邊際、彈性分析經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模課件 Microsoft W

1、一、邊際分析邊際的概念.如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)y是另一個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)x的函數(shù)，那么當(dāng)自變量有改變量時(shí)，對應(yīng)有函數(shù)的改變量.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，當(dāng)自變量在x處有一個(gè)單位改變量時(shí)，所對應(yīng)的函數(shù)改變量為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在x處的邊際量.例如當(dāng)生產(chǎn)量在x單位水平時(shí)的邊際成本，就是在已生產(chǎn)x單位產(chǎn)品水平上，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)總成本的改變量，或者可以說是再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本.設(shè)x的改變量為時(shí)，經(jīng)濟(jì)變量的改變量為=，則相應(yīng)于,y的平均變化率是由邊際的概念，在上式中取或就可得到邊際量的表達(dá)式.但邊際概念的定義和計(jì)算使我們想到能否用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為y的邊際量呢？如果按純粹的數(shù)學(xué)概念來講，似乎行不通，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)定義

2、要求自變量增量必須趨向于零，而實(shí)際問題中自變量x的經(jīng)濟(jì)意義通常是按計(jì)件的產(chǎn)量或銷量作為單位的，改變量為小數(shù)且趨于零不合乎實(shí)際.但我們可以這樣考慮，對于現(xiàn)代企業(yè)來講，其產(chǎn)銷量的數(shù)額和一個(gè)單位產(chǎn)品相比是一個(gè)很大數(shù)目，1個(gè)單位常常是其中微不足道的量，可以認(rèn)為改變一個(gè)單位的這種增量是趨近于零的.正是這個(gè)緣故，在經(jīng)濟(jì)理論研究中，總是用導(dǎo)數(shù)表示經(jīng)濟(jì)變量y的邊際量，即認(rèn)為的經(jīng)濟(jì)意義是自變量在x處有單位改變量時(shí)所引起函數(shù)的改變數(shù)量.1邊際成本在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量為x時(shí)再增加一個(gè)單位產(chǎn)量時(shí)所增加的成本.成本函數(shù)的平均變化率為它表示產(chǎn)量由x變到x+時(shí)，成本函數(shù)的平均改變量.當(dāng)成本函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

3、，成本函數(shù)在x處變化率為在經(jīng)濟(jì)上我們認(rèn)為就是邊際成本.因此，邊際成本是成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù).，它近似等于產(chǎn)量為x時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所需增加的成本，即在實(shí)際問題中企業(yè)為了生產(chǎn)要有廠房、機(jī)械、設(shè)備等固定資產(chǎn)，在短期成本函數(shù)中作為固定成本，它是常數(shù)，而生產(chǎn)中使用勞力，原料、材料、水電等方面的投入隨產(chǎn)量x的變化而改變，生產(chǎn)的這部分成本是可變成本，以記，于是成本函數(shù)可表示為此時(shí)邊際成本為由此，邊際成本與固定成本無關(guān)，它等于邊際可變成本.在實(shí)際經(jīng)濟(jì)量化分析問題中，經(jīng)常將產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本和此時(shí)已花費(fèi)的平均成本做比較，由兩者的意義知道，如果邊際成本小于平均成本，則可以再增加產(chǎn)量以降低平均成本，反之

4、如果邊際成本大于平均成本，可以考慮削減產(chǎn)量以降低平均成本.由此可知，當(dāng)邊際成本等于平均成本時(shí)可使產(chǎn)品的平均成本最低.2邊際收入和邊際利潤在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際收入定義為銷量為x時(shí)再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加的收入.設(shè)收入函數(shù)是可導(dǎo)的，收入函數(shù)的變化率是同邊際成本道理一樣，我們認(rèn)為就是邊際收入.因此，邊際收入是收入函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù).，它近似等于銷量為時(shí)再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（或減少）的收入.即設(shè)利潤函數(shù)為，由于利潤函數(shù)是收入函數(shù)與成本函數(shù)之差，即則邊際利潤是因此，邊際利潤是利潤函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)，它近似等于銷量為x時(shí)再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（或減少）的利潤.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還經(jīng)常用到邊際效用

5、，邊際產(chǎn)量、邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率等概念，它和邊際成本、邊際收入、邊際利潤的經(jīng)濟(jì)解釋方法大同小異，在此不再闡述.下面用具體例子說明邊際概念在實(shí)際問題中的意義和作用.例1 設(shè)某企業(yè)的產(chǎn)品成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為和，其中為產(chǎn)量，單位為件，和的單位為千元，求：（1）邊際成本、邊際收入、邊際利潤；（2）產(chǎn)量時(shí)的收入和利潤，并求此時(shí)的邊際收入和邊際利潤，解釋其經(jīng)濟(jì)意義.解 由邊際的定義有（1）邊際成本 邊際收入 邊際利潤 （2）當(dāng)產(chǎn)量為20件時(shí)，其收入和利潤為（千元）（千元）其邊際收入與邊際利潤為（千元/件）（千元/件）上面計(jì)算說明，在生產(chǎn)20件產(chǎn)品的水平上，再把產(chǎn)品都銷售的利潤為負(fù)值，即發(fā)生了虧損，虧損值為6

6、0千元；而此時(shí)的邊際收入較大，即生產(chǎn)一件產(chǎn)品收入為352千元，從而得利潤144千元.這樣以來，該企業(yè)的生產(chǎn)水平由20件變到21件時(shí)，就將由虧損60千元的局面轉(zhuǎn)變到盈利千元的局面，故應(yīng)該再增加產(chǎn)量.二、彈性分析一個(gè)簡單引例.設(shè)，當(dāng)x由10變到11時(shí)，y由100變到121.顯然，自變量和函數(shù)的絕對改變量分別是=1，=21，而它們的相對改變量和分別為=這表明，當(dāng)自變量x由10變到11的相對變動(dòng)為10%時(shí)，函數(shù)y的相對變動(dòng)為21%，這時(shí)兩個(gè)相對改變量的比為解釋E的意義：x=10時(shí)，當(dāng)x改變1%時(shí)，y平均改變2.1%，我們稱為從x=10到x=11時(shí)函數(shù)的平均相對變化率，也稱為平均意義下函數(shù)的彈性.這個(gè)大

7、小度量了對x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度.特別是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，定量描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度對科學(xué)決策至關(guān)重要.如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)x0處的點(diǎn)彈性，記為，稱為函數(shù)在區(qū)間的點(diǎn)彈性函數(shù)，簡稱彈性函數(shù).而稱為函數(shù)在以x0與x0+為端點(diǎn)的區(qū)間上的弧彈性.弧彈性表達(dá)了函數(shù)當(dāng)自變量x從x0變到x0+時(shí)函數(shù)的平均相對變化率，而點(diǎn)彈性正是函數(shù)在點(diǎn)x0處的相對變化率.例2 求指數(shù)函數(shù)的彈性函數(shù).解 因?yàn)樗?.1. 需求彈性函數(shù)的彈性表達(dá)了函數(shù)在處的相對變化率，粗略來說，就是當(dāng)自變量的值每改變百分之一所引起函數(shù)變化的百分?jǐn)?shù).需求彈性就是在需求分析中經(jīng)常用來測定需求對價(jià)格反應(yīng)程度的一個(gè)經(jīng)濟(jì)

8、指標(biāo).設(shè)某商品的市場需求量是價(jià)格的函數(shù)：，是可導(dǎo)函數(shù)，則稱為該商品的需求價(jià)格彈性，簡稱為需求彈性，記為.可以這樣解釋的經(jīng)濟(jì)意義；當(dāng)商品的價(jià)格為時(shí)，價(jià)格改變1%時(shí)需求量變化的百分?jǐn)?shù).為什么不使用變化率而要使用這種相對變化率來表達(dá)價(jià)格改變對需求量的反應(yīng)呢？由彈性定義看到，彈性與量綱無關(guān)，需求彈性與需求量和價(jià)格所用的計(jì)量單位無關(guān).以對水果的需求為例，在我國將以m公斤/元來度量，在美國將以公斤/美元來度量，這就無法比較兩國需求對價(jià)格的反應(yīng).正因?yàn)閺椥钥刹皇苡?jì)量單位的限制，所以在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析中廣泛采用，除需求價(jià)格彈性，還有收入價(jià)格彈性,成本產(chǎn)量彈性等.由經(jīng)濟(jì)理論知道，一般商品的需求函數(shù)為價(jià)格的減函數(shù)，從

9、而 ,這說明需求價(jià)格彈性一般是負(fù)的.由此，當(dāng)商品的價(jià)格上漲（或下跌）1%時(shí)，需求量將下跌（或上漲）約，因此在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，比較商品需求彈性的大小時(shí)，是指彈性的絕對值,一般在經(jīng)濟(jì)分析中將需求彈性記為.當(dāng)時(shí)，稱為單位彈性，此時(shí)商品需求量變動(dòng)的百分比與價(jià)格變動(dòng)的百分比相等；當(dāng)時(shí)，稱為高彈性，此時(shí)商品需求量變動(dòng)的百分比高于價(jià)格變動(dòng)的百分比，價(jià)格的變動(dòng)對需求量的影響比較大；當(dāng)時(shí)，稱為低彈性，此時(shí)商品需求量變動(dòng)的百分比低于價(jià)格變動(dòng)的百分比，價(jià)格的變動(dòng)對需求量影響不大.在商品經(jīng)濟(jì)中，商品經(jīng)營者關(guān)心的是提價(jià)（）或降價(jià)（）對總收入的影響，利用需求彈性的概念，可以對此進(jìn)行分析.設(shè)收入函數(shù)為，則，此時(shí)邊際收入為 （2）

10、當(dāng)很小時(shí),有 （3）由此可知，當(dāng)（高彈性）時(shí)，商品降價(jià)時(shí)()，即降價(jià)可使收入增加，商品提價(jià)時(shí)()，即提價(jià)將使總收入減少.當(dāng)（低彈性）時(shí)，降價(jià)使總收入減少，提價(jià)使總收入增加.當(dāng)（單位彈性）時(shí)，提價(jià)或降價(jià)對總收入無影響.上述分析使我們看到,根據(jù)商品需求彈性的不同,應(yīng)制定不同的價(jià)格政策,以使收入快速增長.例3 設(shè)某種產(chǎn)品的需求量與價(jià)格的關(guān)系為（1）求需求彈性；（2）當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格時(shí)再增加1%，求該產(chǎn)品需求量變化情況.解 （1）由需求彈性公式需求彈性為-1.39p，說明產(chǎn)品價(jià)格增加1%時(shí)，需求量將減少1.39%.（2）當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格時(shí),有這表示價(jià)格時(shí)，價(jià)格增加1%，產(chǎn)品需求量將減少13.9%；如果價(jià)格降低1%，產(chǎn)品的需求量將增加13.9%.這也表明此商品的需求彈性是高彈性的，適當(dāng)降價(jià)會(huì)使銷量大增.例4 已知某企業(yè)的產(chǎn)品需求彈性為2.1，如果該企業(yè)準(zhǔn)備明年降價(jià)10%，問這種商品的銷量預(yù)期會(huì)增加多少？