近世代數(shù)習(xí)題解答張禾瑞三章

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第三章環(huán)與域1加群、環(huán)的定義1. 證明,本節(jié)內(nèi)所給的加群的一個(gè)子集作成一個(gè)子群的條件是充分而且必要的 證(i )若S是一個(gè)子群貝y a, b三S二a b三S0是S的零元，即0 a = a對(duì)G的零元，0a=a.0=0即 0 s 0 - a - -a S.(ii )若 a,b S= a - b S今證S是子群由a,b S= aS,S對(duì)加法是閉的，適合結(jié)合律,由 a S= -a S,而且得 a a = 0 ：= S再證另一個(gè)充要條件：若 S是子群，a,b S= a,-b S= a-b S 反之 a S= a - a = 0 S= 0 - a - -a S 故 a, b S= a -(

2、 -b) = a b S2. R =0,a,b,c加法和乘法由以下兩個(gè)表給定:+0abc0abc00abc00000aa0cba0000bbc0ab0abcccba0c0abc證明,R作成一個(gè)環(huán)證R對(duì)加法和乘法的閉的對(duì)加法來(lái)說(shuō)，由2.9.習(xí)題6, R和階是4的非循環(huán)群同構(gòu)，且為交換群乘法適合結(jié)合律 x(yz) = (xy)Z事實(shí)上.當(dāng)x =0或x = a ,(A)的兩端顯然均為0 .當(dāng)x =b或x=c, (A)的兩端顯然均為 yz.這已討論了所有的可能性，故乘法適合結(jié)合律.兩個(gè)分配律都成立 x( y z xy xz事實(shí)上，第一個(gè)分配律的成立和適合律的討論完全一樣，只看x = 0或x = a以及

3、x = b或x = c就可以了 .至于第二個(gè)分配律的成立的驗(yàn)證，由于加法適合交換律，故可看y =0或y = a (可省略z =0,z =a的情形)的情形，此時(shí)兩端均為 zx 剩下的情形就只有.R作成一個(gè)環(huán).2交換律、單位元、零因子、整環(huán)1. 證明二項(xiàng)式定理在交換環(huán)中成立.證用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n =1時(shí),顯然成立.假定n = k時(shí)是成立的：看 n =k 1 的情形(a b)k(a b)(因?yàn)?畀)北)(：)即二項(xiàng)式定理在交換環(huán)中成立.2. 假定一個(gè)環(huán)R對(duì)于加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)循環(huán)群，證明R是交換環(huán).證設(shè)a是生成元?jiǎng)tR的元可以寫(xiě)成na (n整數(shù))3 .證明,對(duì)于有單位元的環(huán)來(lái)說(shuō)，加法適合交換律是環(huán)定

4、義里其他條件的結(jié)果(利用(a b)(11)證 單位元是1,a,b是環(huán)的任意二元，4 .找一個(gè)我們還沒(méi)有提到過(guò)的有零因子的環(huán)證 令R是階為2的循環(huán)加群規(guī)定乘法：a,b三R而ab = 0 則R顯然為環(huán).階為2.有a R 而a=0但 aa=0即a為零因子或者R為n n矩陣環(huán).5.證明由所有實(shí)數(shù) a b 12 (a,b整數(shù))作成的集合對(duì)于普通加法和乘法來(lái)說(shuō) 是一個(gè)整環(huán).證令 R -a b. 2 (a,b整數(shù))(i ) R是加群(a b 一2) (c d . 2) =(a c) (b d) . 2適合結(jié)合律，交換律自不待言.零元0 0,2a b2 的負(fù)元-a - b 2(ii )(a b -2)(c d

5、 2) =(ac 2bd) (ad be) 2乘法適合結(jié)合律，交換律，并滿足分配律.(iii )單位元1 .2(iii) R沒(méi)有零因子，任二實(shí)數(shù)ab = 0= a = 0或b = 03除、環(huán)、域1. F =所有復(fù)數(shù)a bi a,b是有理數(shù)證明 F二對(duì)于普通加法和乘法來(lái)說(shuō)是一個(gè)域.證和上節(jié)習(xí)題5同樣方法可證得 F是一個(gè)整環(huán)并且(i ) F有1 i = 0(ii) a bi = 0.a2 b2 = 0因而有，a- b7272a +ba +b故F為域2. F -所有實(shí)數(shù)a b,. 3,即a, b中至少一個(gè)-0使(a bi)(aa2 b2-ba2 b2i )=1(a,b是有理數(shù))證明 F對(duì)于普通加法和

6、乘法來(lái)說(shuō)是一個(gè)域.證 只證明 a亠b-3=0有逆元存在.則a,b中至少有一個(gè) =0,2 2我們說(shuō)a-3b - 02 2不然的話,a =3b(b =0若 b =0 貝y a =0 矛盾)23 =篤 但-3不是有理數(shù)、b2 2既然a3b 0_ab貝U a .3的逆為 22 * 2a2 _3b2a2 _3b24. 證明 例3的乘法適合結(jié)合律.證(:1, 1)C 2, -2)3, 3)又(:九沁：22)(： 33)二1(23 - ：2 ：3)-1：1 (2 ：3： 3),5. 驗(yàn)證,四元數(shù)除環(huán)的任意元(a bi),(c di)，這里a,b,c,d是實(shí)數(shù)，可以寫(xiě)成(a,0)(b,0)(i,0)(c,0)

7、(0,1)(d,0)(0,i)的形式.證 (a bi,c di)二(a,c) (bi,di)4無(wú)零因子環(huán)的特征1. 假定F是一個(gè)有四個(gè)元的域，證明.(a) 的特征是2；(b) F的0 或11的兩個(gè)元都適合方程證(a)設(shè)F的特征為P則P的(加)群F的非零元的階所 P 4(4是群F的階)但要求P是素?cái)?shù)， P = 2.(b)設(shè) F 二0,1,a,b由于P =2,所以加法必然是x x =0,而 1 a = a 二 1 a = b故有又1,a,b構(gòu)成乘群，所以乘法必然是2 2a a, a 1故有1a11aaabb b a 2(否則 a = b )= a 二 bbb11這樣，a, b顯然適合x(chóng)2 = x

8、12. 假定a是模的一個(gè)剩余類.證明若a 同n互素,那么所有a的書(shū)都同n互素(這時(shí)我們說(shuō)a同n互素).證設(shè) x a且(x,n) = d貝U x = dx1, n = dn1由于 x -a 二 nq= a = x -nq = dxdng = d(xr mq)故有d a, ，且有d n因?yàn)?a, n) =1所以d =13. 證明，所有同n互素的模 n的剩余類對(duì)于剩余類的乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群(同 互素的剩余類的個(gè)數(shù)普通用符號(hào)(n)來(lái)表示,并且把它叫做由拉 函數(shù))證G二 a而a同n互素G顯然非空，因?yàn)? G(1, n) =1)(i )a,b G則ab二ab又(a, n) =1,(b, n) =1 有(a

9、b, n) =1(ii )顯然適合結(jié)合律.(iii)因?yàn)閚有限所以G的階有限.若a x二ax即ax二ax由此可得 naxax =a(x x)常(a,n) =1,二 dx x 即有x二x 另一個(gè)消去律同樣可證成立.G作成一個(gè)群4.證明 ,若是(a, n) =1,那么a(n)三1( n)(費(fèi)馬定理)證 (a, n)則a三G而a的階是G的階 n)的一個(gè)因子因此a (n1即a (n) =15子環(huán)、環(huán)的同態(tài)1. 證明,一個(gè)環(huán)的中心是一個(gè)交換子環(huán).證設(shè)N是環(huán)的中心.顯然0三N a,b三N，x是環(huán)的任意元是子環(huán)，至于是交換環(huán)那是明顯的.2. 證明，一個(gè)除環(huán)的中心是個(gè)域.證設(shè)!是除環(huán)！是中心由上題知N是R的交

10、換子環(huán)1 R,顯然1 N ,即N包含非零元，同時(shí)這個(gè)非零元1是的單位元.a N , x R 即 ax = xa.N !是一個(gè)域3. 證明，有理數(shù)域是所有復(fù)數(shù) a - bi(a,b是有理數(shù))作成的域R(i)的唯一的真子域證 有理數(shù)域R是R(i)的真子域.設(shè)F !是R(i)的一個(gè)子域，則F二R(因?yàn)镽是最小數(shù)域)若 a bi F ,而 b = 0則 i F 二 F 二 F(i)這就是說(shuō)，R是R(i)的唯一真子域.4. 證明，R(i)有且只有兩自同構(gòu)映射.證 有理數(shù)顯然變?yōu)槠渥约?假定 i則由 i2 - -1=- -1 - - i 或- -i這就證明完畢.當(dāng)然還可以詳細(xì)一些：確是R(i)的兩個(gè)自同構(gòu)

11、映射.現(xiàn)在證明只有這兩個(gè).若：i ：二 a bi(有理數(shù)變?yōu)槠渥约?則由 i2 = -1 = (a bi)2 二 a2b2 2abi 二-1若 b =0= a2 - -1是有理數(shù)，在就岀現(xiàn)矛盾 所以有a = 0因而b =1.在就是說(shuō)，只能i i或 i -i i5. J3表示模3的剩余類所作成的集合.找岀加群J3的所有自同構(gòu)映射，這找岀域J3!的所有自同構(gòu)映射. 證1)對(duì)加群J3的自同構(gòu)映射自同構(gòu)映射必須保持！0 0故有1 : i ； i2)對(duì)域J3的自同構(gòu)映射.自同構(gòu)映射必須保持 0 0 , 1 1所有只有 i6. 令R是四元數(shù)除環(huán)，R是子集S = 切(a,0)這里a阿是實(shí)數(shù)，顯然與實(shí)數(shù)域 S

12、同構(gòu).令R是把R中S換成S后所得集合；替R規(guī)定代數(shù)運(yùn)算.使R三R,分別用i,j,k表示R的元(i,0), (0,1),(0,i),那么2 2 2R的元可以寫(xiě)成a bi cj dk(a,b,c1d是實(shí)數(shù))的形式(參看33 習(xí)題5).驗(yàn)證.i - j -k - -1, ij = 一ji = k, jk = kj = i,ki = ik = j.證 1)對(duì):(a,0)；a來(lái)說(shuō)顯然S三S2)S = 切(a,0) a實(shí)數(shù) S = 切(a,0) a 實(shí)數(shù)R=(a,| 一切(a,0)復(fù)數(shù)對(duì)(:廠)是不屬于S的R的元.R=(c(,P| 一切 a規(guī)定由于S與S的補(bǔ)足集合沒(méi)有共同元，容易驗(yàn)證 f (yi, y2/

13、 yn)根據(jù)本節(jié)定理 3Rx1,x2 xn Ry1, y2 yn容易驗(yàn)證fi(Xi，X2，Xn)=f2(Xi，X2；Xn)二fi(yi,y2,yn)=f2(yi,y2, yn)這樣 RXi，X2，Xn = Ryi，y2， yn22 n(ii) 令 Rx = 切 a。qxanX 顯然 Rx2二 Rx但xRx2不然的話這與x是R上未定元矛盾.所以Rx2是Rx上未定元顯然故有(i) Rx=Rx2這就是說(shuō)，R x 是RX的真子環(huán)，且此真子環(huán)與 R X同構(gòu).7理想1. 假定R是偶數(shù)環(huán)，證明,所有整數(shù)4r是二的一個(gè)理想，等式!對(duì)不對(duì)？證4r|,4r2 、：，r|,r2R.令是R的一個(gè)理想 等式二=(4)不

14、對(duì)這是因?yàn)?R沒(méi)有單位元 具體的說(shuō)4(4)但4：2. 假定R是整數(shù)環(huán)證明(3,7) =1.證R是整數(shù)環(huán)，顯然R= (1)(3,7) =1.又 1 = (-2)3 1(7)(3,7)3. 假定例3的R是有理數(shù)域，證明，這時(shí)(2, x)是一個(gè)主理想證 因?yàn)?與x互素，所以存在R(x), P2(x)使.RxH(1) =(2, x)。即是一個(gè)主理想.4. 證明,兩個(gè)理想的交集還是一個(gè)理想.證 山和：、是兩個(gè)理想： L非空顯然a,ba, b三5. 找岀模6的剩余類環(huán)的所有理想.證找出的理想是我們只有這四個(gè)理想必包0若包含1或5則必包含所有的元若同時(shí)含2,3;或3,4則必包含5或16. 一個(gè)環(huán)R!的一個(gè)子

15、集S叫做R的一個(gè)左理想，假如(i ) a,b S= a -b S(ii) a S, r R 二 ra s你能不能在有理數(shù)域F上的22矩陣環(huán)里找到一個(gè)不是理想的左理想F?2 =iaana1221 a22 /01的一個(gè)左理想，ban是有理數(shù)、(c 0-9 0 廠lb_da -c但它不是理想.(只要 aq2 = 或 bC|2 = 0)同態(tài)與理想假定我們有一個(gè)環(huán) R的一個(gè)分類，而8剩余類環(huán)、1.S是由所有的類a,b,c, 所作成的集合又假定x y =x y,x yxy規(guī)定兩個(gè)S的代數(shù)運(yùn)算，證明0是R的一個(gè)理想 并且給定類剛好是模0的R剩余類。證(i) 先證0是R的一個(gè)理想a,b，0即a二0,b二0 a

16、 b =0 0 =0 0=0 而a b二a b . a b =0二 a b 0ra - 0 同理 ar 0于是0是R的理想(ii) 若x,y屬于同一類，即x珂yx - y 0即x,y屬于對(duì)0同一剩余類反之，若x,y屬于對(duì)0的同一剩余類即 x-y 0所以x - y =0即x珂y亦即x,y屬于同一類這樣給定的類正好是對(duì):-來(lái)講的剩余類。-的核是R2. 假定是環(huán)R到環(huán)R的一個(gè)同態(tài)滿射，證明， 是R與R間的同構(gòu)映射，當(dāng)而且只當(dāng) 的零理想的時(shí)候。證(i) 若R三R，0的逆象只有0既核是零理想(ii) 若的核的零理想a,b R 而 a = b那么 a -b-核，a -b) =0即 (a) (b).是同構(gòu)映

17、射3. 假定R是由所有復(fù)數(shù)a bi是整數(shù)1作成的環(huán)，環(huán) R(1 . j)有多少元？證R是有單位元的交換環(huán)那么主理想1 - i的元的形式應(yīng)為(a bi)(1 i) = (a -b) (a b)ix y y _ x令 ab=x, a+b = y a=, b =2 2我們說(shuō)當(dāng)而且只當(dāng) x,y的奇偶性相同時(shí)，a,b是整數(shù)所以R(1 - j)共有兩個(gè)元：一個(gè)元是u vi而u,v奇偶性相同以1 i代表一個(gè)元是u vi而u,v奇偶性相反以12i代表實(shí)際上，R的任二元a.j b1i,a2 - b2i而 6 bj) -(a2 b2i) = (q - a2) (d - b2)i (1 i)貝Uq -a2與d -b

18、2奇偶性相同=佝 一 a?) -(d - bj 二偶數(shù)=佝-0) - (a2 -b?)二偶數(shù)=a1 - bi與a - b2奇偶性相同若冃-與 a2 b2 均奇數(shù)二a1 0以及a2,b2均奇偶性相反，若a1與 a2 b2均偶數(shù)二a1 - D以及a2,b2均奇偶性相同，反之亦然。9最大理想1.假定R是由所有復(fù)數(shù)a bi(a,b是整數(shù) 所作成的環(huán)，證明， 只仆 “是一個(gè)域， 證 證法一，由3.8.習(xí)題3知R(1 . i)是只包含兩個(gè)元，是有單位元的交換環(huán)且 有零理想與單位理想，所以R(1 . i)是一個(gè)域。證法二，證明(1 i)是R的最大理想。2.大理想?2.大理想?3.3.設(shè)山是R的一個(gè)理想，且同

19、時(shí)有 a b- (1 i)而 a bi J；根據(jù)3.8.習(xí)題3知a,b奇偶性相反 x y R若x yi三(1 i)則x yi三J：若xyH (1 i)則x, y的奇偶性相反.同屬一類即(a bi) _(x yi) (1 i)山.是理想，故x yk R ，山=R而R是有單位元交換環(huán)自不必多說(shuō) 根據(jù)本節(jié)定理 R (1 i)是域。我們看環(huán)R上的一個(gè)多項(xiàng)式環(huán) Rx，當(dāng)R是整數(shù)環(huán)時(shí)，Rx的理想(x)是不是最當(dāng)R是有理數(shù)域的時(shí)候，情形如何？證 (i) R是整數(shù)環(huán)時(shí)，(x)不是Rx的最大理想這是因?yàn)橛?.7.例3知(2,x)是Rx的理想明顯的有 Rx二(2,x) =(x)且 Rxp(2,x) =(x)(ii)當(dāng)R是有理數(shù)域時(shí)，可證 (x)是R x的最大理想。設(shè)山是Rx的一個(gè)理想，且上_： (x)而們-(x)那么，b0 0X bmxm 三 J：,b0 =0山是理想bo(b p