數(shù)學(xué)教育的度

1、把握數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“度”凡事應(yīng)有“度”，教學(xué)也不例外。這里的“度”是指一定事物保持自己質(zhì)的數(shù)量界限，在這個界限內(nèi)，量的增減不改變事物的質(zhì)，超出界限，就要引起質(zhì)變?？刂普撝械摹岸取笔侵缚刂普甙雌湫枰c目的，限制某種事物變化、活動的范圍和水準，超出限制以外的范圍和水準為“失控”，失控就達不到控制者的需要與目的。教學(xué)控制論認為，教學(xué)系統(tǒng)是一個可控制的系統(tǒng)，只有對教學(xué)系統(tǒng)施行有效的調(diào)控，使教師、學(xué)生和知識這三個子系統(tǒng)相“匹配”且協(xié)調(diào)一致，才能提升教學(xué)效益。下面就把握數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“度”談點粗淺的看法和體會，以期與同行交流、切磋。一、把握時度學(xué)習(xí)效率的高低與學(xué)習(xí)過程中大腦興奮持續(xù)時間的長短相關(guān)，現(xiàn)代

2、教育心理學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的研究證明：學(xué)生在課堂思維活動的水平是隨時間而變化的，學(xué)生在課堂教學(xué)活動中思維集中水準S與時間t的變化關(guān)系如圖1所示。圖1 學(xué)生在課堂活動中思維集中水準與時間變化的關(guān)系這個曲線表明，在課堂教學(xué)開始的10分鐘內(nèi)，學(xué)生的思維逐漸集中，在這個段時間內(nèi)，要增強輸入信息的強度，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機。在1030分鐘內(nèi)，思維處于最佳活動狀態(tài)，在這個段時間內(nèi)，輸入信息的強度能夠有所下降，對比較抽象的概念、理論等知識能夠較好地掌握；在3045分鐘內(nèi)，思維活動水平逐漸下降，輸入信息的強度應(yīng)有所增強，以減少學(xué)生因大腦疲勞而引起的注意力分散。最好的方法是用多種感官實行學(xué)習(xí)，組織討論，全班交流

3、，習(xí)題檢測，等等。這些方法可降低大腦皮層的疲勞水準，相對延長最佳思維時間，提升學(xué)習(xí)效率。課堂教學(xué)中，在課題的引入時、遇到重點難點時、迷惑混沌時、一題多解時、概括歸納時、深化拓展時、反思小結(jié)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問難，組織學(xué)生討論交流，便可牽一發(fā)而動全身，起到事半功倍的效果。如，在學(xué)習(xí)利用“AAS”判定三角形全等時，為了進一步鞏固“AAS”的判定方法，一位教師設(shè)置了以下問題：“你知道在兩個三角形中有兩個角、一條邊相等的兩個三角形一定全等嗎?為什么?”讓作者始料不及的是幾乎全班學(xué)生都肯定是“全等”。一位學(xué)生還慷慨陳詞：“因為已經(jīng)告訴我們有兩個角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180埃磽庖桓黿強隙蠶嗟齲偌

4、由匣褂幸惶醣呦嗟齲謾瓵SA或AAS總能判定它們?nèi)?”幾個學(xué)生還添油加醋：“對，講得完全有道理，我同意!”怎么辦?此時此刻，這位教師并不是直接把準確答案告訴學(xué)生，而是組織學(xué)生分組討論、交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個問題與書本的判定方法有區(qū)別：這個問題中沒有“對應(yīng)”兩個字，判定方法中有“對應(yīng)”兩個字，這時，作者聽到學(xué)生在嘀咕：“對應(yīng)兩個字寫與不寫有什么區(qū)別?”這時，這位教師因勢利導(dǎo)：你們是怎樣理解“對應(yīng)”這個詞的?教室里頓時一片安靜，絕大部分學(xué)生拿起筆試著用畫圖來協(xié)助理解。過了許久，有學(xué)生回答：“對應(yīng)相等是指相等角所對的邊相等，相等的邊所對的角也必須相等!”于是教師追問：“沒有對應(yīng)兩個字會怎樣?”這時，學(xué)生

5、面面相覷，有學(xué)生畫出了圖2并指著其中的右圖說：“不對啦，沒有對應(yīng)兩字，雖然兩個三角形的三個內(nèi)角都相等，那就能夠用45八緣謀連C與55八緣謀逥F相等，這樣就不會全等了!”當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)的知識錯誤具有典型性時，老師不是急于做出評價，而是組織學(xué)生討論、交流，充分暴露學(xué)生錯誤的思維過程，將錯就錯，巧妙地和用學(xué)生的錯誤答案，引導(dǎo)他們實行驗證，讓他們自己發(fā)現(xiàn)矛盾，解決問題，加深理解。圖2 用“AAS”判定三角形全等圖例思考問題必須有一定的時間，這能夠說是人人皆知的常識。但就本人所見，時下有相當(dāng)數(shù)量的教師在課堂提問中沒有注意到這個點，為此，教師應(yīng)該有兩個最重要的等待時間，“第一等待時”是指教師提出一個問題后，要

6、等待充足的時間，不能馬上重復(fù)問題或指定學(xué)生回答；“第二等待時”是指學(xué)生回答問題后，教師也要等待充足的一段時間，才能評價學(xué)生的答案或提出另一個問題。在課堂教學(xué)中，當(dāng)數(shù)學(xué)問題有多種解法需要擇優(yōu)時，當(dāng)學(xué)生理解某個數(shù)學(xué)問題有偏差需要糾正時，當(dāng)學(xué)生對某個數(shù)學(xué)問題難以即時解決需要新信息時，當(dāng)教師難以即時評價需要充分思考時等，教師理應(yīng)“延時評價”，給學(xué)生提供一個充分自由思考的時間，讓他們暢所欲言、相互啟發(fā)。面對學(xué)生豐富多彩的答案，教師一方面允許有不同的想法，另一方面，也要引導(dǎo)學(xué)生作理性選擇，使其觀點具有可行性和邏輯性。這樣，摒棄單一“即時評價”中贊賞多于引導(dǎo)、情境多于過程、封閉多于開放等諸多弊端，學(xué)生個性思

7、維得到充分展示，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，主動地探究數(shù)學(xué)，培養(yǎng)思維水平。如，學(xué)習(xí)完“一元二次方程”后，一位教師在第一節(jié)復(fù)習(xí)課上出示了這樣一道練習(xí)題：已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。當(dāng)時有一部分學(xué)生這樣認為，因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以必須滿足，即，解得k-1/4。聽完學(xué)生的分析，這位教師不是馬上否定學(xué)生的回答，并給出正確答案，而是請同學(xué)們發(fā)表自己的看法。一位同學(xué)提出，由題意可知此方程是一元二次方程，故還須保證二次項系數(shù)3k+10，即k-1/3，故本題k的取值范圍為k-1/4且k-1/3。這時教師看了同學(xué)們的反應(yīng)，好多學(xué)生都為他投去了贊許的目光。這時班上有學(xué)生馬上站起來發(fā)表自己

8、的看法，認為剛才這位同學(xué)的分析是對的，但最后的結(jié)論是錯誤的，因為k-1/3不在k-1/4的范圍內(nèi)，因此k的取值范圍為k-1/4。教師立即表示有道理，這時課堂的氣氛開始活躍起來，趁機教師又問，還有不同意見嗎?過了不一會，教室里傳來了幾位同學(xué)的聲音：丟了k0這個條件。教師立即加以肯定，于是教師請其中一位學(xué)生發(fā)言，學(xué)生經(jīng)過深思后說：k的取值范圍應(yīng)同時滿足：k-1/4且k-1/3且k0。故本題k的取值范圍為k0。這樣緊扣學(xué)生可能產(chǎn)生的困惑，利用“延時評價”，通過一波三折的過程，將易錯、易混的知識通過學(xué)生的積極參與分析得一清二楚，也使學(xué)生從更高層次上深化了對基礎(chǔ)知識的理解。二、把握難(深)度心理學(xué)認為，

9、人的認知水平可劃分為三個層次：“已知區(qū)”“最近發(fā)展區(qū)”和“未知區(qū)”。人的認知水平就是在“已知區(qū)”“最近發(fā)展區(qū)”和“未知區(qū)”間循環(huán)往復(fù)，不斷變化，螺旋式上升。因而需要針對學(xué)生的實際認知水平和思維能力進行教學(xué)，不宜停留在“已知區(qū)”與“未知區(qū)”，也就是教學(xué)內(nèi)容不能太易也不能太難。如果問題太易，則激不起學(xué)生的興趣，浪費課堂時間；太難則會使學(xué)生失去學(xué)習(xí)信心，不僅無法使學(xué)生保持持久的探索心理，反而使教學(xué)內(nèi)容失去價值。所以，難易適度的教學(xué)內(nèi)容，有助于原有認知結(jié)構(gòu)的鞏固，也便于將新知識同化，使認知結(jié)構(gòu)更加完美，并最終使學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的“最近發(fā)展區(qū)”上升為“已知區(qū)”。中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系是依據(jù)數(shù)學(xué)知識和中學(xué)生的心理

10、特點編制而成的，數(shù)學(xué)課標和教材對某一知識點的難度和深度都給出了明確的要求，教師在教學(xué)時，必須緊緊依據(jù)課標、教材和學(xué)生的認知水平，把握好知識的難度和深度，從而避免盲目提高教學(xué)要求或隨意降低教學(xué)要求。如，“二次根式”的教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實際和課標教材的要求，在討論二次根式的被開方數(shù)中字母的取值范圍時，只限于用在一元一次不等式解決的范圍內(nèi)，不宜擴充到較復(fù)雜的情況，同時，對于二次根式的性質(zhì)，教材中僅考慮了這種情況，對的情形不做考慮。又如，在講圓的面積公式時，教師只需對“在圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形”作描述性講解，而不可在課堂上大講特講用極限的方法來推導(dǎo)，否則，不但偏離了教材和課標的要求，而且超越了學(xué)生的認識

11、水平；相反，如果把學(xué)生的水平估計過高，該講的不講，這樣也達不到教學(xué)目的。同樣，課堂設(shè)問也要有一定的難度和深度，如果問題缺少應(yīng)有的難度和深度，就達不到預(yù)期的目的，“好不好”“是不是”“對不對”之類的問題，學(xué)生無需動腦就可答出，因而設(shè)問應(yīng)重在“為什么”上，這樣學(xué)生在思考問題時，不僅思路廣闊，而且能抓住問題的本質(zhì)深入下去，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果。當(dāng)然，也并非問題越深越好，適當(dāng)?shù)膯栴}表現(xiàn)為：問題一提出，個別或少數(shù)學(xué)生能答出，經(jīng)過思考多數(shù)能答出，再經(jīng)過思考大多數(shù)甚至全體學(xué)生能回答，這類思考性問題的發(fā)問點應(yīng)放在課中具有思維價值的地方。三、把握梯度人類認識事物都是由淺入深、由易到難、由具體到抽象、

12、由感性到理性。因此，在課堂教學(xué)中，教師要善于在已知與未知之間架橋、設(shè)階，既不能讓學(xué)生“坐著吃桃子”坐享其成，也不能“跳起來摘月亮”勞而無獲，要以能不能激發(fā)學(xué)生“跳起來摘到果子”的熱情和欲望為標志，了解學(xué)生知識基礎(chǔ)和智力水平，面向全體學(xué)生，精心構(gòu)建教學(xué)結(jié)構(gòu)，設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，突出教學(xué)重點，分化教學(xué)難點，梯度的大小做到由平到陡、由低到高、由易到難、由簡到繁、由具體到抽象、由感性到理性，拾級而上，循序漸進。梯度過大，學(xué)生無法接受，容易產(chǎn)生懼怕心理和厭學(xué)情緒；梯度過小，則容易使學(xué)生有“輕而易舉”之感，造成學(xué)生思維膚淺，不善于動腦分析問題，不利于學(xué)生求知的意志和品格的培養(yǎng)。如，在進行“一元二次方程根與系數(shù)的

13、關(guān)系”的教學(xué)時，如果讓學(xué)生求出方程的兩根為2和-3，就馬上問學(xué)生能不能找到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，這樣就缺少一定的思維梯度，學(xué)生很難想到計算兩根之和與兩根之積，不能激發(fā)學(xué)生的思維。若做如下設(shè)計：(1)先出示兩組方程(分二次項系數(shù)為1和不為1的兩組)，要求計算出方程的根；(2)然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察第一組方程(二次項系數(shù)為1)，它們的根與一次項系數(shù)、常數(shù)項之間有什么共同規(guī)律?出示方程，讓學(xué)生用式子表示兩根之和與兩根之積；(3)再觀察第二組方程(二次項系數(shù)不為1），啟發(fā)學(xué)生：是否能得到相似的結(jié)論?最后師生共同歸納出一般結(jié)論。這樣設(shè)計問題梯度符合學(xué)生的接受能力，體現(xiàn)了思維漸進發(fā)展的過程，學(xué)生發(fā)言踴

14、躍，學(xué)習(xí)情緒高漲，教學(xué)效果很好。練習(xí)題的編制也要設(shè)計梯度：(1)低起點：第一組(道)題要按當(dāng)堂課的最低要求設(shè)計，一般是直接應(yīng)用概念、定理、公式或模仿例題，基本屬于“記憶”的層次；(2)密臺階：從第二組(道)題開始不論在能級上、難度上還是在模式上都要有提高、有深化，要一組(道)一個臺階，使學(xué)生每完成一組(道)題后都能有所提高；(3)小坡度：要保證所有學(xué)生在教師啟發(fā)點撥下都能上得去，做到“有坡度無難度”以保證學(xué)生的學(xué)習(xí)水平在整個學(xué)習(xí)過程中逐步深化和提高。如，在學(xué)習(xí)勾股定理后設(shè)計以下習(xí)題：(1)已知一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則第三邊長為多少?(2)已知一個直角三角形中，有兩邊長分別為

15、3和4，則第三邊長為多少?(3)已知一個三角形中，有兩邊長分別為3和4，則第三邊長能確定嗎?能否用不等式列出第三邊長的取值范圍?(4)已知一個三角形中，有兩邊長分別為3和4，且第三邊長為整數(shù)，第三邊長為多少?有了前面的問題作鋪墊，學(xué)生再進行探究，后面的問題就能水到渠成地得以解決。四、把握量度課堂教學(xué)內(nèi)容的容量大體上可分為“基本性容量”和“發(fā)展性容量”兩個方面。所謂“基本性容量”是指依據(jù)教學(xué)課時對教材進行分配的基本知識內(nèi)容，這是課堂教學(xué)必須完成的“基本量”；“發(fā)展性容量”是指繼教材的基本知識后，適當(dāng)伸展知識內(nèi)容、探求知識規(guī)律、提高解題技巧、發(fā)展學(xué)生能力所進行的教學(xué)容量，這就是“調(diào)控量”。筆者聽了

16、一節(jié)復(fù)習(xí)課，課題為“平移”。教師先播放了一個事先做好的短片，讓學(xué)生回顧了本節(jié)的主要內(nèi)容，包括圖形的平移、平移的特征等部分內(nèi)容(涉及的知識點有10多個)，然后是六道基本練習(xí)題(從單個來看，這些都算得上是“好題”)，再接著是四道例題(每道題都有一定的難度，且有二道還各安排了三個變式題)，最后是小結(jié)，期間還安排了許多學(xué)生活動。課后筆者同師生交流時，大部分學(xué)生認為，對這節(jié)課最大的感受是教師講得太快，根本接受不了；多數(shù)學(xué)生對有的題根本沒弄清是怎么回事，甚至連題目都未看完。聽課教師一致認為，容量太大。執(zhí)教教師本人也意識到這一點，但還是認為，復(fù)習(xí)課容量應(yīng)大些；造成容量大的另一原因是，備課時找到了一些好題，不

17、愿意舍棄。應(yīng)當(dāng)指出的是，復(fù)習(xí)課適當(dāng)加大容量，有利于提高復(fù)習(xí)效率，但并非容量越大越好，其實本節(jié)課將基本練習(xí)減少到三道，例題減少到兩道是比較合理的。課堂教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的環(huán)境以及學(xué)生的情緒制約著他們思維的積極性，教師的啟發(fā)引導(dǎo)亦對學(xué)生的思維起著很大的影響。教師在確定課堂教學(xué)知識容量時，除依據(jù)課標、教參、教材及學(xué)生學(xué)習(xí)實際確定的“基本量”外，應(yīng)設(shè)置課堂教學(xué)知識的“調(diào)控量”。當(dāng)教師的講解與引導(dǎo)能充分調(diào)動學(xué)生積極思維，引起思維共鳴，并在較順利地完成“基本量”后學(xué)生還意猶未盡，思維正處于高度活躍狀態(tài)，同時教學(xué)時間也允許的情況下，應(yīng)適時對知識進行延伸和擴展，使得學(xué)生較全面透徹地理解知識，總結(jié)其規(guī)律，以提

18、高解決問題的能力。在講授“代數(shù)式”一節(jié)時，在教師引導(dǎo)下，如學(xué)生能順利完成本節(jié)課的內(nèi)容，則可補充設(shè)計實際生活中有關(guān)代數(shù)式的例題或習(xí)題，作為本節(jié)課的“調(diào)控量”，以加深對代數(shù)式的理解和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。相反，當(dāng)課堂上學(xué)生的思維積極性不高或思維受阻時，教師必須通過積極的引導(dǎo)，使學(xué)生理解本節(jié)課的基本內(nèi)容，確?！盎玖俊钡耐瓿?，而不應(yīng)強行延伸。此外，同一節(jié)課的知識內(nèi)容，在教授不同水平的班級時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生實際調(diào)整“調(diào)控量”，不可千篇一律。五、把握諧度諧，即課堂教學(xué)的和諧。溫暖和諧而有鼓勵性的教學(xué)氣氛能夠在心理上給學(xué)生一種安全感，讓學(xué)生體會到尊重、理解和信任。課堂教學(xué)的和諧度取決于教師的親和力，即教師在

19、教學(xué)中對學(xué)生親近行為的動力、水平和能力。教師親和力的高低關(guān)鍵取決于教師的人格、責(zé)任感、職業(yè)心。富有親和力的教師更多地表現(xiàn)出熱情、活力、謙和、真誠、關(guān)懷、溫暖和移情的能力，教師身上最寶貴、最值得贊美的品質(zhì)就是理解、尊重和激勵學(xué)生。一個人成年后回想過去的學(xué)生時代，會欣賞那些善于對自己的情緒管理、善于對學(xué)生給予移情性理解的優(yōu)秀教師，更會對那些觸動過他們心靈的教師心存感激。教師在教學(xué)中，無論是講授知識，還是對待學(xué)生，都應(yīng)親切，富有情感。特別是對待差生，更應(yīng)做到這一點，以此維護他們的自尊心，激勵他們的上進心。教師還應(yīng)細心尋找他們的“閃光點”，從而給予“表揚和鼓勵”，使他們感到自己的進步，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動

20、機；即使學(xué)生錯了，也用委婉的話語指出其不足。當(dāng)然，表揚、激勵、鼓舞都必須有的放矢，不失分寸。相反，教師如果對學(xué)生的錯誤過多地批評、指責(zé)，甚至諷刺、挖苦，那么就會使學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，由厭惡數(shù)學(xué)老師到厭惡數(shù)學(xué)學(xué)科，這不能不說是教學(xué)的失敗。如，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞非常注意這一點，有時他一眼就看出學(xué)生的計算是錯誤的，但卻還是喜歡以溫和的態(tài)度、親切的語調(diào)、慈祥的目光和學(xué)生一行一行地查看：“你一開頭做得很好。你的第一行是對的，第二行也是對的，現(xiàn)在關(guān)于這一行你是怎么想的?”學(xué)生回答問題時，用“你答得很好”“你并不比別人差”“你也許課前忘了復(fù)習(xí)，若課前看了，我相信你是能夠回答的”等等。又如，一位教師在“軸對稱圖形”一課的教學(xué)中，學(xué)生判斷平行四邊形是不是軸對稱圖形時，出現(xiàn)了如下的爭論：生甲：我覺得平行四邊形是軸對稱圖形，因為只要把這個左邊的三角形剪下來，拼在右邊的這個三角形上面師：挺有道理。生乙：我覺得平行四邊形不是軸對稱圖形。因為把它對折后，兩邊的圖形沒有完全重合，所以我