[教學(xué)素材]橢圓與雙曲線常見題型歸納

1、橢圓與雙曲線常見題型歸納一. “曲線方程+直線與圓錐曲線位置關(guān)系”的綜合型試題的分類求解1.向量綜合型例1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。（）寫出的方程; （）若，求的值。例1. 解:（）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為（）設(shè)，其坐標(biāo)滿足 消去y并整理得，故若，即而，于是，化簡得，所以例2設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍例2解：（）解法一：易知所以，設(shè)，

2、則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或例3 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，（）若是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）若C為橢圓上異于B一點(diǎn)，且，求的值；（）設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求的周長的最大值. 例3解：（）易知，所以,設(shè),則 因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值 （）設(shè)C（）， 由得，又 所以有解得 （）因?yàn)閨P|PB|4|PF2|PB|4|BF2|周長4|BF2|B|8所

3、以當(dāng)P點(diǎn)位于直線BF2與橢圓的交點(diǎn)處時(shí)，周長最大，最大值為8例4已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(1) 求雙曲線C的方程；(2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。例4解：（）設(shè)雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即 設(shè)，則而于是 由、得 故k的取值范圍為例5已知橢圓（ab0）的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的方程（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線ykx2（k0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由

4、例5解析：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab0依題意解得橢圓方程為4分（2）假若存在這樣的k值，由得設(shè)，、，則8分而要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時(shí)，則，即10分將式代入整理解得經(jīng)驗(yàn)證，使成立綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E13分2“中點(diǎn)弦型”例6.已知橢圓，試確定的值，使得在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。例6.解：設(shè)，的中點(diǎn)，而相減得即，而在橢圓內(nèi)部，則即例7.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，焦距為（）求該雙曲線方程.（）是否定存在過點(diǎn)，）的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段 的中點(diǎn)？若存在，請求出直線的方程，若不存在，說明理由.例7

5、.（1）（2）設(shè)，直線：，代入方程得 （） 則，解得 ，此時(shí)方程為， 方程沒有實(shí)數(shù)根。所以直線不存在。例8已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2（0，），且離心率。 （I）求橢圓的方程； （II）直線l（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線l傾斜角的取值范圍。例8解：（I）設(shè)橢圓方程為 解得 a=3，所以b=1，故所求方程為 4分 （II）設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程整理得 5分 由題意得 7分 解得 又直線l與坐標(biāo)軸不平行 故直線l傾斜角的取值范圍是 12分3“弦長型”例9直線ykxb與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記AOB的面積為S (I)求在k0，0b1的條

6、件下，S的最大值； （)當(dāng)AB2，S1時(shí)，求直線AB的方程例9(I)解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由，解得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S取到最大值1（）解：由得AB 又因?yàn)镺到AB的距離所以代入并整理，得解得，代入式檢驗(yàn)，0 故直線AB的方程是 或或或例10已知向量 =（0，x），=（1，1）， =（x，0），=（y2，1）（其中x，y是實(shí)數(shù)），又設(shè)向量= +，=，且/，點(diǎn)P（x，y）的軌跡為曲線C.（）求曲線C的方程；（）設(shè)直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=時(shí)，求直線l的方程.例10解：（I）由已知， 4分 5分 即所求曲線的方程是：7分（）由解得x1=0, x2=分別為M，N的橫坐標(biāo)）.9

7、分由 11分所以直線l的方程xy+1=0或x+y1=0.12分二“基本性質(zhì)型”例11設(shè)雙曲線的方程為，A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線上的任一點(diǎn)，引，AQ與BQ相交于點(diǎn)Q。（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。例11. 解：（1）設(shè)，化簡得：，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)不合題意，點(diǎn)Q的軌跡方程為（2） 由（1）得的方程為，。例12P為橢圓上一點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，若（1）求的面積；（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo)例12解析：a5，b3c4 （1）設(shè)，則 ，由2得 （2）設(shè)P，由得 4，將 代入橢圓方程解得，或或或例13已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線，求雙曲線方程(12分)例13 解析：由橢圓 設(shè)雙曲線方程為