信號與系統：拉氏變換習題集1 (1)

1、拉普拉斯變換習題,1,拉普拉斯變換,1. 求函數 的拉氏變換,a. 解：利用定義,ROC,2,拉普拉斯變換,b. 解：利用性質,3,ROC不變,及,ROC不變,ROC,拉普拉斯變換,2. 求函數 的拉氏變換,a. 解,4,拉普拉斯變換,3. 求函數 的拉氏變換,解,5,拉普拉斯變換,4. 求函數 的拉氏變換,解,6,拉普拉斯變換,5. 求如圖9-2(a)所示的三角脈沖函數 的拉氏變換,9-2（a,7,a. 解：利用定義,ROC：整個s平面,拉普拉斯變換,8,b. 解：利用線性疊加和時移性質求解,由于,ROC,9,因此,ROC：整個s平面,拉普拉斯變換,拉普拉斯變換,10,6. 已知,求下列的拉

2、普拉斯變換,解：(1)和(2)的單邊拉氏變換相同,拉普拉斯變換,11,拉普拉斯反變換,7.求 的拉普拉斯逆變換,解,12,拉普拉斯反變換,8.求 的拉普拉斯逆變換,解,13,拉普拉斯反變換,9.求 的原函數,將F(s)的分母因式分解為,查表可求得原函數為,解,14,拉普拉斯反變換,10.求 的原函數,將F(s)的分母因式分解為,解,查表可求得原函數為,15,拉普拉斯變換應用,16,已知,解：對方程組兩邊應用單邊拉式變換得,解得,因此,拉普拉斯變換應用,17,解,拉普拉斯變換應用,18,拉普拉斯變換應用,19,19,13.電路如圖所示，已知,解,電路的微分方程為,對微分方程進行拉氏變換，得,代入

3、參數得,又,拉普拉斯變換應用,20,20,所以,輸出響應函數的拉氏變換式為,將上式展開成部分分式之和，得,由拉氏反變換求得系統響應為,拉普拉斯變換應用,21,21,14.(書9.33)一個系統函數為,的因果LTI系統，其輸入為,時，確定并畫出系統響應,拉普拉斯變換應用,22,22,解,其拉普拉斯變換為,拉普拉斯變換應用,23,23,解,由以上逆變換得,拉普拉斯變換應用,24,24,15.(書9.41) (1) 若 是偶時間函數，即 證明： ； (2) 若 是奇時間函數，即 證明： ； (3) 確定圖中哪一個零-極點圖 對應于偶時間函數，并指出收斂 域,拉普拉斯變換應用,25,25,解,1)由拉

4、普拉斯變換定義得,令 則 又因為,2) 同樣道理，當 時,拉普拉斯變換應用,26,26,解,3)各圖對應的拉氏變換為,對應的 為,所以(c)是偶函數,拉普拉斯變換應用,27,27,解,當 是偶函數時，可以分解成,這是一個雙邊信號，如果x存在拉普拉斯變換，則為一條帶。因此(c) 圖的收斂域為,拉普拉斯變換應用,28,28,16.(書9.45) 對于如圖所示的LTI系統，已知輸入,輸出,求 H(s)和它的收斂域； h(t); 若輸入為 ，確定輸出,拉普拉斯變換應用,29,29,解(a) 由已知條件得零-極點圖，如(a,得 的零-極點圖(b)； 所以,得 的零-極點圖(c,拉普拉斯變換應用,30,3

5、0,解(b) (c,所以得,由于 是LTI系統的特征函數，所以得,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,通?？捎梦⒎址匠虂砻枋鲞B續(xù)時間系統，用差分方程來描述離散時間系統，即通過輸出與輸入間的關系來描述系統。 除了用卷積法求解系統的響應方法外，另一種方法是求解表征LTI系統的方程,對于連續(xù)時間LTI系統：微分方程,對于離散時間LTI系統：差分方程,連續(xù)時間LTI系統的數學模型是常系數線性微分方程?？筛鶕嶋H系統的結構、元件特性，利用有關基本定律來建立對應的微分方程。 高階連續(xù)時間LTI的微分方程表示： 或縮寫為,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,17. 圖所示為LC并聯電路，求并聯端電壓

6、 與激勵源 間關系。 根據元件的電壓電流關系有 電感： 電容： 電阻,1,2,3,解,LTI系統的微分、差分方程描述,根據KCL定律，有 將式（1）、式（2）和式（3）代入上式并化簡得,LTI系統的微分、差分方程描述,全解由兩部分組成：齊次解 和特解 。 1. 齊次解 齊次解是下面方程的解： 其特征方程為 其 個根 （i = 1, 2, , n）稱為微分方程的特征根。 齊次解 的函數形式由特征根確定,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,不同特征根所對應的齊次解的函數形式,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,1）無重根的情況下，微分方程的齊次解為 其中常數C1，C2，Cn由系統的初始條件

7、決定。 （2）若特征根有實重根的情況下，則對應于 階重根 的部 分將有 項 其中常數c1, c2, , ck連同其它特征根所對應的項的系數， 由系統的初始條件確定,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,2. 特解,幾種典型激勵函數所對應特解的函數形式,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,3全解 方程完全解為 若微分方程特征根互不相同則其全解可表示為 4待定系數確定 通常取 的 個邊界條件來確定 階系統完全解中的待定系數。 初始條件： 的 個邊界條件 （ ）。 起始條件： 的 個邊界條件 （,在實際電路中，電容兩端的電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變，

8、即 然后根據電網絡的拓樸結構和元件特性求得 時刻其它電流 或電壓值（初始條件,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,18. 給定線性常系數微分方程 求：當 ； ， 時的全解 解：（1）齊次解 特征方程為 其特征根 ， 。 方程的齊次解為,LTI系統的微分、差分方程描述,2）求特解 由表可知，當輸入 時，其特解可設為 其一階、二階導數分別為 代入方程，得 由上式解得 ，方程的特解,LTI系統的微分、差分方程描述,3）微分方程的全解為 其一階導數 并將初始條件代入，得 由上式解得,LTI系統的微分、差分方程描述,最后得微分方程的全解,自由響應,強迫響應,齊次解,特解,LTI系統的微分、差分方程描

9、述,為確定自由響應部分的常數（i = 1, 2, , n）,還必須根據 系統的起始狀態(tài)和激勵信號求出初始狀態(tài),2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,19. 如圖所示電路， 時開關 處于“1”的位 置而且已經達到穩(wěn)態(tài)；當 時， 由“1”轉向“2”。 建立電流 的微分方程，并求解 在 的時域解。 解：（1）求解電路的微分方程 列回路方程： 列結點方程,1,2,3,求解系統響應,對（3）式求導，并將（2）代入，得 結合（1）和（4）消去 得 電路參數代入得,5,4,求解系統響應,2）求系統完全響應 系統特征方程 特征根： ， 。 齊次解： ， 特解：由于 時， 令特解 ，代入方程，得 系統完全響應

10、為,求解系統響應,3）由電路確定 和 開關換路前： 由于電感電壓等于零，得： ； 或,求解系統響應,開關換路后： 由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變，因而有,求解系統響應,4）求 在 的完全響應 代入初始條件，得 求得 完全響應為,求解系統響應,齊次解中的常數(i=1,2,n)可由沖激函數匹配法確定。 原理：沖激函數及其n階導數僅在零時刻非零,2.4 LTI系統的微分、差分方程描述,零輸入響應：不考慮外加輸入信號的作用,僅由系統的起始狀態(tài)所產生的響應。零輸入響應是齊次解形式，是齊次解的一部分。 零狀態(tài)響應：不考慮系統起始狀態(tài)的作用，僅由系統外加激勵信號所產生的響應。零狀態(tài)響應由強迫響應

11、（特解）及自由響應的一部分構成。 系統的全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應 齊次解的步分稱為系統的自然響應,LTI系統的響應分解,系統全響應的表示式（特征根無重根,對連續(xù)時間系統,對離散時間系統,LTI系統的響應分解,20. 輸入信號如圖2-24，系統的方程描述為 求系統的零狀態(tài)響應和零輸入響應（t0,a）輸入信號波形,b）t0時輸入信號波形,輸入信號波形,LTI系統的響應分解,解：（1）根據方程 特征根： （2）確定系統響應 的起始條件。 代入方程，得 ，所以 。 有 ， 以及,LTI系統的響應分解,3）求零輸入響應 零輸入響應應滿足 但在 時刻，方程的右邊應有,LTI系統的響應分解,右邊的 最

12、高導數階數小于方程左邊輸出信號導數的階數，因此， 在 處無沖激函數。 因此，有,LTI系統的響應分解,將上式代入方程（2），得 化簡上式，并使兩邊沖激函數項的系數相同，有 因此，解得系統的零輸入響應為,LTI系統的響應分解,4）零狀態(tài)響應 零狀態(tài)響應 應滿足以下條件 且輸入 由于當 時，方程右邊有 由于 時，輸入信號 為一常數， 因此有 ，代入方程（ ），得 得特解,1,LTI系統的響應分解,因此， 可表示為 根據上式，我們有（ 時刻,2,LTI系統的響應分解,結合（1）式，在 時刻。系統的方程可表示為 （僅需考慮沖激函數項） 得 代入（2），得 零狀態(tài)響應為： 最終得完全響應為,LTI系統的

13、響應分解,LTI系統的響應分解：拉氏變換法,零輸入響應,零狀態(tài)響應,單純從數學角度說，這類用線性常系數微分方程描述的系統也可以是非因果的。要使這類系統嚴格滿足因果LTI性質，必須附加初始靜止條件。 初始靜止條件：對于 （或 ），若輸入 （或 ），則輸出 或 ）。 初始靜止條件下，線性常系數微分/差分方程所描述的系統是因果的和LTI的,2.5 LTI系統的響應分解,21. 電路如圖（1）所示,1）求系統的沖激響應,3）求系統的起始狀態(tài),使系統的零輸,2）求系統的起始狀態(tài),入響應等于沖激響應,1,LTI系統的響應分解,1）求系統的沖激響應,利用s域模型圖（2），可直寫出圖（1）電路的系統函數,沖激響應,2,LTI系統的響應分解,為求得系統的零輸入響應，應寫出系統的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模型求解,由圖（2）可以寫出,LTI系統的響應分解,2）求系統的起始狀態(tài),上式中第二項只和系統起始狀態(tài)有關，因此該項是零輸入響應的拉氏變換。依題意的要求，該項應和 相等，從而得,故系統的起始狀態(tài),LTI系統的響應分解,2）求系統的起始狀態(tài),從