大學(xué)精品課件：現(xiàn)代制造系統(tǒng)(v4.1)7A 直接間接數(shù)據(jù)模型

1、現(xiàn)代制造系統(tǒng),第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析（1-2） 東北大學(xué)秦皇島分校 黃亮 n-,制造系統(tǒng)的研究可分為分析與綜合兩個階段： 系統(tǒng)分析的目的是了解系統(tǒng)的運行原理，以便能夠?qū)π碌南到y(tǒng)設(shè)計方案的執(zhí)行效果進行預(yù)測，是系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。其主要工作為制造系統(tǒng)的建模與性能評價（第7、8、9章,系統(tǒng)綜合的目的就是根據(jù)系統(tǒng)分析掌握的原理，構(gòu)造出新的更優(yōu)秀的制造系統(tǒng)。其主要工作為制造系統(tǒng)的設(shè)計與控制（第10、11章,使用制造系統(tǒng)模型具有重要意義： （1）有利于加速新系統(tǒng)的研究開發(fā)； （2）可降低實驗成本； （3）有利于保證安全； （4）節(jié)省時間，提高效率； （5）簡化操作，易于理解。 課程第7章至第9章按照從制

2、造數(shù)據(jù)、制造過程到制造企業(yè)的順序，由局部到整體，從簡單到復(fù)雜，逐步介紹制造系統(tǒng)建模領(lǐng)域的常見模型，以及這些模型的性能分析方法,很顯然，這門課程涉及到的模型不是實物模型或比例模型，而都是由信息構(gòu)造的虛擬模型。 這樣，不管模型有多復(fù)雜，其根本上都是由數(shù)據(jù)組成的，這些數(shù)據(jù)的來源包括 （1）直接測量得到的； （2）間接計算得到的； （3）通過預(yù)測得到的。 本章將按此分類分成三節(jié)介紹這些數(shù)據(jù)的建模方法,第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析,第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析 7.1 直接測量數(shù)據(jù)模型 7.2 間接計算數(shù)據(jù)模型 7.3 預(yù)測數(shù)據(jù)模型,復(fù)習真值： 在某一時刻和某一狀態(tài)下， 某量的客觀值或?qū)嶋H值。 絕對意義

3、上，真值一般是未知的； 相對意義上，真值是可以獲得的，例如： 公理，例如平面三角形三內(nèi)角之和為180； 國家標準，國際標準； 高精度儀器所測之值； 多次實驗值的平均值,復(fù)習平均值： 有很多種，在制造系統(tǒng)建模領(lǐng)域，我們通常只使用算術(shù)平均值（arithmetic mean） 思考：為什么平均值就接近真值,既然平均值只是近似地表達真值，那如何評價這種近似的準確程度呢？ 相關(guān)概念：誤差。 誤差的計算方法有很多，制造系統(tǒng)建模領(lǐng)域最常用的是樣本標準差（standard deviation,當真值本身也是不確定數(shù)據(jù)時，均值與標準差難以充分描述真值，這時常使用概率分布函數(shù)。 例如，正態(tài)分布的概率密度函數(shù),不確

4、定性數(shù)據(jù)的表達方式： （1）均值； （2）均值 + 標準差； （3）概率分布函數(shù)。 以上方式的表達效果越來越好， 但相應(yīng)的計算也越復(fù)雜， 并且對樣本數(shù)量的要求也越來越大,直接測量數(shù)據(jù)有哪些？ 直接測量數(shù)據(jù)指生產(chǎn)管理文檔中直接記載的數(shù)據(jù)，服務(wù)于制造過程建模的主要有 （1）活動持續(xù)時間，例如某道工序的加工時間、裝配時間，某種原料的采購時間等。 （2）事件發(fā)生頻率，例如訂單或客戶的到達頻率，出現(xiàn)不合格品的頻率，設(shè)備出現(xiàn)故障的頻率等。 （3）資源消耗數(shù)量，例如鑄造一個零件消耗的鑄鐵重量，設(shè)備工作一小時消耗的平均電量等,7.1 直接測量數(shù)據(jù)模型,什么樣的概率分布函數(shù)適合描述制造系統(tǒng)中的不確定性數(shù)據(jù)？ 首

5、先是“實踐出真知”， 記錄一定數(shù)量的實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)， 然后轉(zhuǎn)化成概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)， 得到的概率分布通常稱為經(jīng)驗分布（empirical distribution）。 經(jīng)驗分布來源于實際數(shù)據(jù)，因此準確度較高，缺點是信息存儲量較大，需要數(shù)據(jù)表記錄,1）對活動持續(xù)時間的模擬 案例1：記錄某種零件170次采購所需的時間，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下,1.1）經(jīng)驗分布（empirical distribution） 將統(tǒng)計數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成經(jīng)驗分布， 得到案例1中零件采購時間的概率密度函數(shù)為,與上述經(jīng)驗分布的概率密度函數(shù) 對應(yīng)的累積分布函數(shù)為,除了（1.1）經(jīng)驗分布，人們還常使用標準分布（standard dist

6、ribution）來描述不確定數(shù)據(jù)。 常用來描述活動持續(xù)時間的標準分布有： （1.2）均勻分布（uniform distribution）； （1.3）三角形分布（triangular distribution）； （1.4）正態(tài)分布（normal distribution）； （1.5）指數(shù)分布（exponential distribution）； （1.6）愛爾朗分布（Erlang distribution）。 使用標準分布的好處是信息存儲量較小，并且其中有些能夠支持分析類過程模型的快速計算，缺點是與實際分布的差異較大（相對于經(jīng)驗分布,1.2）均勻分布（uniform distributi

7、on） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 服從均勻分布的x落在區(qū)間a, b中長度相等的任一子區(qū)間內(nèi)的可能性是相等的，所謂的均勻指的就是這種等可能性。在實際問題中，當我們無法區(qū)分在隨機變量x 取不同值的可能性有何不同時，我們可以假定x 服從均勻分布,分別使用區(qū)間9,13 來構(gòu)造均勻分布， 用來模擬案例1中的零件采購時間，得到概率密度函數(shù)圖為,與上述均勻分布的概率密度函數(shù) 對應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,均勻分布總結(jié)： 均勻分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗分布的差異較大，因此用于實際生產(chǎn)活動時間的模擬可能產(chǎn)生較大的誤差，僅用于模擬持續(xù)時間較短的活動。 均勻分布的優(yōu)點在于產(chǎn)生隨機數(shù)方便（甚

8、至可以用骰子模擬），很多軟件開發(fā)工具提供的隨機數(shù)函數(shù)都直接產(chǎn)生區(qū)間0,1上的均勻分布，是產(chǎn)生其它復(fù)雜概率分布的基礎(chǔ),1.3）三角形分布（triangular distribution） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) a稱之為下限，b稱之為上限，c稱之為眾數(shù),令a =7，b =17，c =11，使用三角形分布來模擬案例1中的零件采購時間，得到概率分布函數(shù)圖為,與上述三角形分布的概率密度函數(shù)圖 對應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,三角形分布總結(jié)： 三角形分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗分布的很接近，但在變化趨勢上存在著一定的誤差。 在仿真類過程模型中，三角形分布經(jīng)常被用于模擬生產(chǎn)活動時間

9、，但不如正態(tài)分布應(yīng)用得多。 相對于正態(tài)分布，三角形分布的優(yōu)點在于計算相對簡單，并且可以描述概率密度函數(shù)出現(xiàn)“偏心”的情況,1.4）正態(tài)分布（normal distribution） 正態(tài)分布又名高斯分布（Gaussian distribution），是數(shù)學(xué)、物理和工程領(lǐng)域應(yīng)用得非常廣泛的一種概率分布，其定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 其中，參數(shù)為概率分布的均值，為概率分布的標準差,卡爾弗里德里希高斯（C. F. Gauss） （1977-1855）德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一。 高斯在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。除

10、了計算出標準正態(tài)分布之外，高斯還發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，證明了數(shù)論中的二次互反律，提出了微分幾何中的正投影理論等等，貢獻十分之多。 為了紀念高斯，1989年至2001年流通的10元德國馬克紙幣上印有高斯的肖像,以兩種參數(shù)對案例1中的零件采購時間進行模擬，得到概率密度函數(shù)圖為 案例1中170次采購時間的均值是11.49天，標準差是2.57，以此構(gòu)造正態(tài)分布記作正態(tài)分布1； 以均值11、標準差1.8構(gòu)造正態(tài)分布記作正態(tài)分布2,與上述正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖 對應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,正態(tài)分布總結(jié)： 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗分布的很接近，比三角形函數(shù)的誤差還小，但不適合描述分布的

11、“偏心”情況。 不一定是與樣本數(shù)據(jù)的均值和標注差一致正態(tài)分布擬合的最好，實際中往往需要反復(fù)調(diào)整參數(shù)來追求更高的擬合效果，是個優(yōu)化問題，常用統(tǒng)計軟件提供相關(guān)的優(yōu)化功能。 在仿真類過程模型中，正態(tài)分布經(jīng)常被用于模擬生產(chǎn)活動時間，是應(yīng)用得最多的一種標準分布,1.5）指數(shù)分布（exponential distribution） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 指數(shù)分布也稱作負指數(shù)分布，常用來描述連續(xù)兩次事件之間的時間間隔，參數(shù)表示事件發(fā)生的平均頻率，既是函數(shù)的均值，也是方差,案例1中170次采購時間的均值是11.49天， 以1/11.49為構(gòu)造指數(shù)函數(shù)， 則概率密度函數(shù)圖為,與上述指數(shù)分布的概率密

12、度函數(shù)圖 對應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,指數(shù)分布總結(jié)： 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗分布差異非常大，但由于其良好的計算特性，能夠極大地簡化多個指數(shù)分布函數(shù)之間的合并運算，因此仍廣泛地應(yīng)用于以排隊網(wǎng)絡(luò)為代表的分析類模型中。 指數(shù)分布僅在活動持續(xù)時間較短的情況下模擬誤差較小，對于案例1這種誤差較大的情況，實際應(yīng)用時也常使用（常數(shù)+指數(shù)分布）的方式模擬，如下,將案例1中的生產(chǎn)活動時間用（常數(shù)10 + 參數(shù)為3.5的指數(shù)分布）模擬， 得到概率密度函數(shù)圖為,與上述（固定值 + 指數(shù)分布概率密度）函數(shù)圖 對應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,1.6）愛爾朗分布（Erlang distribution）

13、 愛爾朗分布按階次分類，k階愛爾朗分布的概率密度函數(shù)為 一階愛爾朗分布為指數(shù)分布，即指數(shù)分布為愛爾朗分布的特例；而30階以上的愛爾朗分布近似于正態(tài)分布,與指數(shù)分布類似，愛爾朗分布在排隊理論中也有一定的應(yīng)用： 案例1：k個服務(wù)臺串行處理1件任務(wù)，各個服務(wù)臺的服務(wù)時間相互獨立，并且都服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，則k個服務(wù)臺的總服務(wù)時間服從k階愛爾朗分布。 案例2：k個串行完成的任務(wù)在1個服務(wù)臺處理，各個任務(wù)的服務(wù)時間相互獨立，并且都服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，則k個任務(wù)的總服務(wù)時間服從k階愛爾朗分布,2）對事件發(fā)生頻率的模擬 除模擬活動時間之外，離散事件動態(tài)系統(tǒng)中另一個需要模擬的重要對象是事件發(fā)生的頻率，

14、例如訂單的到達頻率、不合格品出現(xiàn)的頻率等。 除了（2.1）經(jīng)驗分布外，通常情況下，事件的發(fā)生與否可以看做是重復(fù)n次的伯努利試驗，則事件的發(fā)生概率服從（2.2）二項分布； 當實驗次數(shù)很大，并且事件的發(fā)生概率很低時，二項分布又近似等于（2.3）泊松分布,2.2）二項分布（binomial distribution） 二項分布用于表達n次試驗中正好得到k次成功的概率，因此常用于模擬每批產(chǎn)品中的不合格品數(shù)量（第3.3節(jié)）。 其概率密度函數(shù)為 累積分布函數(shù)為,2.3）泊松分布（Poisson distribution） 在二項分布的伯努利試驗中，如果試驗次數(shù)n很大，二項分布的概率p很小，且乘積=np比較

15、適中，則事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率可以用泊松分布來逼近。事實上，二項分布可以看作泊松分布在離散時間上的對應(yīng)物。 由于泊松分布比二項分布計算簡單些，在制造系統(tǒng)建模的實際應(yīng)用中經(jīng)常代替二項分布。特別是對一段時間內(nèi)某事件發(fā)生頻率的模擬，泊松分布比二項分布也更符合實際情況，例如對訂單到達頻率、設(shè)備故障頻率等事件的模擬,泊松分布的概率密度函數(shù)為 能夠證明，當某種事件在一段時間內(nèi)的發(fā)生頻率服從泊松分布時，這些事件的發(fā)生間隔時間服從指數(shù)分布。 上述性質(zhì)使得泊松分布經(jīng)常在排隊網(wǎng)絡(luò)模型中用于模擬訂單或顧客的到達頻率,西莫恩德尼泊松（Simeon Denis Poisson） （1781-1840），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)

16、家和力學(xué)家,泊松最重要的貢獻即為提出描述隨機現(xiàn)象的一種常用分布泊松分布； 在固體力學(xué)領(lǐng)域，泊松以材料的橫向變形系數(shù)泊松比而知名； 除此之外，泊松還解決了許多熱傳導(dǎo)、靜電學(xué)、靜磁學(xué)和引力學(xué)等方面的問題； 在光的波動說驗證實驗中出現(xiàn)于圓板陰影中央的亮斑也以他命名,3）對資源消耗量的模擬 相對于活動持續(xù)時間和事件發(fā)生頻率，制造系統(tǒng)中資源的消耗相對穩(wěn)定（例如一個零件總是固定需要一套毛坯），因此采用概率函數(shù)進行模擬的相關(guān)研究較少。 對于存在不確定性的資源消耗（例如原料的采購價格存在浮動），常用的模擬手段即為均值，也有一些研究使用（3.1）經(jīng)驗分布、（3.2）均勻分布或（3.3）正態(tài)分布進行模擬,直接測量

17、數(shù)據(jù)的建模方法： （1）對于活動持續(xù)時間的模擬： 經(jīng)驗分布；均勻分布；三角形分布；正態(tài)分布；指數(shù)分布；愛爾朗分布。 （2）對于事件發(fā)生概率的模擬： 經(jīng)驗分布；二項分布（常用于模擬不合格品數(shù)量）；泊松分布（常用于模擬訂單或客戶的達到頻率）。 （3）對于資源消耗量的模擬： 均值；經(jīng)驗分布；均勻分布；正態(tài)分布,直接測量數(shù)據(jù)模型的評價： 除了經(jīng)驗分布直接依據(jù)樣本數(shù)據(jù)產(chǎn)生外，各種標準分布都是對樣本數(shù)據(jù)的一個近似模擬，即用一個連續(xù)的函數(shù)擬合一系列離散的點，函數(shù)曲線與離散點的差異大小即為模型好壞的評價標準。 上述評價問題稱為：擬合優(yōu)度檢驗。 例如實驗設(shè)計中提及的正態(tài)分布擬合質(zhì)量的檢驗方法：卡方檢驗,擬合優(yōu)度

18、檢驗：判斷某標準分布符合一組樣本數(shù)據(jù)。 常用方法（SPSS等常用統(tǒng)計軟件提供）： K-S檢驗（Kolmogorov-Smirnov test）， 音譯作科爾莫格洛夫-斯莫洛夫檢驗； A-D檢驗（Anderson-Darling test）， 音譯作安德森-達林檢驗,實際數(shù)據(jù)的采集： 實際生產(chǎn)中使用操作指示單（又稱作業(yè)票）記錄和管理生產(chǎn)數(shù)據(jù)。樣單舉例如下圖,從操作指示單中采集的最重要數(shù)據(jù)是實動工時，是制造系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。采集時可根據(jù)操作指示單的下發(fā)與回收時間計算。 其次重要的是合格品數(shù)。由于不合格品率通常很低，多數(shù)時候合格品數(shù)即為原料數(shù)量，需要額外記錄這個數(shù)據(jù)的時候很少,管理信息系統(tǒng)簡化并加

19、快了數(shù)據(jù)采集工作,虛擬數(shù)據(jù)的產(chǎn)生： 在利用制造系統(tǒng)模型進行仿真預(yù)測時，很多情況下，僅根據(jù)采集到的實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)難以構(gòu)造出足夠數(shù)量或多樣化的實驗數(shù)據(jù)，這時可以參照采集到的實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，構(gòu)造虛擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)用于仿真。 通常的步驟為 （1）采集實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)； （2）將實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成經(jīng)驗分布或某種標準分布； （3）利用經(jīng)驗或標準分布產(chǎn)生虛擬生產(chǎn)數(shù)據(jù),利用經(jīng)驗或標準分布產(chǎn)生虛擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)： 首先利用均勻分布產(chǎn)生0-1之間的隨機數(shù)， 之后以上述隨機數(shù)為變量，求經(jīng)驗概率函數(shù)的反函數(shù),第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析 7.1 直接測量數(shù)據(jù)模型 7.2 間接計算數(shù)據(jù)模型 7.3 預(yù)測數(shù)據(jù)模型,7.2 間接計算數(shù)據(jù)模型,

20、在制造系統(tǒng)中，間接計算得到數(shù)據(jù)主要是投入資源（設(shè)備、能源、資金等）與獲得收益（產(chǎn)量增加、生產(chǎn)周期縮短、不合格品率降低等）之間的關(guān)系。這些關(guān)系數(shù)據(jù)無法直接測量，而是通過其它直接測量數(shù)據(jù)建立起關(guān)系模型，間接計算解得。 用于描述數(shù)據(jù)之間關(guān)系的常用模型是多項式模型，相關(guān)的建模與分析工作稱為回歸分析。回顧實驗設(shè)計中回歸分析的分類： 一元線性回歸；一元非線性回歸； 多元線性回歸；多元非線性回歸,一元線性回歸的應(yīng)用案例： 當某種零件僅需單個工人生產(chǎn)時，其產(chǎn)量通常與生產(chǎn)人數(shù)呈線性關(guān)系,案例1：某散熱器生產(chǎn)車間采用手工方式處理串片工序，該工序配置人數(shù)與串片數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系經(jīng)測量如下表，求工人人數(shù)與日串片量的關(guān)系,

21、案例1，解題思路： （1）建立線性方程 （2）以b為決策變量，以總殘差最小為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型求解； （3）對于一元線性回歸，可使用正規(guī)方程組（參考實驗設(shè)計回歸分析章節(jié)）求解，也可使用優(yōu)化工具求解，解得b =810,一元非線性回歸的應(yīng)用案例： 當一個大型產(chǎn)品需要多個工人同時裝配時，其生產(chǎn)速度與工人人數(shù)往往呈非線性關(guān)系。 案例2：某壓縮機裝配人數(shù)與日產(chǎn)量關(guān)系如下表所示，求工人人數(shù)與日產(chǎn)量之間的關(guān)系,案例2，解題思路： （1）建立一元二次方程 （2）以a, b1, b2為決策變量，以總殘差最小為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型求解； （3）對于一元非線性回歸，可使用多項式回歸、坐標系變換等方法求解，也可使用優(yōu)化工具求解,多元線性回歸的應(yīng)用案例： 在有足夠多的記錄數(shù)據(jù)的支持下，多元線性回歸建?？梢蕴幚矶鄠€生產(chǎn)環(huán)節(jié)共用一個測量工具情況下的分析問題,案例3：3臺設(shè)備共用一個電表記錄耗電量，各個設(shè)備的每周生產(chǎn)時間有明顯差異。假設(shè)3臺設(shè)備生產(chǎn)時的平均功率都穩(wěn)定，求各個設(shè)備的平均功率,案例3，解題思路： 設(shè)周耗電為y，各設(shè)備周生產(chǎn)時間x1，x2和x3， 各設(shè)備平均功率為b1，b2和b3千瓦/小時， 建立回歸方程y=b1x1+b2x2+b3x3， 記錄3周以