必做離散型隨機變量的分布列均值與方差原卷

1、理科必做題專題4離散型隨機變量的分布列、均值與方差【三年高考】1. 【2017江蘇，理23】已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m,n. N*,n 2)，這些 球除顏色外全部相同.現將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編 號為1,2,3J|,m n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k =1, 2, 3,山,m n).123(1) 試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率 P ;(2) 隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E(X)是X的數學期望，證明：e(x) n(m n)(n -1)2. 【2014江蘇，理22】盒中共有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠

2、球， 這些球除顏色外完全相同.(1) 從盒中一次隨機抽出 2個球，求取出的2個球的顏色相同的概率；(2) 從盒中一次隨機抽出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數分別為為公2卞3，隨 機變量X表示X1,X2,X3的最大數，求X的概率分布和數學期望 E(X).3. 【2012江蘇，理22】設E為隨機變量.從棱長為1的正方體的12條棱中任 取兩條，當兩條棱相交時， K 0;當兩條棱平行時，E的值為兩條棱之間的距 離；當兩條棱異面時， 片1.(1) 求概率 P(E= 0);(2) 求E的分布列，并求其數學期望 曰E).4. 【2017山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法

3、評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成 兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者 接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A, A，A,A A，A和4名女志愿者B，B2，B3，B，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另 5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B/勺頻率。（II ）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望 EX5. 【2017課標1,理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天 從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：c

4、m）.根據長期生產經 驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（,2）.（1）假設生產狀態(tài)正常，記 X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在 （-363二）之外的零件數，求P（X -1）及X的數學期望；（2） 天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（-3二廠13二）之外的零件，就認 為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行 檢查.（i）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性;（ii）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:9.910.9.99.910.9.99.910.5126601280410.9.910.10.9.210.10.9.926113

5、022040551616二以岡-16託彳-佼）27212，其中Xi為抽取的第i個零件的尺寸，i =12,16 .用樣本平均數X作為的估計值?，用樣本標準差s作為二的估計值:?，利用 估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(？-3：?廠？ 3：?)之外的數據，用剩下的數據估計和二(精確到0.01 ).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(2)，則PW -3匚:Z 3匚)= 0.997 4 ,0.997 4經計算得應=丄 x=9.97，s =16 y =0.959 2，. 0.008 : 0.09 .6. 【2017課標II，理18】海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各

6、隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)某頻率分布直方圖如下：(1) 設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產量 低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；(2) 填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：箱產量v 50kg箱產量 50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3) 根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01)附：7. 【2017北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y

7、的數據，并制成下圖，其中“ *”表示服藥者，“ +”表示未服藥者.(I)從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標 y的值小于60的概率;(U)從圖中A, B, C, D四人中隨機.選出兩人，記為選出的兩人中指標 x的值大于1.7的人數，求 的分布列和數學期望 E ();(川)試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標y數據的方差 的大小(只需寫出結論)8. 【2017天津，理16】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相 互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為-,-,-.2 3 4(I)設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列和數(U)若有

8、2輛車獨立地從甲地到乙地，求這 2輛車共遇到1個紅燈的概率.9. 【2017課標3,理18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶 2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：C)有關 .如果最 高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20， 25)，需求量為 300瓶；如果最高氣溫低于 20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng) 計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣10，15，20，25，30，35，溫15)20)25)30)35)40)天21

9、3274數665以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量 X(單位：瓶)的分布列;（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利 潤為Y （單位：元）.當六月份這種酸奶一天的進貨量n （單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？10 .【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器，該種 機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零 件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需 決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內更

10、換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.（I ）求X的分布列；（II ）若要求P（X乞n）_0.5,確定n的最小值；（III ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n =19與n= 20之中選其一,應選用哪個？11.【2016高考新課標2理數】某險種的基本保費為 a （單位：元），繼續(xù)購買該險 種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如 下:上年度出險次數012345保費0.85a1.25a1.5 a1.7

11、5a2a設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下:一年內出險次數012345概率0.300.150.200.200.100.05（I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（U）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%勺概率；（川）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.12 .【2016年高考四川理數】（本小題滿分 12分）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準 x （噸）、一位居民的月用水量 不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通 過抽樣，獲得

12、了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照0,0.5） ，0.5,1），4,4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II ）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；（III ）若該市政府希望使85%勺居民每月的用水量不超過標準 x （噸），估計x的 值，并說明理由.13.【2016年高考北京理數】（本小題13分）A、B、C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數據如下表（單位：小時）；A班B班C班(1) 試估計C班的學生人數；(2) 從A班和C班抽出的學生

13、中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選 出的人記為乙，假設所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；(3) 再從A B、C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7,9，8.25 (單位：小時)，這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記叫，表格中數據的平均數記為 ，試判斷和的大小，(結論不要求證明)14 .【2016高考山東理數】(本小題滿分12分)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得 3分；如果只有一個人猜對，則“星 隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得 0

14、分.已知甲每輪猜對的概率是 3，4乙每輪猜對的概率是 -;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影3響.假設“星隊”參加兩輪活動，求：(I)“星隊”至少猜對 3個成語的概率；(n) “星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望 ex15. 【2016高考天津理數】(本小題滿分 13分)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4,.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(I)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為 4”，求事件A發(fā)生的概率;（II ）設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學

15、期望.16. 【2016高考新課標3理數】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理 量（單位：億噸）的折線圖（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；（II ）建立y關于t的回歸方程（系數精確到 0.01 ），預測2016年我國生活垃圾無 害化處理量.7參考數據：a y =9.32i 4參考公式：相關系數r附注：5=40.17，, (yi-y)2=0.55，2.646. (ti -F)(y -y)i i 1, ijnn (ti -t)3 (yy)2i =1iT回歸方程y=a b中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:n (ti -門 -V) _ a 二

16、 y - bt .x (tT)2i 117. 【2015高考福建，理16】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現自己忘記了銀行卡的密碼， 但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行 卡被鎖定.（I ）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（n）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X，求X的分布列和數學期望.18. 【2015高考山東，理19】若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十 位數字，十位數字大于百位數字，則稱 n為“三位遞增數”（如1

17、37,359,567 等）在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機 抽取1個數，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數”的三 個數字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除, 得一1分；若能被10整除，得1分.（I）寫出所有個位數字是 5的“三位遞增數”；（II ）若甲參加活動，求甲得分 X的分布列和數學期望EX .19. 【2015高考天津，理16】為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié) 會的運動員組隊參加現有來自甲協(xié)會的運動員 3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的 運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇 4人參加比

18、賽. 設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié) 會”求事件A發(fā)生的概率；（II）設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.20. 【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦3名男生，2名女生，B中學推薦了 3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參 加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊（1）求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率（2）某場比賽前，從代表隊的 6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生 人數，求X得分布列和數學期望.【2018年高考

19、命題預測】離散型隨機變量的分布列、均值與方差問題是江蘇高考理科選修內容，考試時一般為解答題第一問主要考查等可能事件的概率計算公式，互斥事件的概率加法公 式，對立事件的概率減法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，事件在n次獨立重 復試驗種恰好發(fā)生k次的概率計算公式等五個基本公式的應用，第二問主要考查 分布列、均值與方差問題，特別是離散型隨機變量的分布列、均值與方差也是高 考的重點，試題多為課本例題，習題拓展加工的基礎題或中檔題.從高考試題來 看，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數、方差、分布列是高考的熱點，題型既有 選擇題、填空題，又有解答題，客觀題考查知識點較單一，解答題考查得較為全 面，常常和概率

20、、平均數等知識結合在一起，考查學生應用知識解決問題的能 力.根據這幾年高考試題預測 2018年高考，離散型隨機變量的分布列與期望仍然 是考查的熱點，同時應注意和概率、平均數、分布列，期望，二項分布，正態(tài)分 布等知識的結合.【2018年高考考點定位】本節(jié)主要有離散型隨機變量的分布列，超幾何分布，數學期望，方差等基本公式的 應用，試題多為課本例題，習題拓展加工的基礎題或中檔題只要我們理解和掌握 五個概率公式及其應用，夯實基礎，借助排列組合知識和化歸轉化思想方法，就能順利解答高考概率與統(tǒng)計試題.最多的概率與統(tǒng)計問題的分值占整個卷面分值的12%且本部分題多為中低檔題.從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計

21、所占地位的重要 性.【考點1】離散型隨機變量的分布列【備考知識梳理】1. 離散型隨機變量的分布列(1) 隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量 叫做隨機變量，隨機變量常用字母 X, Y，E，n等表示.(2) 離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若堤隨機變量，b，其中a,b是常數，則也是隨機變量.2. 常見離散型隨機變量的分布列(1) 兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為其中0：p，則稱離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布.其中P二P X =1稱為成功概率.(2) 超幾何分布：在含有M件次品的N

22、件產品中，任取n件，其中恰有X件次k n _k品，則事件x =k發(fā)生的概率為P X =k 沖,k,12Hl,m，其中m=min :M,n?，且n_N,M _ N,n, M , N N ,稱分布列為超幾何分布列01m(3)設離散型隨機變量X可能取得值為Xi , X2，x，Xn, X取每一個值Xi( i =1,2j|l, n)的概率為 PX 二Xi 二 p,則稱表分布列的兩個性質：pi _0 , i =1,21 ,n ；pi p2 III pn =1 【規(guī)律方法技巧】1. 求分布列的三種方法(1) 由統(tǒng)計數據得到離散型隨機變量的分布列；(1)可設出隨機變量Y,并確定 隨機變量的所有可能取值作為第一

23、行數據；(2)由統(tǒng)計數據利用事件發(fā)生的頻 率近似地表示該事件的概率作為第二行數據.由統(tǒng)計數據得到分布列可幫助我 們更好理解分布列的作用和意義.(2) 由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；求離散型隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定 X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率.而超幾何分布就是此類問題中的一種.(3) 由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列.2. 求離散型隨機變量分布列的步驟(1)找出隨機變量X的所有可能取值Xi(i = 1,2,3，n);求出各取值的概率P(X= X)= p ;(3) 列成

24、表格并用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.3. 解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路(1) 明確隨機變量可能取哪些值.(2) 結合事件特點選取恰當的計算方法計算這些可能取值的概率值.(3) 根據分布列和期望、方差公式求解.注意解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現其中的數學規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題.【考點針對訓練】1. 小王在某社交網絡的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(I)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率;（U）若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個.記乙所得紅包的總錢數為X,求X

25、的分布列和期望.2. 學校為測評班級學生對任課教師的滿意度，采用“ 100分制”打分的方式來計分. 現從某班學生中隨機抽取 10名，以下莖葉圖記錄了他們對某教師的滿意度分數 （以 十位數字為莖，個位數字為葉）：規(guī)定若滿意度不低于98分，測評價該教師為“優(yōu)秀”.（I）求從這10人中隨機選取3人，至多有1人評價該教師是“優(yōu)秀”的概率；（II ）以這10人的樣本數據來估計整個班級的總體數據，若從該班任選3人，記表示抽到評價該教師為“優(yōu)秀”的人數，求的分布列及數學期望.【考點2】離散型隨機變量的期望與方差【備考知識梳理】1. 均值若離散型隨機變量X的分布列為稱E X二為口 * X2P2 * l|NPi

26、XnPn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.若丫 =aX b，其中a,b為常數，則丫也是隨機變量，且E aX b = aE X b. 若X服從兩點分布，則E X = p ；若 X l_B n,p，則 E X 二 np.2.方差若離散型隨機變量X的分布列為2 則(x-E(X)2描述了 Xi (i =1,2,川,n)相對于均值E(X )的偏離程度，而n2D XXjE X p為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均i 4值E X的平均偏離程度.稱D X為隨機變量X的方差，其算術平方根為隨機變量X的標準差.若丫二aX b，其中a,b為常數，則丫也是隨機變量，且D

27、 aX b = a2D X .若X服從兩點分布，則D X二plp .若 XLB n, p，則 D X =n p1-p .【規(guī)律方法技巧】.1. 求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數b的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解；(3) 如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可 直接利用它們的均值、方差公式求解.2. 求離散型隨機變量均值的步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；求X的每個值的概率；寫出X的分布列；(4) 由均值定義

28、求出E X .3. 六條性質(1) E C 二C(C 為常數) E aX b 二 aE X b( a,b為常數)(3) E Xi X2 二 E XiE X2如果Xi,X2相互獨立，則E Xi X2二E Xi E X2(5) D(X )=E(X2 )(E(X )2(6) D aX bi=a2D X4.均值與方差性質的應用若X是隨機變量，則 二f X 般仍是隨機變量，在求 的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算.【考點針對訓練】1. 某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成規(guī)定 :至少正確完成其中2道

29、題的便可通過.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完 成的概率都是-，且每題正確完成與否互不影響3(1) 分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列，并計算其數學期望；(2) 請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大？2. 某企業(yè)有100位員工.擬在新年聯歡會中，增加一個摸球兌獎的環(huán)節(jié)，規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該員工所獲的中獎額.企業(yè)預算抽獎總額為6000元，共提出兩種方案.方案一：袋中所裝的4個球中有兩個球所標的面值為10元，另外兩個標的面值為 50元；方案二：袋中所裝的4個球中有兩個球所

30、標的面值為 20元，另外兩個標的面值為 40元.(I)求兩種方案中，某員工獲獎金額的分布列;(U)在兩種方案中，請幫助該企業(yè)選擇一個適合的方案，并說明理由.【兩年模擬詳解析】1. 【2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（二）】已知袋中裝有大小相同的2個白球、2個紅球和1個黃球.一項游戲規(guī)定：每個白球、紅球和黃球的分 值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個球，將3個球對應的分值相加后稱為該局的得分，計算完得分后將球放回袋中當出現第n局得Sn?分（N*）的情況就算游戲過關，同時游戲結束，若四局過后仍未過關，游戲也結束（1）求在一局游戲中得 3分的概率；（2）求游戲結束

31、時局數 X的分布列和數學期望 E X .2. 【南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬】（本小題滿分10分）某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇 1節(jié)作為綜合實踐課（上午不排該課程），張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程（1）求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率；（2） 設這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數”為X，求X的概率分布表與 數學期望E（X）.3. 【2017年第三次全國大聯考江蘇卷】袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取21個球都是白球的概率為 j .現有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取直到袋中的球取完即

32、終止.若摸出白球，貝y記2分，若摸出黑球，則記1分.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.用表示甲、乙最終得分差的絕對值.（1）求袋中原有白球的個數；（2）求隨機變量 的分布列及期望E .4. 【2017年第一次全國大聯考江蘇卷】已知正四棱柱的底面邊長為2，高為3，現 從該正四棱柱的8個頂點中任取3個點.設隨機變量的值為以取出的3個點為頂 點的三角形的面積(1) 求概率P( =2)；(2) 求的分布列，并求其數學期望 E().5. 【2017年高考原創(chuàng)押題預測卷 02 (江蘇卷)】某校為了解本校學生的課后玩電 腦游戲時長情況，隨機抽取了 100名學生進行調查.下面是根據調查結果繪制的學 生每天

33、玩電腦游戲的時長的頻率分布直方圖.(I)根據頻率分布直方圖估計抽取樣本的平均數X和眾數m (同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；(U)已知樣本中玩電腦游戲時長在 50,60的學生中，男生比女生多 1人，現從中 選3人進行回訪，記選出的男生人數為，求的分布列與期望E().6. 【揚州市2016 2017學年度第一學期期末檢測】(本小題滿分 10分)為了提高學生學習數學的興趣，某校決定在每周的同一時間幵設數學史、生活中的數學、數學與哲學、數學建模四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學每人均在四門校本課程中隨機選一門進行學習，假設三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的.(1) 求

34、甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；(2) 設X為甲、乙、丙三人中選修數學史的人數，求X的分布列和數學期望 E(X).7. 【2017南通揚州泰州蘇北四市高三二模】(本小題滿分10分)某樂隊參加一戶外音樂節(jié)，準備從3首原創(chuàng)新曲和5首經典歌曲中隨機選擇 4首進行演唱.(1)求該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率;（2）假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊的互動指數為a （a為常數），演唱一首經典歌曲觀眾與樂隊的互動指數為2a.求觀眾與樂隊的互動指數之和X的概率分布及數學期望.8.【江蘇省揚州中學 20152016學年第二學期質量檢測】計劃在某水庫建一座至多安裝 3臺發(fā)電機的 水電站，過去50年的水文資

35、料顯示，水庫年入流量X （年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在 40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35 年, 超過120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.（1 ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系；年入流量X發(fā)電機最多可運行臺數123若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為 5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損 800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，

36、應安裝發(fā)電機多少臺？9.【江蘇省蘇中三市（南通、揚州、泰州）2016屆高三第二次調研測試數學試題】（本小題滿分10分）一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球.參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球 3次.參加者預先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球.當所指定的玻璃球不 出現時，游戲費被沒收；當所指定的玻璃球出現1次，2次，3次時，參加者可相應獲得游戲費的0倍，1倍，k倍的獎勵（N*）,且游戲費仍退還給參加者.記參 加者玩1次游戲的收益為X元.（1）求概率P X =0的值；（2）為使收益X的數學期望不小于0元，求k的最小值.（注：概率學源于賭博，請自覺遠離不正當的游戲?。?0 .【南京市、鹽城市2016屆高三年級第二次模擬考試】(本小題滿分10分)甲、乙兩人投籃命中的概率分別為 -與1，各自相互獨立.現兩人做投籃游戲，共比32賽3局，每局每人各投一球.(1) 求比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1個的概率；(2) 設E表示比賽結束后甲、乙兩人進球數的差的絕對值，求E的概率分布和數 學期望E( E ).11.【南京市2016屆高三年級第