一元二次方程的知識點梳理(最新整理)

1、一、知識結構： 、一元二次方程 、 、*二、考點精析考點一、概念(1) 定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，這樣的整式方程就是一- 1 -元二次方程。(2)一般表達式：ax 2 + bx + c = 0(a 0)難點：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”：該項系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例 1、下列方程中是關于 x 的一元二次方程的是（）a3(x + 1)2 = 2(x + 1)b1 + 1 - 2 = 0x 2xcax 2 + bx + c = 0dx 2 + 2x = x 2 + 1變

2、式：當 k時，關于 x 的方程kx 2 + 2x = x 2 + 3 是一元二次方程。例 2、 方 程(m + 2)x m+ 3mx + 1 = 0 是 關 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 則 m 的 值為。針對練習：1、方程8x 2 = 7 的一次項系數(shù)是，常數(shù)項是。2、若方程(m - 2)x m -1 = 0 是關于 x 的一元一次方程，求 m 的值；寫出關于 x 的一元一次方程。m3、若方程(m - 1)x 2 + x = 1 是關于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，則下列不可能的是（）a.m=n=2b.m=2,n=

3、1c.n=2,m=1d.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例 1、已知2 y 2 + y - 3 的值為 2，則4 y 2 + 2 y + 1 的值為。例 2、 關于 x 的一元二次方程 (a - 2)x 2 + x + a 2 - 4 = 0 的一個根為 0， 則 a 的值為。例 3、已知關于 x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0)的系數(shù)滿足a + c = b ，則此方程必有一根為。例 4、已知a, b 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的兩個根， b, c 是方程 y2 - 8

4、 y + 5m = 0 的兩個根，則 m 的值為。針對練習：1、已知方程 x 2 + kx - 10 = 0 的一根是 2，則 k 為，另一根是。2、已知關于 x 的方程 x 2 + kx - 2 = 0 的一個解與方程 x + 1 = 3 的解相同。x - 1求 k 的值；方程的另一個解。3、已知 m 是方程 x 2 - x - 1 = 0 的一個根，則代數(shù)式m2 - m =。4、已知a 是 x 2 - 3x + 1 = 0 的根，則2a 2 - 6a =。5、方程(a - b)x 2 + (b - c)x + c - a = 0 的一個根為（）- 2 -a - 1b 1cb - cd- a

5、6、若2x + 5 y - 3 = 0, 、4 x 32 y=?？键c三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次m類型一、直接開方法：x 2 = m(m 0), x = 對于(x + a)2 = m ， (ax + m)2 = (bx + n)2 等形式均適用直接開方法典型例題：- 3 -例 1、解方程： (1)2x 2 - 8 = 0;(2)25 - 16x 2 =0;(3)(1 - x)2 - 9 = 0;例 2、若9(x - 1)2 = 16(x + 2)2 ，則 x 的值為 。針對練習：下列方程無解的是（）a. x 2 + 3 = 2x 2 - 1b. (x - 2

6、)2 = 0c. 2x + 3 = 1 - xd. x 2 + 9 = 0類型二、因式分解法: (x - x1 )(x - x2 ) = 0 x = x1 , 或x = x2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如(ax + m)2 = (bx + n)2 ， (x + a)(x + b) = (x + a)(x + c) ，x 2 + 2ax + a 2 = 0典型例題：例 1、2x(x - 3) = 5(x - 3)的根為（）a x = 5 2b x = 3c x1= 5 , x = 322d x = 2 5例 2、若(4x + y)2 + 3(4x + y)

7、- 4 = 0 ，則 4x+y 的值為 。變式 1： (a 2 + b 2 )2 - (a 2 + b 2 )- 6 = 0, 、a 2 + b 2 = 。變式 2：若(x + y)(2 - x - y) + 3 = 0 ，則 x+y 的值為。變式 3：若 x 2 + xy + y = 14 ， y 2 + xy + x = 28 ，則 x+y 的值為。例 3、方程 x 2 + x - 6 = 0 的解為（）a. x1 = -3、x 2 = 2b. x1 = 3、x 2 = -2c. x1 = 3、x 2 = -3d. x1 = 2、x 2 = -2針對練習：1、下列說法中：方程 x2 + p

8、x + q = 0 的二根為 x ， x ，則 x2 + px + q = (x - x )(x - x )1212 - x2 + 6x - 8 = (x - 2)(x - 4) .x a2 - 5ab + 6b2 = (a - 2)(a - 3)- 4 -x x 2 - y 2 = (x + y)(+y )(- y )方程(3x +1)2 - 7 = 0 可變形為(3x +1+7 )(3x +1-7 ) = 0正確的有（）7a.1 個b.2 個c.3 個d.4 個72、以1+與1-為根的一元二次方程是（）a x2 - 2x - 6 = 0b x2 - 2x + 6 = 0c y2 + 2 y

9、 - 6 = 0d y2 + 2 y + 6 = 03、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實數(shù) x、y 滿足(x + y - 3)(x + y) + 2 = 0 ，則 x+y 的值為（）a、-1 或-2b、-1 或 2c、1 或-2d、1 或 25、方程： x2 + 1x2= 2 的解是。類型三、配方法2()b 2b 2 - 4acax + bx + c = 0 a 0 x + =2a4a 2典型例題：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。例1、 試用配方法

10、說明 x 2 - 2x + 3 的值恒大于 0。例2、 已知 x、y 為實數(shù)，求代數(shù)式 x 2 + y 2 + 2x - 4 y + 7 的最小值。例3、 已知 x 2 + y 2 + 4x - 6 y + 13 = 0、x、y 為實數(shù)，求 x y 的值。針對練習：1、試用配方法說明- 10x 2 + 7x - 4 的值恒小于 0。2、已知 x 2 + 1 - x - 1 - 4 = 0 ，則 x + 1 =.- 8 -x 2- 3x 2 + 12x - 93、若t = 2 -xx，則 t 的最大值為，最小值為。類型四、公式法條件： (a 0,且b 2 - 4ac 0)- b b 2 - 4a

11、c公式：=( 2 - )x, a2a0,且b4ac0典型例題：例 1、選擇適當方法解下列方程： 3(1 + x)2 = 6. (x + 3)(x + 6) = -8. x 2 - 4x + 1 = 0 3x 2 - 4x - 1 = 0 3(x - 1)(3x + 1) = (x - 1)(2x + 5)例 2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1） x2 - 2 2x - 3；（2） - 4x2 + 8x - 1. 2x2 - 4xy - 5 y2說明：對于二次三項式ax 2 + bx + c 的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax 2 + bx + c =0

12、，求出兩根，再寫成12ax 2 + bx + c = a(x - x )(x - x ) .分解結果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、 “降次思想”的應用求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：()x1x1-3 - 2 +例1、 已知 x 2 - 3x + 2 = 0 ，求代數(shù)式的值。x - 1例 2、已知a 是一元二次方程 x 23 -2 -+- a2a5a13x + 1 = 0 的一根，求的值。a 2 + 1例 3、用兩種不同的方法解方程組2x - y = 6,x2 - 5xy + 6 y2 = 0.(1)(2) (2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法

13、有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已知的問題.考點四、根的判別式b 2 - 4ac根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應用于其它。典型例題：例 1、若關于 x 的方程 x 2 + 2是。k x - 1 = 0 有兩個不相等的實數(shù)根， 則 k 的取值范圍例 2、關于 x 的方程(m - 1)x 2 + 2mx + m = 0 有實數(shù)根，則 m 的取值范圍是()a. m 0、m 1b. m 0c. m 1d. m 1例 3、已知關于 x 的方程 x 2 - (k + 2)x + 2k = 0(1) 求證：無論 k 取何值

14、時，方程總有實數(shù)根；(2) 若等腰d abc 的一邊長為 1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求d abc 的周長。例 4、已知二次三項式9x2 - (m + 6)x + m - 2 是一個完全平方式，試求m 的值.x2 + 2 y2 = 6,例 5、m 為何值時，方程組mx + y = 3.有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解？針對練習：1、當 k時，關于 x 的二次三項式 x 2 + kx + 9 是完全平方式。2、當k 取何值時，多項式3x2 - 4x + 2k 是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程mx 2 - mx + 2 = 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m 的值是.

15、y = kx + 2,4、k 為何值時，方程組 y2 - 4x - 2 y +1 = 0.（1） 有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；（2） 有兩組不相等的實數(shù)解；（3） 沒有實數(shù)解.5、當k 取何值時，方程 x2 - 4mx + 4x + 3m2 - 2m + 4k = 0 的根與m 均為有理數(shù)？考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例 1、關于 x 的方程(m + 1)x 2 + 2mx - 3 = 0有兩個實數(shù)根，則 m 為,只有一個根，則 m 為。例2、 不解方程，判斷關于 x 的方程 x 2 - 2(x - k ) + k 2 = -3 根的情況。考點六、根與系數(shù)的關系前提：對于ax

16、 2 + bx + c = 0 而言，當滿足 a 0 、 d 0 時，才能用韋達定理。主要內(nèi)容：x + x = - b , x x = c12a1 2a應用：整體代入求值。典型例題：例 1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x 2 - 8x + 7 = 0 的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）36a. b.3c.6d.12例 2、已知關于 x 的方程k 2 x 2 + (2k - 1)x + 1 = 0 有兩個不相等的實數(shù)根 x , x ，（1） 求 k 的取值范圍；（2） 是否存在實數(shù) k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k 的值；若不存在，請說明理由。例 3、小明和小紅一起

17、做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為 1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為 8 和 2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為-9 和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應該是多少？例 4、已知a b ， a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，求a + b = 變式：若a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，則 a + b 的值為。ba例 5、已知a,b是方程 x 2 - x - 1 = 0 的兩個根，那么a4 + 3b=.針對練習：- 9 -x + y = 3,1、解方程組x2 + y2 = 5(1)(2)baab2

18、已知a2 - 7a = -4 ， b2 - 7b = -4 (a b) ，求+的值。3、已知 x1 , x2是方程 x 2 - x - 9 = 0 的兩實數(shù)根，求 x 3 + 7x2 + 3x- 66 的值。122今天你學習了什么？ 遇到了什么困難？ “”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the lat