數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）在不等式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力 目 錄中文摘要3外文摘要4引言51. 比較法52. 幾何法63. 配方法74. 二分法75. 三角代換法76. 反證法77. 判別式法88. 向量法89. 均值不等式法810. 分析法911. 綜合法912. 利用對稱性1013. 利用歐拉恒等式1014. 復(fù)數(shù)法1115. 矩陣法1116. 柯西不等式1117. 拉格朗日數(shù)乘法1218. 推廣形式13結(jié)束語15參考文獻(xiàn)15致謝16在不等式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力摘要：探究思維能力是學(xué)生智力開發(fā)的核心，是由分析、綜合、比較、概括和運(yùn)用等能力組成的整體，是一種主動積極的思維能力.數(shù)學(xué)

2、問題中明顯或隱含存在大量的不等關(guān)系，不等式的證明蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 不等式作為熱點(diǎn)內(nèi)容，有很多命題都可以引申、推廣和應(yīng)用，為我們在不等式的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力提供了契機(jī).本文嘗試從不等式的一題多解入手探索如何培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力. 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育；不等式；探究思維Explore Thinking Ability in Inequality TeachingWang DuwuDirector：Fang Hui（Department of Mathematics, Huangshan University, Huangshan, China）Abstract：Students

3、explore the thinking ability is the core of intellectual development, by analysis, synthesis, comparison, generalization and the use of such capacity to the overall composition, is a proactive thinking. Mathematics learning problems, explicitly or implicitly a large number of non-existence and other

4、 relations, Inequality rich in mathematical thinking. inequality as hot content, there are many propositions can be extended, the promotion and application of our teaching in the inequality of inquiry thinking ability students provided an opportunity. This paper attempts to inequality of a given pro

5、blem to start exploring how to cultivate the students explore the thinking ability.Key Words：Mathematics Education；Inequality；Explore thinking 引言在數(shù)學(xué)教育中，不僅要注意傳授具體的解題方法，更注意數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程中的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和探究精神.提高思維能力，能更好認(rèn)識事物的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，而探究思維能力是學(xué)生智力開發(fā)的核心，是由分析、綜合、比較、概括和運(yùn)用等能力組成的整體，是一種主動積極的思維能力.教師只有在傳授知識的同時，重視對學(xué)生的探

6、究思維能力的培養(yǎng)，才能達(dá)到知識、能力的統(tǒng)一.數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系的不等比相等更加廣泛，數(shù)學(xué)問題中明顯或隱含存在大量的不等關(guān)系，不等式的證明蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.從各種數(shù)學(xué)雜志期刊上，不等式作為熱點(diǎn)內(nèi)容，有很多命題都可以引申、推廣和應(yīng)用，這為我們在不等式的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力提供了契機(jī).在不等式的教學(xué)中可以一題多解為抓手培養(yǎng)學(xué)生的探究思維能力.不等式的許多題目有多種解法，不少老師和學(xué)生是為了解題而解題，一個問題只要能解決就匆匆而過，很少去分析和橫向探索，挖掘其中的價值，錯過了很多完善知識結(jié)構(gòu)，提升思維能力的好機(jī)會.做一道題從不同角度想出幾種方法與做幾道相似題型的題目相比，效果自然要很多.下

7、文將通過一個例題探討一題多解對培養(yǎng)探究思維的重要性.在射擊訓(xùn)練中，假設(shè)一個射擊運(yùn)動員擊中靶的概率為，不中的概率為，那么，求兩次射擊全中或者全不中的概率.解析：一次射中一次射不中的概率為，兩次射擊全中或者全不中的概率為,而即，所以.本題可以簡單表述為：，求證.以下的十幾種解法都是數(shù)學(xué)解題中的常用方法.1. 比較法 作差比較法要證不等式，只需證即可.其步驟為：作差變形(常用變形方法有：通分，因式分解，配方等)判別符號 作商比較法若，欲證，只需證；欲證，只需證.其步驟為：作商變形判斷結(jié)果與的大小關(guān)系.或.2. 幾何法根據(jù)解決問題的需要，常把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來討論，即把抽象的“數(shù)”結(jié)

8、構(gòu)與形象的“形”結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，化抽象為直觀，通過對圖形的研究，常能發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，誘發(fā)解題線索，使求解過程變得簡捷直觀圖1如圖1，線段AB在直線上，任意取點(diǎn)p, 為P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，原不等式的證明可轉(zhuǎn)為求證原點(diǎn)到AB的最短距離不少于.假設(shè)為三角形的面積，有最短距離,得證. 3. 配方法配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形配成“完全平方”的技巧.在解決相關(guān)問題是，將目標(biāo)看成某個目標(biāo)的二次式，并將其配成一個完全平方與一個常量的代數(shù)和的形式，以達(dá)到發(fā)現(xiàn)和研究問題性質(zhì)、化繁為簡之目的.；.4. 二分法二分法可以看做特殊的配方方法，能讓一些不等式的證明變得簡捷.這里，令，有.5. 三角代換換元法是數(shù)學(xué)

9、中的基本方法，在數(shù)學(xué)中隨處可見，三角代換是換元法的一種，有其一定的規(guī)律性.常見的三角代換法有：若，可設(shè)，可設(shè)若本題中，令，則=而，得.6. 反證法反證法的模式為：否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論.反證法的實(shí)質(zhì)是證明否命題會導(dǎo)致矛盾，從而肯定命題成立. 假設(shè)有，矛盾故假設(shè)不成立， 假設(shè)，而，二者矛盾故假設(shè)不成立，原不等式同樣得證.7. 判別式法判別式是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，其要領(lǐng)是合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù).令對于方程有解則而，故.8. 向量法運(yùn)用向量知識解決代數(shù)問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)構(gòu)造向量，然后利用數(shù)量積來求解.如圖1，設(shè)到的距離為=， 為上任意點(diǎn)，即，得，故，即=.9. 均值不等式均值不等式：

10、,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.常用變形： . ；均值不等式在求最值及參數(shù)的取值范圍等范圍有著廣泛的應(yīng)用，對于給定的函數(shù)或者多項(xiàng)式在一定的條件下求最值，一般要通過各種變形或轉(zhuǎn)化，然后運(yùn)用公式解決. 或，兩式相加得，10. 分析法分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，其模式為：(是成立的).，顯然成立11. 綜合法從已知或已證明的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式，其模式為：(結(jié)論)12. 利用對稱性對稱性是自然界的基本性質(zhì)之一，利用這個性質(zhì)可以簡化一些不等式的證明.如果題設(shè)條件及所證明的多項(xiàng)式都是對稱的，可以設(shè)未知量滿足不等關(guān)系.由于與都是對稱的，不妨設(shè)則，只

11、需求上式右邊的最大值又因?yàn)榧此?注：13. 利用歐拉恒等式瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，發(fā)現(xiàn)了一個代數(shù)恒等式，用語言敘述為：如果兩個數(shù)的每一個都可以表示成兩個數(shù)的平方的和，那么它們的乘積也一定可以表示成兩個數(shù)的平方的和.公式形式為：此題中，令,.則14. 復(fù)數(shù)法數(shù)學(xué)中許多問題可以通過化歸與轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)問題，借助復(fù)數(shù)的不同表示形式、不同的運(yùn)算法則或某些重要的關(guān)系進(jìn)行解決，本例可以通過構(gòu)造一些復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)中的模的特性解決.令，.有15. 矩陣法通過構(gòu)造一些適當(dāng)?shù)木仃?，借助矩陣的基本運(yùn)算法則也可以巧妙的證明一些不等式.設(shè)，16. 利用柯西不等式有,，,一定有,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.這里給出柯西不等式的一種證明方法

12、.令，.對于,，.代入上式即可得到柯西不等式.此題中令,，則17. 拉格朗日數(shù)乘法令由解得,則是函數(shù)的最小值點(diǎn).所以.也可以簡單的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的形式證明.令則是函數(shù)的最值點(diǎn)而時， 時，所以時函數(shù)的最小值點(diǎn)，即從以上方法可以看出，不等式確實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生探究思維能力的好材料.作為一種觀念，只要我們在教學(xué)中長期堅(jiān)持，積極探討，一定能大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和探究思維能力，從而對所學(xué)知識有新的認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)，更為重要的是這種思維能力可以成為學(xué)生以后勇于探究，敢于創(chuàng)新的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)加強(qiáng)推廣形式的教學(xué)有著非常重要的意義.這里列舉三個推廣形式推廣1將推廣到的形式，.用歸納法證明時不等式成立，假設(shè)時不等式成立

13、，有.則只需證+得即所以時不等式亦成立，故原不等式始終成立.推廣2設(shè),為正數(shù)，則利用柯西不等式即可證明.推廣3為正數(shù)，則.利用，則(1)(2) (n)上述式子兩邊分別相加，得左邊右邊即上式兩邊同加上，有上式用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.結(jié)束語所有的證明方法和推廣形式能讓學(xué)生產(chǎn)生一種奇異美，使得零散的知識點(diǎn)經(jīng)過分析，組合找出它們之間的邏輯關(guān)機(jī)，又經(jīng)過大腦加工，按照學(xué)生自身的認(rèn)識結(jié)構(gòu)同化納入自己的知識體系，變靜止的知識為運(yùn)動的能力. 重視培養(yǎng)提高學(xué)生的探究思維能力，才能為學(xué)生綜合性思維能力的發(fā)展打下很好的基礎(chǔ)，才能提高學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的實(shí)際能力.參考文獻(xiàn)1 趙春祥.證明不等式的常用技巧與策

14、略J .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1995，（6）：42-432 王寬明.劉靜.一道不等式的證法探究及推廣J .中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007（2）：33-353 徐玉明.數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生探究思維能力的培養(yǎng)J .數(shù)學(xué)教育與研究（教研版），2008（07）4 丁金萍.中學(xué)數(shù)學(xué)探究思維能力的培養(yǎng)J .福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（07）：18-205 葉慧萍.反思性教學(xué)設(shè)計(jì)J .數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005（10）：20-216 張霞.從一個不等式的推廣談起J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1996（2）：91-927 董欲華.如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力J.數(shù)學(xué)通報，2006（09）：20-238 方輝.對稱性與不等

15、式的證明J.黃山學(xué)院學(xué)報，1999（1）：102-1049 王弟成.一道不等式證明過程回放J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005（10）：21-2210 李相普.不等式證明中的幾種新穎方法EB/OL./gaozhongdagang.2004-04-01/2010-04-28致謝本課題在選題及研究過程中得到方輝老師的悉心指導(dǎo).方老師多次詢問論文進(jìn)程，并為我指點(diǎn)迷津，幫助我開拓思路，精心點(diǎn)撥，熱忱鼓勵.方老師一絲不茍的作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度，踏踏實(shí)實(shí)的精神，不僅授我以文，而且教我做人，對方老師的感激之情是無法用言語表達(dá)的.感謝我的同學(xué)付欲、朱仕飛、張俊升四年來對我學(xué)習(xí)、生

16、活的關(guān)心和幫助.最后，向我的父親、母親致謝，感謝這么多年他們對我的鼓勵，理解與支持.內(nèi)部資料請勿外傳9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2z

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