模與分析,第7章 制造數(shù)據的建模與分析 7.1 直接測量數(shù)據模型 7.2 間接計算數(shù)據模型 7.3 預測數(shù)據模型,復習真值： 在某一時刻和某一狀態(tài)下， 某量的客觀值或實際值。 絕對意義

3、上，真值一般是未知的； 相對意義上，真值是可以獲得的，例如： 公理，例如平面三角形三內角之和為180； 國家標準，國際標準； 高精度儀器所測之值； 多次實驗值的平均值,復習平均值： 有很多種，在制造系統(tǒng)建模領域，我們通常只使用算術平均值（arithmetic mean） 思考：為什么平均值就接近真值,既然平均值只是近似地表達真值，那如何評價這種近似的準確程度呢？ 相關概念：誤差。 誤差的計算方法有很多，制造系統(tǒng)建模領域最常用的是樣本標準差（standard deviation,當真值本身也是不確定數(shù)據時，均值與標準差難以充分描述真值，這時常使用概率分布函數(shù)。 例如，正態(tài)分布的概率密度函數(shù),不確

4、定性數(shù)據的表達方式： （1）均值； （2）均值 + 標準差； （3）概率分布函數(shù)。 以上方式的表達效果越來越好， 但相應的計算也越復雜， 并且對樣本數(shù)量的要求也越來越大,直接測量數(shù)據有哪些？ 直接測量數(shù)據指生產管理文檔中直接記載的數(shù)據，服務于制造過程建模的主要有 （1）活動持續(xù)時間，例如某道工序的加工時間、裝配時間，某種原料的采購時間等。 （2）事件發(fā)生頻率，例如訂單或客戶的到達頻率，出現(xiàn)不合格品的頻率，設備出現(xiàn)故障的頻率等。 （3）資源消耗數(shù)量，例如鑄造一個零件消耗的鑄鐵重量，設備工作一小時消耗的平均電量等,7.1 直接測量數(shù)據模型,什么樣的概率分布函數(shù)適合描述制造系統(tǒng)中的不確定性數(shù)據？ 首

5、先是“實踐出真知”， 記錄一定數(shù)量的實際生產數(shù)據， 然后轉化成概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)， 得到的概率分布通常稱為經驗分布（empirical distribution）。 經驗分布來源于實際數(shù)據，因此準確度較高，缺點是信息存儲量較大，需要數(shù)據表記錄,1）對活動持續(xù)時間的模擬 案例1：記錄某種零件170次采購所需的時間，得到統(tǒng)計數(shù)據如下,1.1）經驗分布（empirical distribution） 將統(tǒng)計數(shù)據轉換成經驗分布， 得到案例1中零件采購時間的概率密度函數(shù)為,與上述經驗分布的概率密度函數(shù) 對應的累積分布函數(shù)為,除了（1.1）經驗分布，人們還常使用標準分布（standard dist

6、ribution）來描述不確定數(shù)據。 常用來描述活動持續(xù)時間的標準分布有： （1.2）均勻分布（uniform distribution）； （1.3）三角形分布（triangular distribution）； （1.4）正態(tài)分布（normal distribution）； （1.5）指數(shù)分布（exponential distribution）； （1.6）愛爾朗分布（Erlang distribution）。 使用標準分布的好處是信息存儲量較小，并且其中有些能夠支持分析類過程模型的快速計算，缺點是與實際分布的差異較大（相對于經驗分布,1.2）均勻分布（uniform distributi

7、on） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 服從均勻分布的x落在區(qū)間a, b中長度相等的任一子區(qū)間內的可能性是相等的，所謂的均勻指的就是這種等可能性。在實際問題中，當我們無法區(qū)分在隨機變量x 取不同值的可能性有何不同時，我們可以假定x 服從均勻分布,分別使用區(qū)間9,13 來構造均勻分布， 用來模擬案例1中的零件采購時間，得到概率密度函數(shù)圖為,與上述均勻分布的概率密度函數(shù) 對應的累積分布函數(shù)圖為,均勻分布總結： 均勻分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經驗分布的差異較大，因此用于實際生產活動時間的模擬可能產生較大的誤差，僅用于模擬持續(xù)時間較短的活動。 均勻分布的優(yōu)點在于產生隨機數(shù)方便（甚

8、至可以用骰子模擬），很多軟件開發(fā)工具提供的隨機數(shù)函數(shù)都直接產生區(qū)間0,1上的均勻分布，是產生其它復雜概率分布的基礎,1.3）三角形分布（triangular distribution） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) a稱之為下限，b稱之為上限，c稱之為眾數(shù),令a =7，b =17，c =11，使用三角形分布來模擬案例1中的零件采購時間，得到概率分布函數(shù)圖為,與上述三角形分布的概率密度函數(shù)圖 對應的累積分布函數(shù)圖為,三角形分布總結： 三角形分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經驗分布的很接近，但在變化趨勢上存在著一定的誤差。 在仿真類過程模型中，三角形分布經常被用于模擬生產活動時間

9、，但不如正態(tài)分布應用得多。 相對于正態(tài)分布，三角形分布的優(yōu)點在于計算相對簡單，并且可以描述概率密度函數(shù)出現(xiàn)“偏心”的情況,1.4）正態(tài)分布（normal distribution） 正態(tài)分布又名高斯分布（Gaussian distribution），是數(shù)學、物理和工程領域應用得非常廣泛的一種概率分布，其定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 其中，參數(shù)為概率分布的均值，為概率分布的標準差,卡爾弗里德里希高斯（C. F. Gauss） （1977-1855）德國數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一。 高斯在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學王子”之稱。除

10、了計算出標準正態(tài)分布之外，高斯還發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，證明了數(shù)論中的二次互反律，提出了微分幾何中的正投影理論等等，貢獻十分之多。 為了紀念高斯，1989年至2001年流通的10元德國馬克紙幣上印有高斯的肖像,以兩種參數(shù)對案例1中的零件采購時間進行模擬，得到概率密度函數(shù)圖為 案例1中170次采購時間的均值是11.49天，標準差是2.57，以此構造正態(tài)分布記作正態(tài)分布1； 以均值11、標準差1.8構造正態(tài)分布記作正態(tài)分布2,與上述正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖 對應的累積分布函數(shù)圖為,正態(tài)分布總結： 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經驗分布的很接近，比三角形函數(shù)的誤差還小，但不適合描述分布的

11、“偏心”情況。 不一定是與樣本數(shù)據的均值和標注差一致正態(tài)分布擬合的最好，實際中往往需要反復調整參數(shù)來追求更高的擬合效果，是個優(yōu)化問題，常用統(tǒng)計軟件提供相關的優(yōu)化功能。 在仿真類過程模型中，正態(tài)分布經常被用于模擬生產活動時間，是應用得最多的一種標準分布,1.5）指數(shù)分布（exponential distribution） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 指數(shù)分布也稱作負指數(shù)分布，常用來描述連續(xù)兩次事件之間的時間間隔，參數(shù)表示事件發(fā)生的平均頻率，既是函數(shù)的均值，也是方差,案例1中170次采購時間的均值是11.49天， 以1/11.49為構造指數(shù)函數(shù)， 則概率密度函數(shù)圖為,與上述指數(shù)分布的概率密

12、度函數(shù)圖 對應的累積分布函數(shù)圖為,指數(shù)分布總結： 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經驗分布差異非常大，但由于其良好的計算特性，能夠極大地簡化多個指數(shù)分布函數(shù)之間的合并運算，因此仍廣泛地應用于以排隊網絡為代表的分析類模型中。 指數(shù)分布僅在活動持續(xù)時間較短的情況下模擬誤差較小，對于案例1這種誤差較大的情況，實際應用時也常使用（常數(shù)+指數(shù)分布）的方式模擬，如下,將案例1中的生產活動時間用（常數(shù)10 + 參數(shù)為3.5的指數(shù)分布）模擬， 得到概率密度函數(shù)圖為,與上述（固定值 + 指數(shù)分布概率密度）函數(shù)圖 對應的累積分布函數(shù)圖為,1.6）愛爾朗分布（Erlang distribution）

13、 愛爾朗分布按階次分類，k階愛爾朗分布的概率密度函數(shù)為 一階愛爾朗分布為指數(shù)分布，即指數(shù)分布為愛爾朗分布的特例；而30階以上的愛爾朗分布近似于正態(tài)分布,與指數(shù)分布類似，愛爾朗分布在排隊理論中也有一定的應用： 案例1：k個服務臺串行處理1件任務，各個服務臺的服務時間相互獨立，并且都服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，則k個服務臺的總服務時間服從k階愛爾朗分布。 案例2：k個串行完成的任務在1個服務臺處理，各個任務的服務時間相互獨立，并且都服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，則k個任務的總服務時間服從k階愛爾朗分布,2）對事件發(fā)生頻率的模擬 除模擬活動時間之外，離散事件動態(tài)系統(tǒng)中另一個需要模擬的重要對象是事件發(fā)生的頻率，

14、例如訂單的到達頻率、不合格品出現(xiàn)的頻率等。 除了（2.1）經驗分布外，通常情況下，事件的發(fā)生與否可以看做是重復n次的伯努利試驗，則事件的發(fā)生概率服從（2.2）二項分布； 當實驗次數(shù)很大，并且事件的發(fā)生概率很低時，二項分布又近似等于（2.3）泊松分布,2.2）二項分布（binomial distribution） 二項分布用于表達n次試驗中正好得到k次成功的概率，因此常用于模擬每批產品中的不合格品數(shù)量（第3.3節(jié)）。 其概率密度函數(shù)為 累積分布函數(shù)為,2.3）泊松分布（Poisson distribution） 在二項分布的伯努利試驗中，如果試驗次數(shù)n很大，二項分布的概率p很小，且乘積=np比較

15、適中，則事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率可以用泊松分布來逼近。事實上，二項分布可以看作泊松分布在離散時間上的對應物。 由于泊松分布比二項分布計算簡單些，在制造系統(tǒng)建模的實際應用中經常代替二項分布。特別是對一段時間內某事件發(fā)生頻率的模擬，泊松分布比二項分布也更符合實際情況，例如對訂單到達頻率、設備故障頻率等事件的模擬,泊松分布的概率密度函數(shù)為 能夠證明，當某種事件在一段時間內的發(fā)生頻率服從泊松分布時，這些事件的發(fā)生間隔時間服從指數(shù)分布。 上述性質使得泊松分布經常在排隊網絡模型中用于模擬訂單或顧客的到達頻率,西莫恩德尼泊松（Simeon Denis Poisson） （1781-1840），法國數(shù)學家、物理學

16、家和力學家,泊松最重要的貢獻即為提出描述隨機現(xiàn)象的一種常用分布泊松分布； 在固體力學領域，泊松以材料的橫向變形系數(shù)泊松比而知名； 除此之外，泊松還解決了許多熱傳導、靜電學、靜磁學和引力學等方面的問題； 在光的波動說驗證實驗中出現(xiàn)于圓板陰影中央的亮斑也以他命名,3）對資源消耗量的模擬 相對于活動持續(xù)時間和事件發(fā)生頻率，制造系統(tǒng)中資源的消耗相對穩(wěn)定（例如一個零件總是固定需要一套毛坯），因此采用概率函數(shù)進行模擬的相關研究較少。 對于存在不確定性的資源消耗（例如原料的采購價格存在浮動），常用的模擬手段即為均值，也有一些研究使用（3.1）經驗分布、（3.2）均勻分布或（3.3）正態(tài)分布進行模擬,直接測量

17、數(shù)據的建模方法： （1）對于活動持續(xù)時間的模擬： 經驗分布；均勻分布；三角形分布；正態(tài)分布；指數(shù)分布；愛爾朗分布。 （2）對于事件發(fā)生概率的模擬： 經驗分布；二項分布（常用于模擬不合格品數(shù)量）；泊松分布（常用于模擬訂單或客戶的達到頻率）。 （3）對于資源消耗量的模擬： 均值；經驗分布；均勻分布；正態(tài)分布,直接測量數(shù)據模型的評價： 除了經驗分布直接依據樣本數(shù)據產生外，各種標準分布都是對樣本數(shù)據的一個近似模擬，即用一個連續(xù)的函數(shù)擬合一系列離散的點，函數(shù)曲線與離散點的差異大小即為模型好壞的評價標準。 上述評價問題稱為：擬合優(yōu)度檢驗。 例如實驗設計中提及的正態(tài)分布擬合質量的檢驗方法：卡方檢驗,擬合優(yōu)度

18、檢驗：判斷某標準分布符合一組樣本數(shù)據。 常用方法（SPSS等常用統(tǒng)計軟件提供）： K-S檢驗（Kolmogorov-Smirnov test）， 音譯作科爾莫格洛夫-斯莫洛夫檢驗； A-D檢驗（Anderson-Darling test）， 音譯作安德森-達林檢驗,實際數(shù)據的采集： 實際生產中使用操作指示單（又稱作業(yè)票）記錄和管理生產數(shù)據。樣單舉例如下圖,從操作指示單中采集的最重要數(shù)據是實動工時，是制造系統(tǒng)建模的基礎數(shù)據。采集時可根據操作指示單的下發(fā)與回收時間計算。 其次重要的是合格品數(shù)。由于不合格品率通常很低，多數(shù)時候合格品數(shù)即為原料數(shù)量，需要額外記錄這個數(shù)據的時候很少,管理信息系統(tǒng)簡化并加

19、快了數(shù)據采集工作,虛擬數(shù)據的產生： 在利用制造系統(tǒng)模型進行仿真預測時，很多情況下，僅根據采集到的實際生產數(shù)據難以構造出足夠數(shù)量或多樣化的實驗數(shù)據，這時可以參照采集到的實際生產數(shù)據，構造虛擬生產數(shù)據用于仿真。 通常的步驟為 （1）采集實際生產數(shù)據； （2）將實際生產數(shù)據轉化成經驗分布或某種標準分布； （3）利用經驗或標準分布產生虛擬生產數(shù)據,利用經驗或標準分布產生虛擬生產數(shù)據： 首先利用均勻分布產生0-1之間的隨機數(shù)， 之后以上述隨機數(shù)為變量，求經驗概率函數(shù)的反函數(shù),第7章 制造數(shù)據的建模與分析 7.1 直接測量數(shù)據模型 7.2 間接計算數(shù)據模型 7.3 預測數(shù)據模型,7.2 間接計算數(shù)據模型,

20、在制造系統(tǒng)中，間接計算得到數(shù)據主要是投入資源（設備、能源、資金等）與獲得收益（產量增加、生產周期縮短、不合格品率降低等）之間的關系。這些關系數(shù)據無法直接測量，而是通過其它直接測量數(shù)據建立起關系模型，間接計算解得。 用于描述數(shù)據之間關系的常用模型是多項式模型，相關的建模與分析工作稱為回歸分析?；仡檶嶒炘O計中回歸分析的分類： 一元線性回歸；一元非線性回歸； 多元線性回歸；多元非線性回歸,一元線性回歸的應用案例： 當某種零件僅需單個工人生產時，其產量通常與生產人數(shù)呈線性關系,案例1：某散熱器生產車間采用手工方式處理串片工序，該工序配置人數(shù)與串片數(shù)量的對應關系經測量如下表，求工人人數(shù)與日串片量的關系,

21、案例1，解題思路： （1）建立線性方程 （2）以b為決策變量，以總殘差最小為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型求解； （3）對于一元線性回歸，可使用正規(guī)方程組（參考實驗設計回歸分析章節(jié)）求解，也可使用優(yōu)化工具求解，解得b =810,一元非線性回歸的應用案例： 當一個大型產品需要多個工人同時裝配時，其生產速度與工人人數(shù)往往呈非線性關系。 案例2：某壓縮機裝配人數(shù)與日產量關系如下表所示，求工人人數(shù)與日產量之間的關系,案例2，解題思路： （1）建立一元二次方程 （2）以a, b1, b2為決策變量，以總殘差最小為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型求解； （3）對于一元非線性回歸，可使用多項式回歸、坐標系變換等方法求解，也可使用優(yōu)化工具求解,多元線性回歸的應用案例： 在有足夠多的記錄數(shù)據的支持下，多元線性回歸建?？梢蕴幚矶鄠€生產環(huán)節(jié)共用一個測量工具情況下的分析問題,案例3：3臺設備共用一個電表記錄耗電量，各個設備的每周生產時間有明顯差異。假設3臺設備生產時的平均功率都穩(wěn)定，求各個設備的平均功率,案例3，解題思路： 設周耗電為y，各設備周生產時間x1，x2和x3， 各設備平均功率為b1，b2和b3千瓦/小時， 建立回歸方程y=b1x1+b2x2+b3x3， 記錄3周以