人民大學保險精算學

1、人民大學保險精算學一、利息的定義利息產(chǎn)生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場合，它的實質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金.用以 補償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的缺失。二、利息的度雖利息能夠按照不同的標準來度址.要緊的度量方式有1、按照計息時刻劃分：期末計息:利率期初汁息：貼現(xiàn)率2、按照積存方式劃分:（1）線性積存：單利il息單貼現(xiàn)計息（2）指數(shù)積存:復利計息復貼現(xiàn)計息（3）單復利/貼現(xiàn)計息之間的相關(guān)關(guān)系0單利的實質(zhì)利率逐期遞減，復利的實質(zhì)利率保持恒定。單貼現(xiàn)的實質(zhì)利率逐期遞増，復貼現(xiàn)的實質(zhì)利率保持恒定時相同譏復利場合.復利汁息比單利訃息產(chǎn)生更大的積存值 I大I此長期業(yè)務一樣復利計

2、息。 時.相同單復利場合，單利計息比復利汁息產(chǎn)生更大的枳存值。閃此短期業(yè)務一樣單利計息。3、按照利息轉(zhuǎn)換頻率劃分：（1）一年轉(zhuǎn)換一次：實質(zhì)利率 （實質(zhì)貼現(xiàn)率 ）（2）年轉(zhuǎn)換 次：名義利率（名義貼現(xiàn)率）（3）連續(xù)訃息（一年轉(zhuǎn)換無窮次）：利息效力專門.恒定利息效力場合有三、變利息lx 什么是變利息2、常見的變利息情形（1）連續(xù)變化場合（2）離散變化場合第二節(jié)：利息咨詢題求解原則一、利息咨詢題求解四要素1、原始投資木金2、投資時期的長度3、利率及il息方式4、木金在投資期末的積存值二. 利息咨詢題求解的原則1、木質(zhì)任何一個有關(guān)利息咨詢題的求解木質(zhì)差不女上對四要素知三求一的咨詢題。2、工具現(xiàn)金流圖：一

3、維坐標圖，記錄資金按時刻順序投入或抽出的示總圖。3、方法建立現(xiàn)金流分析方程（求值方程）4、原則在任總時刻參照點，求值方程等號兩邊現(xiàn)時值相等。第三節(jié)：年金一、年金的定義與分類1、年金的定義：按一定的時刻間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款. 現(xiàn)已推廣到任總間隔長度的系列付款。2、年金的分類：（1）差不多年金約束條件：等時刻間隔付款付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致每次付款金額恒定（2）一樣年金不滿足差不多年金三個約束條件的年金即為一樣年金。二、差不多年金lx 分類（1）付款時刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、差不蚩年金公式推導3、變利率年金咨詢

4、題(1)時期變利率（第個時期利率為 ）（2）付款變利率（第次付款的年金始終以利率計息）三、一樣年金（1）支付頻率不同于訃息頻率（2）變額年金2、支付頻率不同于計息頻率年金(1)支付頻率小于計息頻率的年金分析方法一：利率轉(zhuǎn)換方法二：年金的代數(shù)分析(2)支付頻率大于計息頻率的年金分析方法一利率轉(zhuǎn)換方法二：年金的代數(shù)分析連續(xù)年金專門.在常數(shù)利息效力場合3、變額年金（1）等差年金初始投資P元，等差Q元的年金的一樣公式:現(xiàn)時值：積存值：專門地，遞増年金：P=Q=1現(xiàn)時值：積存值：遞減年金：P=n. Q=-l現(xiàn)時值：枳存值：(2)等比年金（下一期年金值為前一期年金值的（廠倍）現(xiàn)時值:積存值：一、收益率的概

5、念1、貼現(xiàn)資金流與現(xiàn)金流淌表2、收益率的定義：使得投資返回凈現(xiàn)時值等于零時的利率稱為收益率。也稱為“內(nèi)返回率”二. 收益率的唯獨性判不K由于收益率是髙次方程的解，因此它的解專門可能不唯獨。2、Descartes符號判不定理：收益率的最大重數(shù)小于等于資金流的符號改變次數(shù)。3、收益率唯獨性判不定理二：整個投資期間未動用投資余額始終為正收益率唯獨。三. 再投資率1、木金的再投資率2. 利息的再投資率四、基金的利息度雖1、 幣值加權(quán)方法2、時刻加權(quán)方法第五節(jié)：分期償還表和償債基金一、分期償還和償債基金的概念1、分期償還：借款人按一定的周期用分期付款的方法償還貸款，這種還貸方法稱為分期償還。2. 償債基

6、金：借款人在貸款期末用一次的集中付款來償還貸款人。利息則在此期間分期付款.并 假設借款人周期性地付款給一個“基金”，該“基金”在貸款期末的積存值正好能夠償還貸款木金。二、分期償還表時期付款金額支付利息償還木金未償還貸款余額0一一一11110總計三、償債基金時期付款金額支付利息存入償債基金償債基金積存值未償還貸款余額0一一一一110總計對償債基金而言.第次付款的實際支付利息為:第次付款的實際償還木金為:第二章生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造一、生存函數(shù)K 定義：2、概率意義：新生兒能活到 的概率3、與分布函數(shù)的關(guān)系：4、與密度函數(shù)的關(guān)系：二、剩余壽命1、定義：差不多活到k歲的人(簡記 )，還能連續(xù)存活的時

7、刻，稱為剩余壽命記作T(x).2、剩余壽命的分布函數(shù)5、:,它的概率總義為:將在以后的年內(nèi)去世的概率.簡記3、剩余壽命的生存函數(shù):5.剩余壽命的期望與方差它的概率意義為：能活過歲的概率.簡記專門：（1）（2）（3）（4）:將在歲與歲之間去世的概率4. 整值剩余壽命（1）定義：以后存活的完整年數(shù)，簡記（2）概率函數(shù):（1）期望剩余壽命:剩余壽命的期望值（均值）.簡記（2）剩余壽命的方差:6、整值剩氽壽命的期望與方差（1）期望整值剩氽壽命：整值剩余壽命的期望值（均值），簡記（2）整值剩余壽命的方差:三、死亡效力lx定義：的人瞬時死亡率.記作2、死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系3、死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系4

8、、死亡效力表示剩氽壽命的密度函數(shù)記為剩余壽命的分布函數(shù),的密度函數(shù)，則第二節(jié)生命表的構(gòu)適一、有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型1、de Moivre 模型(1729)2、Gompertz 模型(1825)3、Makeham 模型(I860)4、Weibull 模型(1939)二、生命表的起源lx參數(shù)模型的缺點（1）至今為止找不到專門合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合成效不令 人中意。（2）使用這些參數(shù)模型估雖以后的壽命狀況會產(chǎn)生專門大的誤差（3）壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。（4）在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。2.生命表的

9、起源（1）生命表的定義依照已往一定時期內(nèi)幹種年齡的死亡統(tǒng)汁資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.（2）生命表的進展歷史1662年,Jone Graunt,依照倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單，寫過生命表的自然和政治觀看。這是生命 表的最早起源。（3）生命表的特點構(gòu)造廉理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣木場合）、不依靠總體分布假定（非參數(shù)方法）三、生命表的構(gòu)適1、原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀看數(shù)據(jù)運算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估量頻率）2、常用符號（1）新生生命組個體數(shù)：（2）年齡：（3）極限年齡：（4）個新生生命能生存到年齡的期望個數(shù):(5)個新生生命中在年齡與之間死亡的期望個數(shù):專門.當時.記作（

10、6）個新生生命在年齡與區(qū)間共存活年數(shù):個新生生命中能活到年齡的個體的剩余壽命總數(shù):四、選擇與終極生命表1、選擇-終極生命構(gòu)造的緣故（1）需要構(gòu)造選擇生命表的緣故：剛剛同總體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于專門早往常同總體檢的老成員。（2）需要構(gòu)造終極生命表的緣故：選擇效力會隨時刻而逐步消逝2、選擇-終極生命表的使用第三節(jié)有關(guān)分數(shù)年齡的假設一.使用背景生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布，但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況，因此我們通常依釜相鄰兩個 整數(shù)生存數(shù)據(jù)，選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定，估雖分數(shù)年齡的生存狀況二、差不多原理插值法 三、常用假定lx平均分布（Uniform Distribution）

11、假定：（線形插值）2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（幾何插值）3、Balducci假定（調(diào)和插值）四、三個假定下的生命表函數(shù)函數(shù)平均分布假定恒定死亡效力假定Balducci 假定第三章人壽保險亙繳純保費的厘定一、人壽保險簡介1、什么是人壽保險(1)狹義的人壽保險是以被保險人在保證期是否死亡作為保險標的的一種保險c（2）廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保證期內(nèi)被保險人死亡為標的的狹義壽險.也包括以保證期內(nèi)被保險人一輩子存為標底的生存保險和兩全保險。2. 人壽保險的分類依照不同的標準，人壽保險有不同的分類：（1）以被保險人的受益金額是否恒定進行劃

12、分，可分為：定額受益保險.變額受益保險。（2）以保證期是否有限進行劃分，可分為：定期壽險和終身壽險（3）以保爪簽約日和保證期是否同時進行劃分，可分為：非延期保險和延期保險。（4）以保證標的進行劃分，可分為：人壽保險（狹義）.生存保險和兩全保險3、人壽保險的性質(zhì)（1）保證的長期性：壽險的保證期通常比較長。這使得從投保到賠付期間的投資受益（利 息）成為不容忽視的因素。閃而.壽險產(chǎn)品純保費的厘定通常要考慮利率的阻礙。（2）保險賠付金額和賠付時刻的不確定性：人壽保險的賠付金額和賠付時刻依靠于被保險 人的生命狀況。以狹義的定期變額人壽保險為例假如被保險人在保證期內(nèi)沒有死亡，到期賠付金額為零: 假如被保險

13、人在保證期內(nèi)死亡，保險公司將在被保險人死亡時給付與死亡時刻相關(guān)的某個數(shù)額的賠償金。 被保險人的死亡時刻是一個隨機變址。這就總味普保險公司的賠付額也是一個隨機變雖.它依靠于被保險 人剩余壽命分布。（3）被保證人群的大數(shù)性：對魏個被保險人而言他會在什么時刻死亡是不可估雖的。但 對大量的被保險人構(gòu)成的一個大數(shù)群體而言，他們的剩余壽命分布是有統(tǒng)訃規(guī)律的。這就總味著.保險公 司能夠依靠概率統(tǒng)il的原理運算出平均賠付并可推測今后的風險。二、人壽保險私繳純保費厘定的原理K假定傳統(tǒng)的人壽保險產(chǎn)品的私繳純保費是在如下假定下厘定的：假定一：同性不、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命獨立同分布。假定二被保險人的剩

14、余壽命分布能夠用體會生命表進行擬合假定三：保險公司能夠推測今后的投資受益（即預定利率）。2、原理保險公司在上面三個假定條件下，按照凈均衡的原則來厘定迢繳純保費的數(shù)額。所謂凈均衡原則.即保費收入的期望現(xiàn)時值正好等于今后的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)汁 總義上的收支平穩(wěn)。是在大數(shù)場合下收費期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值。而克繳純保費是抬在保爪生效日一次性支付今后保險賠付金的期望現(xiàn)時值。:保尬生效到賠付的時刻:從賠付時刻回溯至保収生效時的利息貼現(xiàn)稱為貼現(xiàn)函數(shù)。:賠付時刻賂付的金額.或者講是被保險人的受益金額.稱為受益函數(shù)。:受益賠付額回溯到保m生效時的現(xiàn)時值.稱為現(xiàn)時隨機變雖.它是一個依鑒于

15、賠付時刻.賠付金額 和貼現(xiàn)函數(shù)的隨機變雖，簡記為，有按照凈均衡原則，私繳純保費就等于。第二節(jié)死亡即刻賂付保險趙繳純保費的厘定死亡即刻賠付的含義1、死亡即刻陪付確實是抬假如被保險人在保證期內(nèi)發(fā)生保險責任范疇內(nèi)的死亡，保險公司將在死 亡爭件發(fā)生之后，趕忙給予保險賠付。它是在實際應用場合.保險公司通常采納的理賠方式。2、由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任總時刻，因此死亡即刻陪付時刻是一個連續(xù)隨機變雖. 它距保訊生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。二、要緊險種死亡即刻賂付私繳純保費的厘定1、 年定期壽險（1）定義：保險人只對被保險人在投保后的 年內(nèi)發(fā)生的保險責任范疇內(nèi)的死亡給付保險金的

16、險種.又 稱為年死亡保險。（2）假定：的人投保保額為1氓位元數(shù)的年定期壽險（3）差不多函數(shù)關(guān)系（4）年定期壽險死亡即刻陪付迢繳純保費（）的厘定2、終身壽險（1）定義：保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范疇內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。（2）假定：的人投保保額為1氓位元數(shù)的終身壽險（3）差不笫函數(shù)關(guān)系（4）終身壽險死亡即刻賂付私繳純保費（）的厘定（5）現(xiàn)值隨機變雖的方差3. 延期 年的終身壽險（1）定義：保險人只對被保險人在投保年后發(fā)生的保險責任范疇內(nèi)的死亡給付保險金的險種。（2）假定的人投保保額為1訊位元數(shù)的延期年的終身壽險（3）差不多函數(shù)關(guān)系（4）延期年的終身壽險死亡即刻陪付迢繳純

17、保費（）的厘定（5）現(xiàn)值隨機變雖的方差則4. 年定期生存險（1）定義：被保險人投保后生存至 年期滿時.保險人在笫 年末支付保險金的險種。（2）假定：的人投保保額為1訊位元數(shù)的年定期生存險（3）差不多函數(shù)關(guān)系（4）年定期生存險趙繳純保費（）的厘定5. 年定期兩全險（1）定義：被保險人投保后假如在 年期內(nèi)發(fā)生保險責任范疇內(nèi)的死亡保險人即刻給付保險金：假如 被保險人一輩子存至年期滿，保險人在第年末支付保險金的保險。因此年定期兩全險實際上等 價于年生存保險加上年定期壽險的組合。（2）假定：的人投保保額為1做位元數(shù)的年定期兩全險（3）差不多函數(shù)關(guān)系（4）年定期兩全險死亡即刻賠付蘇繳純保費（）的厘定年定期

18、壽險現(xiàn)值隨機變量為址為 已知年定期生存險現(xiàn)值隨機變址為年定期兩全險現(xiàn)值隨機變則有（5）現(xiàn)值隨機變雖的方差因為因此又因為因此年定期兩全保險現(xiàn)值隨機變雖的方差等價干6. 延期 年的年定期兩全險（1）定義：被保險人在投保后的前年的死亡不獲賠償.從第年開始為期 年的定期兩全險。明顯它相、I于延期年的年定期壽險和延期年的年定期生存險的組合（2）假定： 的人投保保額為1啟位元數(shù)的延期年的年定期兩全險（3）差不多函數(shù)關(guān)系(4)延期年的年定期兩全險死亡即刻賠付私繳純保費（）的厘定記延期年的年定期壽險現(xiàn)值隨機變雖為延期年的年定期生存險現(xiàn)值隨機變址為延期年的年定期兩全險現(xiàn)值隨機變址為，有從延期年的定期兩全保險的定

19、義還能夠直彼了為推出它的迢繳純保費等于因為因此延期年的年定期兩全保險現(xiàn)值隨機變址的方差等價于7、遞増終身壽險（1）定義：遞増終身壽險是變額受益保險的一種專門情形。假定受益金額為剩余壽命的遞增線性函數(shù)。（2）假定：的人投保初始保額為1取位元數(shù)的遞增終身壽險，假如保險賠償金一年遞増一次，即受益函數(shù)為：，記這種遞増終身壽險私繳純保費為假如保險賠償金一年遞増次，即受益函數(shù)為，記這種遞増終身壽險愆繳純保費為假如保險賠償金一年遞増無窮次（連續(xù)遞増即受益函數(shù)為，記這種遞增終身壽險私繳純保費為（3）差不多函數(shù)關(guān)系的現(xiàn)值隨機變雖為的現(xiàn)值隨機變雖為的現(xiàn)值隨機變雖為(4)遞増終身人壽保險死亡即刻賠付私繳純保費的厘定

20、的厘定的厘定的厘定8x遞減年定期壽險（1）定義：遞減定期壽險是變額受益保險的一種專門情形。假定受盜金額為剩余壽命的遞減線性函數(shù)。（2）假定：的人投保初始保額為1譏位元數(shù)的遞減定期壽險.假如保險賠償金一年遞減一次，即受益函數(shù)為：記這種遞減定期壽險私繳純保費為假如保險賠償金一年遞減 次即受益函數(shù)為保費為記這種遞減定期壽險私繳純.記這種減定期壽險假如保險賠償金一年遞減無窮次（連續(xù)遞増）即受益函數(shù)為 私繳純保費為（3）差不多函數(shù)關(guān)系的現(xiàn)值隨機變雖為的現(xiàn)值隨機變雖為的現(xiàn)值隨機變雖為（4）遞減定期壽險死亡即刻賂付免繳純保費的厘定的厘定的厘定的厘定第三節(jié)死亡年末賠付保險私繳純保費的厘定一、死亡年末賠付的含義

21、1、死亡年末陪付是抬假如被保險人在保證期內(nèi)發(fā)生保險責任范疇內(nèi)的死亡保險公司將在死亡事件發(fā)生 的十年年末給予保險賠付。2、由干賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的、”1年年末，伙I此死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變雖.它距保 單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好能夠使用以整值年齡為刻度的生 命表所提供的生命表函數(shù)。因此死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定浄凈凈宦繳保費時通常先假定的理 賠方式。二、要緊險種死亡即刻賠付私繳純保費的厘定1、年定期壽險（1）差不多函數(shù)關(guān)系記 為被保險人整值剩余壽命，則（2）年定期壽險死亡年末陪付迢繳純保費（）的厘定等式兩邊同乘以，得這一等式顯示了保

22、魏發(fā)行時個歲的被保險人的凈冕繳保費總和與按死亡預期流出的資金雖現(xiàn)時值 之間的平穩(wěn)關(guān)系。（3）現(xiàn)值隨機變雖的方差（1）（4）比較明顯，和死亡即刻賠付情形下趙繳純保費的運算模型相比，這兩個精算模型的構(gòu)造思想、運算步腺都一樣. 唯獨不同的確實是一個連續(xù)（），一個離散（ ）:一個的期望是求積分得到（），一個的期望是求累加和得到（）-2. 其它險種場合明顯.其它險種場合的情形和定期壽險場合一樣。我們?nèi)菀椎玫饺缦陆Y(jié)果：險種凈至繳保費終身壽險延期年終身壽險年兩全保險延期年年兩全保險遞增終身壽險（一年遞増一次）遞減 年定期壽險（一年遞減一次）三、死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系（剩余壽命在分數(shù)時期平均分布假定

23、下）以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分數(shù)生存壽命：同理能夠驗證.在如下兩個條件:（2）只依更于剩余壽命的整數(shù)部分.HU則有換言之，滿足如上兩個條件.死亡即刻賠付即為死亡年末賠付的倍C公式公式二明白得： 個歲的被保險人所繳的克繳保費之和通過一年的積存年年末可為所有的被保險人提供 次年的凈私繳保費，還能夠為所有在肖年去世的被保險人提供額外的。公式三歲時的凈趙繳保費與起初 歲時的凈趙繳保費之差等于保費明白得：年齡為 的被保險人在活到 的一年利息減去提供一年的保險成木。公式四：明白得：的寇繳純保費等干其以后所有年份的保險成木的現(xiàn)時值之和。第五節(jié)運算基數(shù)一、什么是運算基數(shù)定義：在保險

24、精算學中.有些保費的運算過程往往專門繁瑣.為簡化運算步驟.引入一些換算函數(shù).這些 換算函數(shù)是一些依照假定條件爭先算好的中間雖.也稱為運算基數(shù)，一樣的保費運算都能夠表示成這些運 算基數(shù)的函數(shù)形式。二、常用運算基數(shù)三、用運算基數(shù)表示常見壽險的超繳純保費生存年金的定義和分類1、生存年金的定義：以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年.爭、丿J）支付一次保險金的保險類型。2、生存年金的分類(1)延付年金、初付年金(2)連續(xù)年金、離散年金(3)定期年金、終身年金(4)非延期年金S延期年金(5)被保險人支付的保費年金.保險人支付的保險賠付年金3、生存年金與確定性年金的關(guān)系（1）確定性年金：支付期數(shù)確

25、定的年金（利息理論中所講的年金）。（2）生存年金與確定性年金的聯(lián)系：差不多上每隔一段時刻的系列付款（3）生存年金與確定性年金的區(qū)不：確定性年金的支付期數(shù)是確定的，而生存年金的支付 期數(shù)是不確定的（以被保險人一輩子存為條件）二、生存年金的用途1、被保險人保費交付常使用生存年金的方式2、某些場合保險人理賠時支付的保險金采納生存年金的方式.專門在：養(yǎng)老保險、殘疾保險、撫恤保 險.失業(yè)保險等場合。第二節(jié)與生存相關(guān)聯(lián)的一次性支付一. 年期生存保險定義現(xiàn)齡 歲的人在投保 年后仍舊存活.能夠在笫 年末獲得生存賠付的保險稱為 年期生存保險。這 確實是我們在第三章講到的純生存保險。單位元數(shù)的年期生存保險的私繳純

26、保費為 。在生存年金研尤中適應用表示該保險的精算現(xiàn)值二、相關(guān)公式及帝義明白得:年齡現(xiàn)時值11S1第三節(jié)連續(xù)生存年金一、連續(xù)生存年金簡介1、定義：在保證時期內(nèi)，以被保險人一輩子存為條件.連續(xù)支付年金的保險。2、分類:終身（永久）連續(xù)生存年金.定期連續(xù)生存年金延期連續(xù)生存年金、非延期連續(xù)生存年金3、連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估址方法U當期支付技巧：考慮以后連續(xù)支付的現(xiàn)時值之和U綜合支付技巧：考慮年金在因死亡或到期而終止時的總值。二、終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估量1、綜合支付技巧步驟一：運算到死亡發(fā)生時刻T為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和步驟二：運算那個年金現(xiàn)值關(guān)于時刻積分所得的年金期望值即終身連續(xù)生存年

27、金精算現(xiàn)值，記作:2. 當期支付技巧步驟一：運算在時刻所支付的半期年金的現(xiàn)值步驟二：運算該十期年金現(xiàn)值按照可能支付的時刻積分.得到期望年金現(xiàn)值3、相關(guān)公式三、定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估雖1、綜合支付技巧2、T期支付技巧3、相關(guān)公式四、延期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估雖歲之后，每年可獲1笊位元數(shù)的連續(xù)支付的延期年金.1、延期 年終身生存年金：與 活到 其輔算現(xiàn)值記作也等價于歲之間存活時，每年可獲1單位2、延期 年年定期生存年金：當 在歲與元數(shù)的連續(xù)支付的延期年金.其精算現(xiàn)值記作也等價于一、離散生存年金簡介lx定義：在保證時期內(nèi)，以被保險人一輩子存為條件，每隔一段時刻支付一次年金的保險。2、連續(xù)生存

28、年金與離散生存年金的關(guān)系(1) 運算粘算現(xiàn)值的理論基礎(chǔ)完全相同(2) 不同的是求精算現(xiàn)值時:連續(xù)場合使用枳分運算一離散場合使用累加求和 連續(xù)場合沒有初付、延付的咨詢題，離散場合嬰分初付、延付分開考慮3、分類:初付生存年金、延付生存年金終身離散生存年金、定期離散生存年金延期離散生存年金、非薙期離散生存年金二、初付生存年金精算現(xiàn)值的估量由于大蚩數(shù)壽險公司都采納的是初付年金的方式收収保費，因此我們第一討論初付年金的精算現(xiàn)值的估址。1、初付終身生存年金當期支付技巧（2）綜合支付技巧（3）相關(guān)公式2、初付定期生存年金（1）期支付技巧（2）綜合支付技巧（3）相關(guān)公式3、延期初付生存年金險種延期年終身生存年

29、金延期年年定期生存年金粘算現(xiàn)值三、延付生存年金精算現(xiàn)值的估雖1、初付生存年金與延付生存年金的關(guān)系2、常見險種的延付生存年金險種延付年金精算現(xiàn)時值終身生存年金年定期生存年金延期年終身生存年金延期年年定期生存年金第五節(jié)年付次的生存年金一.年付次的終身生存年金（初付）1、差不多公式2、UDD假定下的公式3、近似公式二.年付 次的定期生存年金（初付）1、差不笫公式2、UDD假定下的公式3、近似公式三、年付 次的延期生存年金（初付）險種精算現(xiàn)值近似公式延期年終身生存年金延期年年定期生存年金險種初付延付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金第五章純保費和毛保費一、保費的構(gòu)成二.保費的分類

30、lx按保費繳納的方式分：一次性繳納：趙繳（純/毛）保費以年金的方式繳納：期繳（純/毛）保費2. 按保險的種類分：只覆蓋死亡的保險：純壽險保費只覆蓋生存的保險：生存險保費既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險：兩全險保費在前兩草中，我們差不女學過各險種場合私墩純保費的確定:（1）純壽險球繳純保費（死亡受益死亡即刻支付）終身壽險趙繳純保費：年延期終身壽險私繳純保費：年定期壽險私墩純保費：年延期年定期壽險私繳純保費:（2）生存險私繳純保費的確定（一次性生存受益期末支付.生存年金受益期初支付）年定期生存險迢繳純保費：終身生存年金弦繳純保費：年延期終身生存年金私繳純保費：年定期生存年金私繳純保費：年延期年定期生存年

31、金克繳純保費：（3）兩全險私繳純保費的確定（死亡受益死亡即刻支付.生存受益保險期沒支付）年定期兩全險克繳純保費：第二節(jié)凈均衡保費一、凈均衡保費與逗繳純保費的關(guān)系1、純保費厘定原則一一平穩(wěn)原則：保險人的潛在虧損均值為零。L二給付金現(xiàn)值-純保費現(xiàn)值E （L） =0E （給付金現(xiàn)值）=E （純保費現(xiàn)值）2、凈均衡保費與迢繳純保費的關(guān)系E （趙繳純保費現(xiàn)值）=E （凈均衡保費現(xiàn)值）二、各險種凈均衡保費的理定K完全連續(xù)凈均衡年保費的厘定（1）終身壽險完全連續(xù)凈均衡年保費的厘定0假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保爪生效起按年連續(xù)交付保費（給付連續(xù).繳費也連續(xù)）厘定過程:（2）常見險

32、種完全連續(xù)凈均衡年保費總結(jié)險種完全連續(xù)凈均衡年保費終身人壽保險年定期壽險年兩全保險年繳費終身人壽保險年繳費年兩全保險年生存保險年遞延終身生存保險2.完全離散凈均衡年保費的厘定（1）終身壽險完全離散凈均衡年保費的厘定0假定條件：死亡年末給付1的位的終身人壽保險，被保險人從保訊生效起每年年初交付保費（給付離散.繳費也離散）厘定過程:（2）常見險種完全離散凈均衡年保費的厘定險種完全連續(xù)凈均衡年保費終身人壽保險年定期壽險年兩全保險年繳費終身人壽保險年繳費年兩全保險年生存保險年遞延終身生存保險（1）終身壽險半連續(xù)凈均衡年保費的厘定3. 半連續(xù)純年保費的厘定0假定條件：死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被

33、保險人從保爪生效起每年年初交付保費（給付連續(xù).繳費離散.這是實際中最常見的給付.繳費方式）0厘定過程:（2）常見險種完全離散凈均衡年保費的厘定險種完全連續(xù)凈均衡年保費終身人壽保險年定期壽險年兩全保險年繳費終身人壽保險年繳費年兩全保險年生存保險年遞延終身生存保險4、每年繳納數(shù)次保費的純保費的厘定0終身壽險年繳 次保險假定條件：死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起每年繳費 次.每期期初繳費（給付連續(xù).繳費離散0厘定過程:第三節(jié)毛保費 一、保險費用簡介1、定義：保險公司支出的除了保險責任范疇內(nèi)的保險金給付外.其它的堅持保險公司正常運作的所有費用 支出統(tǒng)稱為經(jīng)營費用這些費用必須由保費

34、和投資收益來補償。2、保險費用范疇：稅金.許可證、保險產(chǎn)品生產(chǎn)費用、保單銷售服務費用.合同成立后的堅持費、投資費 用等。3、保險機構(gòu)營業(yè)費用的一種分類方案:費用分類分類(1)分析投資(2購買、銷售及服務成本(1)銷售費用（含廣告費及代理人傭金）保險新契約費(2)風險分類（含體檢費用）(3)預備新保單及會計堅持費(1)(2)保費收取及會計收益變更及受益選擇權(quán)選擇(3)與保單持有者聯(lián)絡(1)研究營業(yè)費用(2)精算與一樣法律服務一般會計(4)稅金、許可證等費用支付費用(1)理賠調(diào)査及辯護費(2)受益支付費用二、毛保費的確定1、毛保費的定義：保險公司實際收取的保費為用于保險金給付的純保費和用于各種經(jīng)營

35、費用開支的附加費用之和即毛保費. 簡記為：G2、毛保費厘定原則差不多原則：精算等價原則毛保費精算現(xiàn)值二純保費精算現(xiàn)值+附加費用的精算現(xiàn)值二各種給付精算現(xiàn)值+備種費用支出精算現(xiàn)值三、單位保収費用1. 保訊費用：在保險費用中，有一部分附加費用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險金額或保險費無關(guān)，這部分 費用稱為?？傎M用.如預備新保單.建立會計記錄、郵寄保費通知的費用等。2、毛保費的分析（1）毛保費可分為三部分：第二部分：怨保費數(shù)額有關(guān)的費用如代埋人傭金、保險費稅金等第三部分：只與保單數(shù)目有關(guān)的費用（保單費用）。如預備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知爪等。（2）毛保費構(gòu)成分析其中：:保險金額為 的保單的毛保費

36、。:保險成木中與保險金額相關(guān)的部分其中収位保險的純保費是它的要緊部分。:每份保單平攤的費用.即單位保収費用。:附加費用在毛保費中所占的百分比。3. 費率函數(shù)（1）定義（2）近似費率公式假如近似總保費等于真實總保費。假如，近似總保費商干真實總保費。假如近似總保費低干真實總保費。（2）帶狀費率公式依照保險面額不同.分成不同的“bands”（區(qū)間帶）假如，近似總保費等干真實總保費。假如近似總保費高干真實總保費。假如近似總保費低干真實總保費。一. 責任預備金的定義1、責任傾備金產(chǎn)生緣故除了保單發(fā)行日以外，以保證期內(nèi)任總某個時刻為參照點，以后收支的現(xiàn)時值都有可能不平穩(wěn)2、凈責任預備金定義：保險公司在任一

37、時刻對每個現(xiàn)存被保險人的未盡責任現(xiàn)時值，就稱為凈責任預備金。也確實是在該時刻每個現(xiàn)存的被保險人今后收益的現(xiàn)時值因此也稱為受益責任預備金。它的實質(zhì)是現(xiàn)存被保險人以后收益與以后繳費現(xiàn)時值之差O3、責任偵備金的分類（1）按殺蓋責任分凈責任預備金（受益責任預備金）:覆蓋被保險人今后的保險收益費用責任預備金：覆蓋保險公司今后的費用支出（2）按被保險人繳費.保險人賠付的方式分 完全連續(xù)責任預備金（死亡即刻賠付.連續(xù)繳費） 完全離散責任預備金（死亡年末賠付.生存期初繳費） 半連續(xù)責任預備金（死亡即刻賠付，生存期初繳費）二、凈責任預備金確定原理以完全連續(xù)終身壽險為例1、前瞻虧損（prospective los

38、s）其中:2、凈責任預備金的確定前瞻虧損的期望即該時刻的凈責任預備金.記作用這種廉理確定責任預備金的方法稱為前瞻方法。前瞻虧損的方差三、用前瞻法確定常見險種的責任預備金1、終身壽險，終身繳費2、 年定期壽險. 年繳費3. 年兩全險， 年繳費4、次繳費終身壽險5. 次繳費年定期壽險6、年延期，年繳費的終身生存年金四. 凈責任預備金的其它確定公式1、保費差公式（1）明白得：責任預備金等于剩氽繳費期內(nèi)保費差的精算現(xiàn)值。（2）推導：（以完全連續(xù)終身壽險為例）2、繳清保險公式（1）明白得：責任預備金等于部分受益的精算現(xiàn)值。（2）推導：（以完全連續(xù) 年定期兩全保險為例）3、后顧方法（1）明白得：責任預備金

39、是已付保費積存值與保險成本積存值（accumulated cost of insurance）之差。（2）推導:4、應用前瞻公式和后顧公式的原則（1）在保證時刻超過繳費期的場合，使用前瞻法更為方便（2）在尚未提供受益的遞延期內(nèi)，使用后顧法更為方便5、其它公式五、完全離散場合責任預備金的遞推公式1、責任傾備金的含義:講明：責任預備金為以后的保險責任的現(xiàn)時值減去以后保費收入的現(xiàn)時值。2、講明： 第年死亡受益，為第年初繳付保費。則第年為每個現(xiàn)存的被保險人預備的責任預備金加上每個現(xiàn)存的被保險人繳付的保費 積存到年末正好能夠為每個在這一年內(nèi)死亡的被保險人提供 元的死亡賠付，并為在該年末存活的每位被保險人

40、預備 元責任預備金。3.講明：稱為風險凈值，是指一旦這一年中有死亡發(fā)生，死亡受益超過責任預備金部分的數(shù)額。該遞推公式講明每一位年初存活的被保險人所繳保費及年初所繳保費與年初責任預備金所產(chǎn)生的利息之和 有兩個用途：一是補償年末責任預備金與年初責任預備金的差值：二是補償該年死亡發(fā)生時而產(chǎn)生的風險六、半連續(xù)責任預備金的確定依照死亡年末給付與死亡即刻給付之間的關(guān)系，依照半連續(xù)保費與完全離散保費之間的關(guān)系.半連續(xù)責任預備金都能夠轉(zhuǎn)換為完全離散責任預備金的函數(shù)。以次繳費年定期壽險為例 其他險種場合能夠同理推導。七、一年繳費若干次責任預備金的確定一年繳費若T次的責任預備金能夠表示為一年嫩費一次的完全離散責任

41、預備金加上一個缺失保費的 額外附加責任預備金。以一年 次繳費的完全離散終身壽險為例該責任預備金推導:同理.一年次繳費的完全離散年兩全保險的責任預備金為講明：“缺失保費”部分形成的額外責任預備金等于繳費期內(nèi)每次繳納元（終身壽險為）純保費的純壽險完全離散責任預備金（終身壽險為）的一部分，比例為O八、分數(shù)期責任預備金的確定UDD假定下，近似方法：第二節(jié)修正責任預備金一、責任預備金產(chǎn)生緣故K費用責任預備金（1）凈保費責任偵備金（受益責任偵備金）覆蓋的責任：保險人今后的凈責任換言之，在保險費用這一方面是保險人先墊付r被保險人的費用，被保險人用今后的分期付款逐期償還首 年欠付費用。2、修正責任預備金產(chǎn)生的

42、緣故假如不考世費用責任預備金的因素.始終以凈保費責任預備金為準運算保險公司的債務.會使保險公司保 險初年的負擔專門重，而且利潤溢出各年變動專門大。為了保險公司的利潤溢出比較平滑.也同時兼顧被保險人的利益有了修正責任預備金的槪念二、修正責任預備金方法1、修正責任傾備金原理一一階梯保費制原始等額浄保費示圖沒有修正前是等額掙保費:修正后成為階梯保費:有2、常用修正責任傾備金方法（1）完全初年修正方法則有（2）英國保險監(jiān)督官標準 美國保險監(jiān)俗官標準:假如是島保費保尬：則（3）加拿大修正制加拿大保險法承諾有更大力度的修正。其中：a = 150%凈均衡保費.b=新契約費.。=仍舊提供的治理費用及保浪持有人

43、分紅時在第二年及以后 年中可收回費用的精算現(xiàn)值。第七章多元生命函數(shù)一、筍元生命函數(shù)的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數(shù)C二、筍元生命函數(shù)的作用養(yǎng)老金給付場合合伙人聯(lián)保場合遺產(chǎn)稅的運算場合三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布lx 聯(lián)合密度函數(shù)2、聯(lián)合分布函數(shù)3、聯(lián)合生存函數(shù)4x邊際生存函數(shù)第二節(jié)多元生命狀況-X連生狀況lx連生狀況定義（1）定義：片所有成員都活看時的狀況，稱為連生狀況 T有一個成員死亡時，連生狀況就終止C簡記連生狀況為：（2）連生狀況剩氽壽命的定義：（3）連生狀況剩余壽命的性質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實質(zhì)上確實是個生命的最小次序統(tǒng)il址2、兩個體連生狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)（2）生存函數(shù)專

44、門：兩個體剩余壽命獨立場合（3）密度函數(shù)專門：兩個體剩余壽命獨立場合（4）死亡效力函數(shù)專門：兩個體剩余壽命獨立場合（5）兩個體至少有一個在第年內(nèi)死亡的概率（6）連生狀況整值剩余壽命為的概率（7）剩余壽命的期望二、最后生存狀況1、昴后生存狀況的定義（1）定義：只要至少有一個成員活著時的狀況稱為報后生存狀況。、“I所有的成員都死亡時.最后生存狀況就終止了。簡記最后生存狀況為:(2) 彊后生存狀況剩余壽命的定義:(3) 最后生存狀況剩余壽命的性個生命的最大次序統(tǒng)汁址質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實質(zhì)上確實是2、多生命狀況剩余壽命的關(guān)系(1)(2)(3)(4)3、兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)(1) 分布

45、函數(shù)等價公式(2) 生存函數(shù)等價公式（3）密度函數(shù)等價公式（4）死亡效力函數(shù)（5）最后生存狀況整值剩余壽命為的概率等價公式（6）剩余壽命期望4、聯(lián)合生命狀態(tài)剩氽壽命協(xié)方差分析第三節(jié)聯(lián)合生命模型一.簡介聯(lián)合生命模型分為兩類：Common Shock模型和Copulas模型。Common Shock模型假定個體之間的剩余壽命隨機變址相互獨立的模型。這種模型假定有時與現(xiàn)實情形不 符，但易于分析。Copulas模型假定個體之間的剩余壽命隨機變址不獨立的模型。這種模型假定更符合實際情形，但不易于 分析。我們要緊研究簡爪的Common Shock模型。、Common Shock 模空1、定義：假如有滿足且

46、有一個Common Shock隨機變量 它獨立于且服從指數(shù)生存函數(shù)2、聯(lián)合生命狀況分析記則（1）邊際生存函數(shù)為（2）連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為（3）最后生存狀況剩氽壽命生存函數(shù)為專門.獨立時.等價于聯(lián)合生命狀況趙繳純保費的確定1、迢繳純保費的確定原理2、聯(lián)合藝生命狀況私繳純保費的確定(2)最后生存狀況二. 聯(lián)合生命狀況生存年金的確定1、生存年金確定原理2、聯(lián)合生命狀況生存年金的確定(1) 連生狀況(2) 最后生存狀況三、連生狀況合最后死亡狀況的關(guān)系四、繼承年金K繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個生命(v)死亡之后.另一個生命(u)才能開始獲御年金。這種年金叫做繼承年金，簡記為 。

47、2、終身繼承年金3、定期繼承年金第五節(jié)在專門死亡律假定下求值一、Gomperz 和 Hakeham 假定1、Gomperz假定下査找能替代連生狀態(tài)的魏個生命狀態(tài) 即已知在Gomperz假定下有則在兩生命獨立假定下有由那個等式可求出，因此2、Makeham假定下由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項因此無法用單個生命狀態(tài)替換連生狀態(tài).然而能夠考農(nóng)用兩個同年齡的連生狀態(tài)作替換，即已知在Makeham假定下有則在兩生命獨立假定下有由那個等式可求出，因此 二、平均分布假定在平均分布假定下，免繳純保費和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質(zhì)第七章多元生命函效一、箏元生命函數(shù)的定義：涉及多個生命剩余壽

48、命的函數(shù)C二、多元生命函數(shù)的作用養(yǎng)老金給付場合合伙人聯(lián)保場合遺產(chǎn)稅的運算場合 三、女元剩余壽命的聯(lián)合分布1、 聯(lián)合密度函數(shù)2、聯(lián)合分布函數(shù)3、聯(lián)合生存函數(shù)4. 邊際生存函數(shù)第二節(jié)多元生命狀況一、連生狀況lx連生狀況定義（1）定義：為所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況“有一個成員死亡時，連生狀況就終止C簡記連生狀況為：（2）連生狀況剩氽壽命的定義：（3）連生狀況剩余壽命的性質(zhì)：連生狀況的剩余壽命的實質(zhì)上確實是個生命的最小次序統(tǒng)訃址2、兩個體連生狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)（2）生存函數(shù)專門：兩個體剩余壽命獨立場合（3）密度函數(shù)專門：兩個體剩余壽命獨立場合（4）死亡效力函數(shù)專門：兩個體剩余壽命獨立場合（5）兩個體至少有一個在第年內(nèi)死亡的概率（6）連生狀況整值剩余壽命為的概率（7）剩余壽命的期望二、最后生存狀況1、昴后生存狀況的定義（1）定義：只要至少有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。、“1所有的成員都死亡時.最后生存狀況就終止了。簡記最后生存狀況為：（2）最后生存狀況剩余壽命的定義:(3) 彊后生存狀況剩余壽命的性個生命的最大次序統(tǒng)汁址質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命的實質(zhì)上確實是2、多生命狀況剩余壽命的關(guān)系(1)(2)(3)(4)3、兩