一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系Word版

1、傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；2能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求簡(jiǎn)單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值；3能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)數(shù)是否是方程的根；4能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出以兩個(gè)已知數(shù)為根的一元二次方程重點(diǎn)對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的掌握，以及在各類問題中的運(yùn)用難點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用二、知識(shí)要點(diǎn)梳理一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根是x1， x2，那么.注意它的使用條件為a0， 0.三、規(guī)律方法指導(dǎo)一

2、元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的用法：不解方程，檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根；已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知系數(shù)；不解方程，求已知一元二次方程的根的對(duì)稱式的值；已知方程的兩根，求這個(gè)一元二次方程；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩數(shù)；已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值；討論方程根的性質(zhì)。四、經(jīng)典例題透析1.已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值.1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及m的值.思路點(diǎn)撥：本題通常有兩種做法，一是根據(jù)方程根的定義，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通過解方程求另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另

3、一個(gè)根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得22-62+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1當(dāng)m1=3，m2=-1時(shí)，原方程都化為x2-6x+8=0傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！x1=2，x2=4 方程的另一個(gè)根為4，m的值為3或-1.法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x.則2.判別一元二次方程兩根的符號(hào).2.不解方程，判別2x2+3x-7=0兩根的符號(hào)情況.思路點(diǎn)撥：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可求根的判別式，但只能用于判定根存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要考察x1x2 或 x1+x2的正負(fù)情況. 解：=32-42(-7)=650

4、 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為x1，x2，原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根. 總結(jié)升華：判別根的符號(hào)，需要“根的判別式”，“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定.另外本題中x1x20，可判定根為一正一負(fù)，若x1x20，仍需考慮x1+x2的正負(fù)，從而判別是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根. 舉一反三：【變式1】當(dāng)m為什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的兩個(gè)根都是正數(shù). 思路點(diǎn)撥：正、負(fù)根的問題應(yīng)這樣想：如正數(shù)根，應(yīng)確保兩根之和大于零，兩根之積大于零，根的判別式大于等于零. 解：設(shè)方程的二根為x1，x2，且x10， x20，則有 由 =-2(m+1)2-4m(m-1)0，解得：m

5、0， m0或m0，上面不等式組化為： 傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！由得m1；不等式組無解.m1當(dāng)m1時(shí)，方程的兩個(gè)根都是正數(shù).總結(jié)升華：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，不要忘記a0的條件.【變式2】k為何值時(shí)，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）兩根互為相反數(shù)；（2）兩根互為倒數(shù)；（3）有一根為零，另一根不為零.思路點(diǎn)撥：兩根“互為相反數(shù)”、“互為倒數(shù)”，“有一根為零，另一根不為零”等是對(duì)兩根的性質(zhì)要求，在滿足這個(gè)要求的條件下，求待定字母的取值.方程的根互為相反數(shù)，則x1=-x2，即x1+x2=0;互為倒數(shù)，則x1=，即x1x2=1，但要注意考察判別式0.解：設(shè)方

6、程的兩根為x1，x2，則x1+x2=x1x2=（1）要使方程兩根互為相反數(shù)，必須兩根的和是零， 即x1+x2=，k=0， 當(dāng)k=0時(shí)，=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=160 當(dāng)k=0時(shí)，方程兩根互為相反數(shù). （2）要使方程兩根互為倒數(shù)，必須兩根的積是1，即 x1x2=1，解得k=4 當(dāng)k=4時(shí)，=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=-1440 k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒有互為倒數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （3）要使方程只有一個(gè)根為零，必須二根的積為零，且二根的和不是零， 即x1x2=0，解得k= 又當(dāng)k=傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！時(shí)，x1+x2=， 當(dāng)k=時(shí)，=(4

7、k)2-42(k+1)(3k-2)=0， k=時(shí)，原方程有一根是零，另一根不是零. 總結(jié)升華：研究?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)根問題時(shí)，應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不得為零，=b2-4ac不得小于零. 3.根的關(guān)系，確定方程系中字母的取值范圍或取值.3.關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍. 解：設(shè)方程兩根分別為x1，x2，x1+x2=3，x1x2=k+1x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)5 k1又=(-3)2-4(k+1)0 k由得：1k.總結(jié)升華：應(yīng)用根的判別式，已知條件，構(gòu)造不等式，用不等式組的思想，確定字母的取值范圍. 舉一反三：【變式1】已知：

8、方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求m的值. 思路點(diǎn)撥：本題是利用轉(zhuǎn)化的思想將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，就可求得m的值. 解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，=2(m-2)2-41(m2+4)0 解這個(gè)不等式，得m0 設(shè)方程兩根為x1，x2，x1+x2=-2(m-2) x1x2=m2+4x12+x22-x1x2=21(x1+x2)2-3x1x2=21-2(m-2)2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！1=17，m2=-1又m0，m=-1.總結(jié)

9、升華：1.求出m1=17，m2=-1后，還要注意隱含條件m0，舍去不合題意的m=17.【變式2】設(shè)與是方程x2-7mx+4m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且(-1)(-1)=3，求m的值思路點(diǎn)撥：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把等式(-1)(-1)=3轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程解：由于與是方程x2-7mx+4m2=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有 所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3 所以，得方程4m2-7m-2=0 解這個(gè)方程，或m=2 經(jīng)檢驗(yàn)，或m=2都能使判別式=(7m)2-4(4m2)=33m20， 所以，m=2都符合題意總結(jié)升華：如果所求m的值使方程沒有實(shí)數(shù)根，就是錯(cuò)誤的結(jié)果

10、，所以檢驗(yàn)的步驟是十分必要的討論方程的實(shí)數(shù)根的問題，只有在判別式的值是非負(fù)數(shù)時(shí)才有意義，在解決問題時(shí)應(yīng)注意這個(gè)重要的條件4求簡(jiǎn)單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值在關(guān)于一元二次方程的根x1與x2的式子中，如果交換這兩個(gè)字母的位置后式子不變(我們常把這種式子叫做對(duì)稱式)，就可以通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為用x1+x2與x1x2表達(dá)的式子，從而可以利用根與系數(shù)的關(guān)系解決如 +，(1+x1)(1+x2)都是對(duì)稱式，它們可以變形為用x1+x2與x1x2表達(dá)的式子， 如 (1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x1+x2)2-2x1x2，等等傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！4.如果

11、與是方程2x2+4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值思路點(diǎn)撥：注意到交換與的位置時(shí)，代數(shù)式不變，所以代數(shù)式是關(guān)于與的對(duì)稱式.解： =b2-4ac=80， 方程有實(shí)根 舉一反三：【變式1】已知與是方程3x2-x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值思路點(diǎn)撥：中的與的位置互換時(shí)，式子的形式不變，所以它們都是對(duì)稱式，可以轉(zhuǎn)化為含有與的式子，利用根與系數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算解：由于0，0，所以0，方程一定有實(shí)根于是 = 把=與=-代入，得 = =總結(jié)升華：這是一個(gè)無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，如果分別求出根與的值，計(jì)算過程將冗長(zhǎng)而煩瑣，利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以有效地達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算過程的目的，讀者如果用求根后代入的方法演算

12、一遍，將會(huì)有深刻的體會(huì)傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！5利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)已知數(shù)是否方程的根，能夠求出以兩個(gè)已知數(shù)為根的一元二次方程事實(shí)上，我們有這樣的定理：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)x1與x2使得x1+x2=-p，且x1x2=q，那么x1與x2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根證明如下：由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0可以化為x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0，(x-x1)(x-x2)=0， x=x1或x=x2這就是說，x1和x2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根5.判斷下列方程后面括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)解：(1) 10+(-2)=+8=-(-8)，10(-2)=-20， 10與-2是方程x2-8x-20=0的兩個(gè)根；(2) ， -與-是方程6y2+19y+10=0的兩個(gè)根；(3) 雖然有 (+)(-+)=+3，但是 (+)+(-+)=+2-(-2)；所以+與-+不是方程a2+2a-3=0的根6.(1)作一個(gè)以-與為根的一元二次方程； (2)作一個(gè)方程，使它的兩個(gè)根分別是方程2