遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2023-2024學(xué)年高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題

遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高二年級10月月考試題

數(shù)學(xué)

命題人：康平縣高級中學(xué)何慶超評審題人：沈陽市第八十三中學(xué)于洋

考試時間：120分鐘試卷總分：150分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷選擇題（共60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個是符合題目要求的.

1.已知向量a=（2,-1,3）,A=（-4,九〃），且a〃人，貝|」〃/+八=（）

A.4B.6C.-4D.-6

2.若46=38+2。石，則直線48與平面。。七的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)

3.已知平面直角坐標(biāo)系中點4（1,一2）,3（機,2）且直線A8的法向量是（4,-2）則實數(shù)用的值是（）

A.-2B.-7C.3D.I

4.直線/經(jīng)過A（2,l）］（l,>XMER）兩點，那么直線/的傾斜角的取值范圍為（）

八冗3八兀

A.[0,%）B.0,一-7tKC.0,—

444

5.己知直線/的方程為（X+2）x+（X—l）y_3X=0（/l￡R）,當(dāng)原點。直線到/的距離最大時，X的值為

（）

A.-5B.-1C.1D.5

6.直線/的方向向量為比=（1,0,—1）,且/過點則點P（—1,2,1）到/的距離為（）

A.yf2B.V3C.V6D.2加

7.柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對正多面體進行系統(tǒng)研究后而得名的兒何體，下圖是棱長均為1的柏拉

圖多面體Q、M.N分別是OE、AB.AD,8尸的中點，則PQ-MN=（）

8.已知NAC8=60°,P為平面ABC外一點，「。=2,。到445。兩邊4。、3c的距離都為J5,則尸到

面ABC的距離（）

A.—B.C.百D,273

33

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若直線/的方向向量為e=（1,0,3）,平面a的法向量為“=1-2,0,|）,則直線/〃e

111

B.若對空間中任意一點。，有OP=—OA+—O8+—OC,則尸、AB、。四點共面

442

C.若｛a/,c｝為空間的一個基底，則｛a+九人+c,c+.構(gòu)成空間的另一個基底

D.同一問=卜+司是a功共線的充要條件

10.下列說法錯誤的是的是（）

9

A.直線x-y-3=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是？

B.若三條直線%+>=0/->=0/+4>=3-。不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)a的取值集合為｛-1,1｝

C.經(jīng)過點（1,2）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-3=0或X->+1=0

D.過（王,兇）,（9,%）兩點的直線方程為三互=三以

y2—M一工1

11.在正三棱柱ABC-4用G中，所有棱長為1,又8G與3。交于點O,則（)

A.B.AO±ByC

C.三棱錐A-880的體積為也冗

D.AO與所成為的角為一

246

12.已知正方體ABC。-qgGA的棱長為2,點E為棱CG的中點，點?在側(cè)面5CC百上運動，且直線

A/平行于平面A"E,下列說法正確的（）

A.P的軌跡長度為J5

B.直線AJ與直線所成角記為。，貝Using的最小值為:

C.平面ARE與平面8CG4所成的銳二面角記為a，則cosa=g

7

D.平面ARE將正方體分成的兩部分體積之比為一

16

第n卷非選擇題（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線/|：（。一2）%+〉+1=0與直線/2：2工一（。+1）丁一2=0互相平行，則實數(shù)a的值為.

14.過點P（0,l）且和A（3,3）,3（5,-1）的距離相等的直線方程是.

15.長為4的線段AB的兩端點在直二面角e-/一夕的兩個面內(nèi)，且與這兩個面都成30°角，求異面直線

與/所成的角為.

16.如圖所示在三棱錐。一ABC中，側(cè)面PACJ_底面ABC,底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)面PAC

中，PA=PC,且NAPC=90°,M為棱中點，則直線AB上任意一點與PM上任意一點距離的最小值

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知直線4:mx+3y+l-Q,l2:x+（＜m+2）y+2m-1=0.

（1）若4與4垂直，求實數(shù)機的值;

（2）若直線4在兩個坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，求實數(shù)加的值.

18.在棱長為2的正四面體ABCD中，BM=MC

(1)設(shè)A5=a,AM==C用a,表示C。；

8

(2)若AN=/IA。，且AM?CN=一-,求2

3

19.已知直線/:%-2〉+4=0,點4（0,4）,點8（—2,-4）,點尸（"?,〃）在直線/上移動,

(1)求加2+〃2-2m+2〃的最小值:

（2）求||P8|-|P4||的最大值，以及最大值時點P的坐標(biāo)

20.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，。為底面中心，AB=3j5,PO=3,M為尸。的中點，BE=-EP.

2

（1）求證：DM〃平面E4C；

（2）求：（i）直線DW到平面E4C的距離；

（ii）求直線MA與平面E4c所成角的正弦值.

21.在八鉆。中，已知4（3,-2）,B（5,4）,且邊AB上的中線。。在丁軸上的截距為2.

（1）求直線8的一般式方程；

（2）若點C在x軸上方，AACD的面積為百，且過點C的直線/在x軸、y軸上的截距相等，求直線/的

方程.

22.如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，為等邊三角形，平面尸45_1平

面ABCZ）,PB_LBC.

（1）求點A到平面PBC的距離；

（2）E為線段PC上一點，若直線AE與平面A88所成的角的正弦值為零，求平面AC陀與平面ABC。

夾角的余弦值.

23-2024學(xué)年度（上）沈陽市郊聯(lián)體10月份考試

高二數(shù)學(xué)答案

一、單項選擇題:

1.C2.D3.C4.D

5.A6.B7.A8.B

二、多選題：

9.BC10.BCD11.AC12.ABC

三、填空題

13.a=014.2x+y-l=0；>-1=0(或尸-2x+l；y=l)

V3

15.-(450)16.—

44

四、解答題

17.(1)4:mx+3y+1=0；/2:x+(m+2)y+2m-1=0

且直線4與4垂直

所以根xl+3（m+2）=0（1分）

3

解得機=—（3分）

2

（2）因為直線4在連個坐標(biāo)釉截距的絕對值相等，

所以當(dāng)直線在兩個坐標(biāo)軸截距為0時，2m-1=0,解得相=—(5分)

2

當(dāng)直線在兩個坐標(biāo)軸截距相等且不為。時，m+2=-1,解得加=-3(7分)

當(dāng)直線在兩個坐標(biāo)軸截距相反且不為0時，加+2=1,解得加=-1(9分)

綜上所述〃?=4或加=-3或川=-1(10分)

2

18.(1)因為前=近，所以M是棱BC的中點，

所以四+同=2AM,

則前=2AM-AB=2b-a>

故而=同一而=2—(2?—五)=為一2?+下

(2)因為而Z=4而，所以麗=而一旅=4而一刀，

在棱長為2的正四面體4BC。中，ABAC=AB-AD=AC-AD=2

所以祠-CN=^(AB+AC)?(AAD-J?)=(2A-22+2A-2)=2A-3=-1,

解得4=I

o

(1)法一：因為直線點P(m,n)上,所以m-2n+4=0.

m-2M-4,所以旭2+〃2-2m+2〃=(2〃-4尸+n2-2(2〃—4)+2〃

g30

=5〃2一18〃+24所以當(dāng)〃=二時，原式取得最小值y

法二：因為根2+〃2-2m+2〃=(加一1>+(〃+1)2-2

令d=Jo—1)2+(n+1)2,則原式為屋—2

所以d的最小值為(1,-1)與直線x—2y+4=0的距離，

即:畢1=述

V55

所以原式最小值為(手)2-2=g

(2)設(shè)A(0,4)關(guān)于直線/:%-2"4=0的對稱點為4(0?

r-t?ci4+Z?Z?—41"j/日8.4

貝U2x----F4=0；----x—=—1解得〃=一,/?=一

22a255

所以仍用-歸川的最大值為J(—2—|)2+(—4一§2=6

4

+4

5

并且取最小值時A'B所在直線方程為y+482)

-+2

5

44

即),=gx—將其與原直線聯(lián)立可得取最值時R4,4)

所以最大值為6,此時P(4,4)

20.(1)證明：連接BD,則O是BD的中點，且4clBD.

在正四棱錐P-4BCD中，PO，平面ABCD,PO=3,AB=3&,所以4c=6,AO=3,以點O為坐標(biāo)原點，

OA,OB,OP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),4(3,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),M(0,0,|)-E(0,2,l),

DM=(0.3,1)，CA=(6,0,0),AE=(-3,2,1).

設(shè)平面EAC的法同量布=(x,y,z),則沅-CA=0,m-AE=0,B[jf_7v_n，取y=1,得記=(0,1,-2),

II乙yI4\J

,：DM-m=0,：.DMA.m,：DM在平面EAC外，，DM//平面EAC.

(2)(i)而=(一3,—3,0),.,.直線DM至U平面EAC的距高￡/=^^=2=述.(8分)

\m\V55

(ii)6=(3。-》則cos(值詞=端篇=京=|，

直線MA與平面EAC所成角的正弦值為|.

21：⑴根據(jù)題意得到點。(4,1).又直線CD過點(0,2).

根據(jù)兩點式得直線CD的方程為曰=盲，即x+4y—8=0.

(2)因為AACC的面積為3點。是線段AB的中點，所以△ABC的面積為39.

設(shè)點C的坐標(biāo)為(8-4t,t)(t>0),點C到直線AB的距離為d,

因為|AB|=J(5—3尸+(4+2尸=2710.

所以，48?d=39,解得d=第，

因為直線ZB的方程為y+2=(x—3),即3%—y—11=0,

所以點C到直線4B的距離d=[迎嘴匕叫.=磊，

解得t=4(t=—2舍去)，所以點C坐標(biāo)為(—8,4).

當(dāng)直線，過原點時，直線，的方程為y=即x+2y=0.

當(dāng)直線/不過原點時，設(shè)直線I的方程為?+?=1,

將點C坐標(biāo)代入得m+±=1,

aa

解得a=-4,

此時直線I的方程為x+y+4=0.

綜上所述，直線I的方程為x+2y=0或x+y+4=0.

22(此題學(xué)生用空間向量法和幾何法求距離，二面角都可以，判卷老師課酌情給分)

(1)取AD中點O,連接OB,OP.

P40為等邊三角形，：.OP1AD,OA=1,OP=V3.

又?.?平面P40_L平面ABCD,平面PAOn平面ABCD=AD,

OPu平面PAD,：.0PL平面ABC.

又u平面ABCD,：.OP1OB.

"：PB1BC,：.BC//AD,：.PB171D.

XVOP1AD,OPu平面POB,

PBu平面POB,OPCPB=P,.MO1平