(完整版)二次函數(shù)壓軸題解題思路(含答案),推薦文檔

1、二次函數(shù)壓軸題解題思路一基礎(chǔ)知識1 會求解析式2. 會利用函數(shù)性質(zhì)和圖像3. 相關(guān)知識：如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)、方程。圖形中的三角形、四邊形、圓及平行線、垂直。一些方法：如相似、三角函數(shù)、解方程。一些轉(zhuǎn)換：如軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)二典型例題（一）面積類1如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) a（1，0）、b（3，0）、c（0，3）三點(diǎn)（1） 求拋物線的解析式（2） 點(diǎn) m 是線段 bc 上的點(diǎn)（不與 b，c 重合），過 m 作 mny 軸交拋物線于 n，若點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為 m，請用 m 的代數(shù)式表示 mn 的長（3） 在（2）的條件下，連接 nb、nc，是否存在 m，使

2、bnc 的面積最大？若存在，求m 的值；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題 專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合 分析：（1） 已知了拋物線上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式（2） 先利用待定系數(shù)法求出直線 bc 的解析式，已知點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)，代入直線 bc、拋物線的解析式中，可得到 m、n 點(diǎn)的坐標(biāo)，n、m 縱坐標(biāo)的差的絕對值即為 mn 的長（3） 設(shè) mn 交 x 軸 于 d， 那 么 bnc 的 面 積 可 表 示 為 ：sbnc=smnc+smnb=mn（od+db）=mnob，mn 的表達(dá)式在（2）中已求得，ob 的長易知，由此列出關(guān)于 sbnc、m 的函數(shù)關(guān)系式，根

3、據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出bnc 是否具有最大值 解答：- 34 -解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x3），則：a（0+1）（03）=3，a=1；拋物線的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3，解得（2） 設(shè)直線 bc 的解析式為：y=kx+b，則有：；故直線 bc 的解析式：y=x+3已知點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為 m，mny，則 m（m，m+3）、n（m，m2+2m+3）；故 mn=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）（3） 如圖；sbnc=smnc+smnb=mn（od+db）=mnob，sbnc=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）；當(dāng) m=時，bnc 的面積最

4、大，最大值為2. 如圖，拋物線 的圖象與 x 軸交于 a、b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 c點(diǎn)，已知 b 點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）（1） 求拋物線的解析式；（2） 試探究abc 的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3） 若點(diǎn) m 是線段 bc 下方的拋物線上一點(diǎn)，求mbc 的面積的最大值，并求出此時 m點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將 b 點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可（2） 首先根據(jù)拋物線的解析式確定 a 點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明abc 是直角三角形來推導(dǎo)出直徑 ab 和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)（3） mbc 的面積可由 smbc=bch

5、表示，若要它的面積最大，需要使 h 取最大值， 即點(diǎn) m 到直線 bc 的距離最大，若設(shè)一條平行于 bc 的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時，該交點(diǎn)就是點(diǎn) m解答：解：（1）將 b（4，0）代入拋物線的解析式中，得：0=16a42，即：a=；拋物線的解析式為：y=x2x2（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：a（1，0）、c（0，2）；oa=1，oc=2，ob=4，即：oc2=oaob，又：ocab，oacocb，得：oca=obc；acb=oca+ocb=obc+ocb=90，abc 為直角三角形，ab 為abc 外接圓的直徑； 所以該外接圓的圓心為 ab 的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0）

6、（3）已求得：b（4，0）、c（0，2），可得直線 bc 的解析式為：y=x2；設(shè)直線 lbc，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線 l 與拋物線只有一個交點(diǎn)時， 可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44（2b）=0，即 b=4；直線 l：y=x4所以點(diǎn) m 即直線 l 和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：即m（2，3）過 m 點(diǎn)作 mnx 軸于 n，sbmc=s 梯形ocmn+smnbsocb=2（2+3）+2324=4（二）周長類3. 如圖，rtabo 的兩直角邊 oa、ob 分別在 x 軸的負(fù)半軸和 y 軸的正半軸上，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（

7、3，0）、（0，4），拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) b，且頂點(diǎn)在直線 x=上（1） 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2） 若把a(bǔ)bo 沿 x 軸向右平移得到dce，點(diǎn) a、b、o 的對應(yīng)點(diǎn)分別是 d、c、e，當(dāng)四邊形 abcd 是菱形時，試判斷點(diǎn) c 和點(diǎn) d 是否在該拋物線上，并說明理由；（3） 在（2）的條件下，連接 bd，已知對稱軸上存在一點(diǎn) p 使得pbd 的周長最小，求出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)；（4） 在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn) m 是線段 ob 上的一個動點(diǎn)（點(diǎn) m 與點(diǎn) o、b 不重合），過點(diǎn) m 作bd 交 x 軸于點(diǎn) n，連接 pm、pn，設(shè) om 的長為 t，pmn 的面積為

8、 s，求 s 和 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t 的取值范圍，s 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時 m 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)拋物線 y= 經(jīng)過點(diǎn) b（0，4），以及頂點(diǎn)在直線 x=上，得出 b，c 即可；（2） 根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 c、d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出 x=5 或 2 時，y 的值即可（3） 首先設(shè)直線 cd 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b，求出解析式，當(dāng) x=時，求出 y 即可；（4） 利用 mnbd，得出omnobd，進(jìn)而得出，得到 on=，進(jìn)而表示出pmn 的面積，

9、利用二次函數(shù)最值求出即可解答：解：（1）拋物線 y= 經(jīng)過點(diǎn) b（0，4）c=4，頂點(diǎn)在直線 x=上，=，b= ；所求函數(shù)關(guān)系式為；（2） 在 rtabo 中，oa=3，ob=4，ab=，四邊形 abcd 是菱形，bc=cd=da=ab=5，c、d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），當(dāng) x=5 時，y= ，當(dāng) x=2 時，y= ，點(diǎn) c 和點(diǎn) d 都在所求拋物線上；（3） 設(shè) cd 與對稱軸交于點(diǎn) p，則 p 為所求的點(diǎn)， 設(shè)直線 cd 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b，則，解得：， ， 當(dāng) x=時，y=，p（），（4） mnbd，omnobd，即得 on=， 設(shè)對稱軸交 x 于點(diǎn) f，

10、則（pf+om）of=（+t） ， ，spnf=nfpf=（t）= ，s= （），= （0t4），a=0拋物線開口向下，s 存在最大值 由 spmn=t2+t=（t ）2+，當(dāng) t=時，s 取最大值是，此時，點(diǎn) m 的坐標(biāo)為（0，）（三）平行四邊形類4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=x2+mx+n 經(jīng)過點(diǎn) a（3，0）、b（0，3），點(diǎn) p是直線 ab 上的動點(diǎn)，過點(diǎn) p 作 x 軸的垂線交拋物線于點(diǎn) m，設(shè)點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)為 t（1） 分別求出直線 ab 和這條拋物線的解析式（2） 若點(diǎn) p 在第四象限，連接 am、bm，當(dāng)線段 pm 最長時，求abm 的面積（3） 是否存在這樣的

11、點(diǎn) p，使得以點(diǎn) p、m、b、o 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式； 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定.專題：壓軸題；存在型 分析：（1） 分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把 a（3，0）b（0，3）分別代入y=x2+mx+n 與 y=kx+b，得到關(guān)于 m、n 的兩個方程組，解方程組即可；（2） 設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)是（t，t3），則 m（t，t22t3），用 p 點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去 m 的縱坐標(biāo)得到 pm 的長，即 pm=（t3）（t22t3）

12、=t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng) t=時，pm 最長為=，再利用三角形的面積公式利用 sabm=sbpm+sapm 計(jì)算即可；（3） 由 pmob，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng) pm=ob 時，點(diǎn) p、m、b、o 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng) p 在第四象限：pm=ob=3，pm 最長時只有，所以不可能；當(dāng) p 在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3；當(dāng) p 在第三象限： pm=ob=3，t23t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的 t 的值解答：解：（1）把 a（3，0）b（0，3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是 y=x22x

13、3設(shè)直線 ab 的解析式是 y=kx+b，把 a（3，0）b（0，3）代入 y=kx+b，得，解得， 所以直線 ab 的解析式是 y=x3；（2）設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)是（t，t3），則 m（t，t22t3），因?yàn)?p 在第四象限，所以 pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，當(dāng) t=時，二次函數(shù)的最大值，即 pm 最長值為=， 則 sabm=sbpm+sapm=（3）存在，理由如下：pmob，當(dāng) pm=ob 時，點(diǎn) p、m、b、o 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，當(dāng) p 在第四象限：pm=ob=3，pm 最長時只有，所以不可能有 pm=3當(dāng) p 在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3

14、，解得t1=，t2=（舍去），所以 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；當(dāng) p 在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，解得 t1=（舍去），t2=，所以 p點(diǎn)的橫坐標(biāo)是所以 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為 a（0，1），b（2，0）， o（0，0），將此三角板繞原點(diǎn) o 逆時針旋轉(zhuǎn) 90，得到abo（1） 一拋物線經(jīng)過點(diǎn) a、b、b，求該拋物線的解析式；（2） 設(shè)點(diǎn) p 是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn) p，使四邊形 pbab 的面積是abo 面積 4 倍？若存在，請求出 p 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3） 在（2）的條件下，試指出四邊形 pbab

15、是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形pbab 的兩條性質(zhì)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題分析：（1） 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 a（1，0），b（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2） 利用 s 四邊形pbab=sboa+spbo+spob，再假設(shè)四邊形 pbab 的面積是abo 面積的 4 倍，得出一元二次方程，得出 p 點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3） 利用 p 點(diǎn)坐標(biāo)以及 b 點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形 pbab 為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可解答：解：（1）abo 是由abo 繞原點(diǎn) o 逆時針旋轉(zhuǎn) 90得到的， 又 a（0，1），b（2，0），o（0，0），a（1，0），b（0，2）

16、方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a0），拋物線經(jīng)過點(diǎn) a、b、b，解得：，滿足條件的拋物線的解析式為 y=x2+x+2方法二：a（1，0），b（0，2），b（2，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x2）將 b（0，2）代入得出：2=a（0+1）（02），解得：a=1，故滿足條件的拋物線的解析式為 y=（x+1）（x2）=x2+x+2；（2） p 為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)， 設(shè) p（x，y），則 x0，y0，p 點(diǎn)坐標(biāo)滿足 y=x2+x+2連接 pb，po，pb，s 四邊形 pbab=sboa+spbo+spob，=12+2x+2y，=x+（x2+x+2）+1，=

17、x2+2x+3ao=1，bo=2，abo 面積為：12=1，假設(shè)四邊形 pbab 的面積是abo 面積的 4 倍，則4=x2+2x+3， 即 x22x+1=0， 解得：x1=x2=1，此時 y=12+1+2=2，即 p（1，2）存在點(diǎn) p（1，2），使四邊形 pbab 的面積是abo 面積的 4 倍（3） 四邊形 pbab 為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意 2 個均可等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；等腰梯形對角線相等；等腰梯形上底與下底平行；等腰梯形兩腰相等（10 分） 或用符號表示：bab=pba或abp=bpb；pa=bb；bpab；ba=pb（10 分）6. 如圖，拋物線 y=x

18、22x+c 的頂點(diǎn) a 在直線 l：y=x5 上（1） 求拋物線頂點(diǎn) a 的坐標(biāo)；（2） 設(shè)拋物線與 y 軸交于點(diǎn) b，與 x 軸交于點(diǎn) c、d（c 點(diǎn)在 d 點(diǎn)的左側(cè)），試判斷abd的形狀；（3） 在直線 l 上是否存在一點(diǎn) p，使以點(diǎn) p、a、b、d 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題；分類討論 分析：（1） 先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)，然后代入直線 l 的解析式中即可求出點(diǎn) a 的坐標(biāo)（2） 由 a 點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn) b 的坐標(biāo)則 ab、ad、bd 三邊的

19、長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀（3） 若以點(diǎn) p、a、b、d 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分ab 為對角線、ad 為對角線兩種情況討論，即adpb、ab pd，然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列方程求出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)解答：解：（1）頂點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)為 x=1，且頂點(diǎn) a 在 y=x5 上，當(dāng) x=1 時，y=15=4，a（1，4）（2） abd 是直角三角形將 a（1，4）代入 y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，b（0，3）當(dāng) y=0 時，x22x3=0，x1=1，x2=3c（1，0），d（3，0）， bd2=ob2+od2=18，ab2=（43）2+1

20、2=2，ad2=（31）2+42=20， bd2+ab2=ad2，abd=90，即abd 是直角三角形（3） 存在由題意知：直線 y=x5 交 y 軸于點(diǎn) e（0，5），交 x 軸于點(diǎn) f（5，0）oe=of=5， 又ob=od=3oef 與obd 都是等腰直角三角形bdl，即 pabd則構(gòu)成平行四邊形只能是 padb 或 pabd，如圖，過點(diǎn) p 作 y 軸的垂線，過點(diǎn) a 作 x 軸的垂線交過 p 且平行于 x 軸的直線于點(diǎn) g 設(shè) p（x1，x15），則 g（1，x15）則 pg=|1x1|，ag=|5x14|=|1x1| pa=bd=3 由勾股定理得：（1x ）2+（1x ）2=18，

21、x 22x 8=0，x =2 或 411111p（2，7）或 p（4，1），存在點(diǎn) p（2，7）或 p（4，1）使以點(diǎn) a、b、d、p 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（四）等腰三角形類7. 如圖，點(diǎn) a 在 x 軸上，oa=4，將線段 oa 繞點(diǎn) o 順時針旋轉(zhuǎn) 120至 ob 的位置（1） 求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 求經(jīng)過點(diǎn) a、o、b 的拋物線的解析式；（3） 在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn) p，使得以點(diǎn) p、o、b 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題；分類討論 分析：（1） 首先根據(jù) oa 的旋轉(zhuǎn)條件確定 b 點(diǎn)位置

22、，然后過 b 做 x 軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和 ob 的長（即 oa 長）確定 b 點(diǎn)的坐標(biāo)（2） 已知 o、a、b 三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式（3） 根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)，而o、b 坐標(biāo)已知，可先表示出opb 三邊的邊長表達(dá)式，然后分op=ob、op=bp、ob=bp 三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的 p點(diǎn) 解答：解：（1）如圖，過 b 點(diǎn)作 bcx 軸，垂足為 c，則bco=90，aob=120，boc=60，又oa=ob=4，oc=ob=4=2，bc=obsin60=4 =2，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為（2，2）

23、；（2） 拋物線過原點(diǎn) o 和點(diǎn) a、b，可設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx， 將 a（4，0），b（22）代入，得，解得，此拋物線的解析式為 y=x2+x（3） 存在，如圖，拋物線的對稱軸是直線 x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為 d，設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2，y），若 ob=op，則 22+|y|2=42，解得 y=2，當(dāng) y=2時，在 rtpod 中，pdo=90，sinpod=，pod=60，pob=pod+aob=60+120=180，即 p、o、b 三點(diǎn)在同一直線上，y=2 不符合題意，舍去，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2，2）若 ob=pb，則 42+|y+2|2=42， 解得 y=

24、2，故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2，2），若 op=bp，則 22+|y|2=42+|y+2|2， 解得 y=2，故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn) p 只有一個，其坐標(biāo)為（2，2），8. 在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板 abc 放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn) a（0，2），點(diǎn) c（1，0），如圖所示：拋物線 y=ax2+ax2 經(jīng)過點(diǎn) b（1） 求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；（3） 在拋物線上是否還存在點(diǎn) p（點(diǎn) b 除外），使acp 仍然是以 ac 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

25、專題：壓軸題分析：（1） 根據(jù)題意，過點(diǎn) b 作 bdx 軸，垂足為 d；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得 b 到 x、y 軸的距離，即 b 的坐標(biāo)；（2） 根據(jù)拋物線過 b 點(diǎn)的坐標(biāo)，可得 a 的值，進(jìn)而可得其解析式；（3） 首先假設(shè)存在，分 a、c 是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案解答：解：（1）過點(diǎn) b 作 bdx 軸，垂足為 d，bcd+aco=90，aco+cao=90，bcd=cao，（1 分）又bdc=coa=90，cb=ac，bcdcao，（2 分）bd=oc=1，cd=oa=2，（3 分）點(diǎn) b 的坐標(biāo)為（3，1）；（4 分）（2） 拋物線 y=ax2+ax2

26、經(jīng)過點(diǎn) b（3，1），則得到 1=9a3a2，（5 分）解得 a=，所以拋物線的解析式為 y=x2+x2；（7 分）（3） 假設(shè)存在點(diǎn) p，使得acp 仍然是以 ac 為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)；則延長 bc 至點(diǎn) p1，使得 p1c=bc，得到等腰直角三角形acp1，（8 分）過點(diǎn) p1 作 p1mx 軸，cp1=bc，mcp1=bcd，p1mc=bdc=90，mp1cdbc（10 分）cm=cd=2，p1m=bd=1，可求得點(diǎn) p1（1，1）；（11 分）若以點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn) a 作 ap2ca，且使得 ap2=ac，得到等腰直角三角形acp2，（12 分）

27、過點(diǎn) p2 作 p2ny 軸，同理可證ap2ncao，（13 分）np2=oa=2，an=oc=1，可求得點(diǎn) p2（2，1），（14 分）經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) p1（1，1）與點(diǎn) p2（2，1）都在拋物線 y=x2+x2 上（16 分）9. 在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn) a（0，2），點(diǎn) c（1，0），如圖所示，拋物線 y=ax2ax2 經(jīng)過點(diǎn) b（1） 求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；（3） 在拋物線上是否還存在點(diǎn) p（點(diǎn) b 除外），使acp 仍然是以 ac 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)

28、：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題 分析：（1） 首先過點(diǎn) b 作 bdx 軸，垂足為 d，易證得bdccoa，即可得bd=oc=1，cd=oa=2，則可求得點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3） 分別從以 ac 為直角邊，點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)，則延長 bc 至點(diǎn) p1 使得 p1c=bc，得到等腰直角三角形 acp1，過點(diǎn) p1 作 p1mx 軸，若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn) a 作 ap2ca，且使得 ap2=ac，得到等腰直角三角形 acp2，過點(diǎn) p2 作 p2ny 軸，若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn) a

29、作 ap3ca，且使得 ap3=ac，得到等腰直角三角形 acp3，過點(diǎn) p3 作 p3hy 軸，去分析則可求得答案解答：解：（1）過點(diǎn) b 作 bdx 軸，垂足為 d，bcd+aco=90，ac0+oac=90，bcd=cao，又bdc=coa=90，cb=ac，bdccoa，bd=oc=1，cd=oa=2，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為（3，1）；（2）拋物線 y=ax2ax2 過點(diǎn) b（3，1），1=9a3a2， 解得：a=，拋物線的解析式為 y=x2x2；（3）假設(shè)存在點(diǎn) p，使得acp 是等腰直角三角形，若以 ac 為直角邊，點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)，則延長 bc 至點(diǎn) p1 使得 p1c=bc，得到等

30、腰直角三角形 acp1，過點(diǎn) p1 作 p1mx 軸，如圖（1），cp1=bc，mcp1=bcd，p1mc=bdc=90，mp1cdbc，cm=cd=2，p1m=bd=1，p1（1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn) p1 在拋物線 y=x2x2 上；若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn) a 作 ap2ca，且使得 ap2=ac， 得到等腰直角三角形 acp2，過點(diǎn) p2 作 p2ny 軸，如圖（2），同理可證ap2ncao，np2=oa=2，an=oc=1，p2（2，1），經(jīng)檢驗(yàn) p2（2，1）也在拋物線 y=x2x2 上；若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn) a 作 ap3ca，且使得

31、 ap3=ac， 得到等腰直角三角形 acp3，過點(diǎn) p3 作 p3hy 軸，如圖（3），同理可證ap3hcao，hp3=oa=2，ah=oc=1，p3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn) p3（2，3）不在拋物線 y=x2x2 上；故符合條件的點(diǎn)有 p1（1，1），p2（2，1）兩點(diǎn)（五）綜合類10. 如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的圖象與 x 軸的一個交點(diǎn)為 b（5，0），另一個交點(diǎn)為 a，且與 y 軸交于點(diǎn) c（0，5）（1） 求直線 bc 與拋物線的解析式；（2） 若點(diǎn) m 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動點(diǎn)，過點(diǎn) m 作 mny 軸交直線 bc 于點(diǎn)n，求 mn 的最大值；（3） 在（2）的

32、條件下，mn 取得最大值時，若點(diǎn) p 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點(diǎn)， 以 bc 為邊作平行四邊形 cbpq，設(shè)平行四邊形 cbpq 的面積為 s1，abn 的面積為 s2， 且 s1=6s2，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題分析：（1）設(shè)直線 bc 的解析式為 y=mx+n，將 b（5，0），c（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線 bc 的解析式；同理，將 b（5，0），c（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2） mn 的長是直線 bc 的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于 mn 的長和

33、m 點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 mn 的最大值；（3） 先求出abn 的面積 s2=5，則 s1=6s2=30再設(shè)平行四邊形 cbpq 的邊 bc 上的高為bd，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出 bd=3，過點(diǎn) d 作直線 bc 的平行線，交拋物線與點(diǎn) p，交 x 軸于點(diǎn) e，在直線 de 上截取 pq=bc，則四邊形 cbpq 為平行四邊形證明 ebd 為等腰直角三角形，則 be=bd=6，求出 e 的坐標(biāo)為（1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 pq 的解析式為 y=x1，然后解方程組，即可求出點(diǎn) p 的坐標(biāo) 解答：解：（1）設(shè)直線 bc 的解析式為 y=mx+n， 將 b（5，

34、0），c（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線 bc 的解析式為 y=x+5；將 b（5，0），c（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為 y=x26x+5；（2）設(shè) m（x，x26x+5）（1x5），則 n（x，x+5），mn=（x+5）（x26x+5）=x2+5x=（x）2+ ，當(dāng) x=時，mn 有最大值；（3）mn 取得最大值時，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即n（2.5，2.5）解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5，a（1，0），b（5，0），ab=51=4，abn 的面積 s2=42.5=5，平行四邊形 cbpq 的面積 s

35、1=6s2=30設(shè)平行四邊形 cbpq 的邊 bc 上的高為 bd，則 bcbdbc=5 ，bcbd=30，bd=3 過點(diǎn) d 作直線 bc 的平行線，交拋物線與點(diǎn) p，交 x 軸于點(diǎn) e，在直線 de 上截取pq=bc，則四邊形 cbpq 為平行四邊形bcbd，obc=45，ebd=45，ebd 為等腰直角三角形，be=bd=6，b（5，0），e（1，0），設(shè)直線 pq 的解析式為 y=x+t，將 e（1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=1直線 pq 的解析式為 y=x1解方程組，得，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 p1（2，3）（與點(diǎn) d 重合）或 p2（3，4）11. 如圖，拋物線 y=ax2+b

36、x+c（a0）的圖象過點(diǎn) c（0，1），頂點(diǎn)為 q（2，3），點(diǎn) d 在 x 軸正半軸上，且 od=oc（1） 求直線 cd 的解析式；（2） 求拋物線的解析式；（3） 將直線 cd 繞點(diǎn) c 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn) e，求證：ceqcdo；（4） 在（3）的條件下，若點(diǎn) p 是線段 qe 上的動點(diǎn)，點(diǎn) f 是線段 od 上的動點(diǎn)，問：在p 點(diǎn)和 f 點(diǎn)移動過程中，pcf 的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題分析：（1） 利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2） 利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3） 關(guān)

37、鍵是證明ceq 與cdo 均為等腰直角三角形；（4） 如答圖所示，作點(diǎn) c 關(guān)于直線 qe 的對稱點(diǎn) c，作點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn) c，連接 cc，交 od 于點(diǎn) f，交 qe 于點(diǎn) p，則pcf 即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，pcf 的周長等于線段 cc的長度利用軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時pcf 的周長最小如答圖所示，利用勾股定理求出線段 cc的長度，即pcf 周長的最小值 解答：解：（1）c（0，1），od=oc，d 點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）設(shè)直線 cd 的解析式為 y=kx+b（k0），將 c（0，1），d（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直

38、線 cd 的解析式為：y=x+1（2） 設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x2）2+3，將 c（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得 a= y= （x2）2+3= x2+2x+1（3） 證明：由題意可知，ecd=45，oc=od，且 ocod，ocd 為等腰直角三角形，odc=45，ecd=odc，cex 軸，則點(diǎn) c、e 關(guān)于對稱軸（直線 x=2）對稱，點(diǎn) e 的坐標(biāo)為（4，1）如答圖所示，設(shè)對稱軸（直線 x=2）與 ce 交于點(diǎn) m，則 m（2，1），me=cm=qm=2，qme 與qmc 均為等腰直角三角形，qec=qce=45 又ocd 為等腰直角三角形，odc=ocd=45，qec=q

39、ce=odc=ocd=45，ceqcdo（4） 存在如答圖所示，作點(diǎn) c 關(guān)于直線 qe 的對稱點(diǎn) c，作點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn) c，連接cc，交 od 于點(diǎn) f，交 qe 于點(diǎn) p，則pcf 即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，pcf 的周長等于線段 cc的長度（證明如下：不妨在線段 od 上取異于點(diǎn) f 的任一點(diǎn) f，在線段 qe 上取異于點(diǎn) p 的任一點(diǎn) p，連接 fc，fp，pc由軸對稱的性質(zhì)可知，pcf的周長=fc+fp+pc； 而 fc+fp+pc是點(diǎn) c，c之間的折線段，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：fc+fp+pccc， 即pcf的周長大于pce 的周長）如答圖

40、所示，連接 ce，c，c關(guān)于直線 qe 對稱，qce 為等腰直角三角形，qce 為等腰直角三角形，cec為等腰直角三角形，點(diǎn) c的坐標(biāo)為（4，5）；c，c關(guān)于 x 軸對稱，點(diǎn) c的坐標(biāo)為（0，1）過點(diǎn) c作 cny 軸于點(diǎn) n，則 nc=4，nc=4+1+1=6，在 rtcnc中，由勾股定理得：cc= 綜上所述，在 p 點(diǎn)和 f 點(diǎn)移動過程中，pcf 的周長存在最小值，最小值為12. 如圖，拋物線與 x 軸交于 a（1，0）、b（3，0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 d（1） 求該拋物線的解析式與頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)（2） 試判斷bcd 的形狀，并說明理由（3） 探究坐標(biāo)

41、軸上是否存在點(diǎn) p，使得以 p、a、c 為頂點(diǎn)的三角形與bcd 相似？若存在，請直接寫出點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題分析：（1） 利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2） 利用勾股定理求得bcd 的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3） 分 p 在 x 軸和 y 軸兩種情況討論，舍出 p 的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c由拋物線與 y 軸交于點(diǎn) c（0，3），可知 c=3即拋物線的解析式為 y=ax2+bx+3把點(diǎn) a（1，0）、點(diǎn) b（3，0）代入，得解得 a=

42、1，b=2拋物線的解析式為 y=x22x+3y=x22x+3=（x+1）2+4頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)為（1，4）；（2） bcd 是直角三角形理由如下：解法一：過點(diǎn) d 分別作 x 軸、y 軸的垂線，垂足分別為 e、f在 rtboc 中，ob=3，oc=3，bc2=ob2+oc2=18在 rtcdf 中，df=1，cf=ofoc=43=1，cd2=df2+cf2=2在 rtbde 中，de=4，be=oboe=31=2，bd2=de2+be2=20bc2+cd2=bd2bcd 為直角三角形解法二：過點(diǎn) d 作 dfy 軸于點(diǎn) f 在 rtboc 中，ob=3，oc=3ob=ococb=45在 rtc

43、df 中，df=1，cf=ofoc=43=1df=cfdcf=45bcd=180dcfocb=90bcd 為直角三角形（3） bcd 的三邊，=，又 =，故當(dāng) p 是原點(diǎn) o 時，acpdbc；當(dāng) ac 是直角邊時，若 ac 與 cd 是對應(yīng)邊，設(shè) p 的坐標(biāo)是（0，a），則 pc=3a，=，即=，解得：a=9，則 p 的坐標(biāo)是（0，9），三角形 acp 不是直角三角形，則acpcbd 不成立；當(dāng) ac 是直角邊，若 ac 與 bc 是對應(yīng)邊時，設(shè) p 的坐標(biāo)是（0，b），則 pc=3b，則=，即=，解得：b=，故 p 是（0，）時，則acpcbd 一定成立；當(dāng) p 在 x 軸上時，ac 是直

44、角邊，p 一定在 b 的左側(cè)，設(shè) p 的坐標(biāo)是（d，0）則 ap=1d，當(dāng) ac 與 cd 是對應(yīng)邊時，=，即=，解得：d=13，此時，兩個三角形不相似；當(dāng) p 在 x 軸上時，ac 是直角邊，p 一定在 b 的左側(cè)，設(shè) p 的坐標(biāo)是（e，0）則 ap=1e，當(dāng) ac 與 dc 是對應(yīng)邊時，=，即=，解得：e=9，符合條件總之，符合條件的點(diǎn) p 的坐標(biāo)為：三對應(yīng)練習(xí)13. 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 a、b 兩點(diǎn)，過點(diǎn) a 的直線 l 與拋物線交于點(diǎn) c，其中 a 點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），c 點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）（1） 求拋物線的解析式；（2） 在（1）中拋物線的對稱軸

45、上是否存在點(diǎn) d，使bcd 的周長最??？若存在，求出點(diǎn)d 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3） 若點(diǎn) e 是（1）中拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于直線 ac 的下方，試求ace 的最大面積及 e 點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題 分析：（1） 利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2） 利用待定系數(shù)法求出直線 ac 的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線ac 與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) d；（3） 根據(jù)直線 ac 的解析式，設(shè)出過點(diǎn) e 與 ac 平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程，利用根的判別式=0 時，ace 的面積最大

46、，然后求出此時與 ac 平行的直線，然后求出點(diǎn) e 的坐標(biāo)，并求出該直線與 x 軸的交點(diǎn) f 的坐標(biāo)，再求出 af，再根據(jù)直線 l 與 x 軸的夾角為 45求出兩直線間的距離，再求出 ac 間的距離， 然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解解答：解：（1）拋物線 y=ax2+bx+3 經(jīng)過點(diǎn) a（1，0），點(diǎn) c（4，3），解得，所以，拋物線的解析式為 y=x24x+3；（2） 點(diǎn) a、b 關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn) d 為 ac 與對稱軸的交點(diǎn)時bcd 的周長最小， 設(shè)直線 ac 的解析式為 y=kx+b（k0），則，解得，所以，直線 ac 的解析式為 y=x1，y=x24x+3=（x2）21，拋

47、物線的對稱軸為直線 x=2， 當(dāng) x=2 時，y=21=1，拋物線對稱軸上存在點(diǎn) d（2，1），使bcd 的周長最??；（3） 如圖，設(shè)過點(diǎn) e 與直線 ac 平行線的直線為 y=x+m， 聯(lián)立 ，消掉 y 得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即 m=時，點(diǎn) e 到 ac 的距離最大，ace 的面積最大， 此時 x=，y=，點(diǎn) e 的坐標(biāo)為（，），設(shè)過點(diǎn) e 的直線與 x 軸交點(diǎn)為 f，則 f（，0），af= 1=，直線 ac 的解析式為 y=x1，cab=45，點(diǎn) f 到 ac 的距離為=， 又ac=3，ace 的最大面積=3=，此時 e 點(diǎn)坐標(biāo)為（，）14. 如圖，已知拋物線

48、 y=x2+bx+4 與 x 軸相交于 a、b 兩點(diǎn)，與 y 軸相交于點(diǎn) c，若已知a 點(diǎn)的坐標(biāo)為 a（2，0）（1） 求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（2） 求點(diǎn) c 的坐標(biāo)，連接 ac、bc 并求線段 bc 所在直線的解析式；（3） 試判斷aoc 與cob 是否相似？并說明理由；（4） 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) q，使acq 為等腰三角形？若存在，求出符合條件的 q 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式 x= 求出對稱軸方程；（2） 在拋物線解析式中，令 x=0，可求出點(diǎn) c 坐標(biāo)；令 y=0

49、，可求出點(diǎn) b 坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求出直線 bd 的解析式；（3） 根據(jù)，aoc=boc=90，可以判定aoccob；（4） 本問為存在型問題若acq 為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論， 逐一計(jì)算，避免漏解解答：解：（1）拋物線 y=x2+bx+4 的圖象經(jīng)過點(diǎn) a（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，拋物線解析式為 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+ ，對稱軸方程為：x=3（2）在 y=x2+x+4 中，令 x=0，得 y=4，c（0，4）；令 y=0，即x2+x+4=0，整理得 x26x16=0，解得：x=8 或 x=2，a（2，0），b（8，0）設(shè)直線 bc 的解析式為 y=kx+b，把 b（8，0），c（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得 k= ，b=4，直線 bc 的解析式為：y= x+4（3） 可判定aoccob 成立 理由如下：在aoc 與cob 中，oa=2，oc=4，ob=8，又aoc=boc=90，aoccob（4） 拋物線的對稱軸方程為：x=3， 可設(shè)點(diǎn) q（3，t），則可求得：ac= ，aq=，cq=i）