基本不等式中1的妙用x

1、 基本不等式中“ 1 的妙用” 一、考法解法 命題特點(diǎn)分析 此類題目主要特點(diǎn)是： 1、兩個(gè)變量是正實(shí)數(shù)（使用基本不等式的前提） ， 2 、有一個(gè)代數(shù)式 的值 已知，求另一個(gè)代數(shù)式 的最小值，其中兩個(gè)代數(shù)式一個(gè)是整式 ax by ，一個(gè)是分式 m n ，當(dāng)然 x y 會(huì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形。 解題方法薈萃 y x 主要是湊出可以使用基本不等式的形式： 的形式，多數(shù)情況下是讓兩個(gè)代數(shù)式相乘。 x y 二、典型題剖析 例題 1：（ 1）已知 （ 2）已知 x, y R ， x 2y 1 1 2 ，求 的最小值； xx, y R ， x 2 y 3 1 2 ，求 的最小值； x y （ 3）已知 x,

2、y R ， 3 2 2 ，求 6x 2y 的最小值； x y （ 4）已知 x, y R ， x 2 y xy ，求 x 2 y 的最小值； 【解析】 這四個(gè)題目中， （ 1）是“ 1 的替換”的最基礎(chǔ)題目，已知整式的值為 1，求分式的最小值， （ 2） 是將已知值變成了 3，需要調(diào)節(jié)系數(shù)， （ 3）是已知分式的值求整式的最值， （4）對(duì)分式進(jìn)行等價(jià)變換。 【答案】（ 1） 1 2 ( x 2 y)( 1 2 ) 1 2x 2 y 4 5 2 4 9 x y x y y x 當(dāng)且僅當(dāng) 2x 2 y 即 x y 1 時(shí)取等號(hào) y x 3 （ 2） 1 2 1 1 2 ) 1 2x 2 y 1 2

3、 4） 3 x y (x 2 y)( y （1 x 4） （5 3 x 3 y 3 當(dāng)且僅當(dāng) 2x 2 y 即 x y 1 時(shí)取等號(hào) y x 3 （ 3） 6x 1 3 2 2 y) 3y 6 x 2 18 6 2 2 y= ( )(6 x 9 y 2 x y x 當(dāng)且僅當(dāng) 6x 3y 即 2x y 3 2+2 時(shí)取等號(hào) y x 2 （ 4）因?yàn)?x 2 y xy ，所以 1 2 1 ，然后 x 2 y=(x+2y)( 1 + 2 )= x 4 y 4 8 y x y x y x 當(dāng)且僅當(dāng) x 4 y 即 x 2y 4 時(shí)取等號(hào) y x 例題 2：（ 1）已知 x, y R ， x y 1 1

4、 2 的最小值； ，求 y 3 x 1 （ 2）已知 （ 3）已知 x, y R ， x y 1 x2 y2 的最小值； ，求 1 y 1 x x, y R ， x y 1 1 2 的最小值； ，求 y y 2 x 3 （ 4）已知 x, y R ， 2x 3 y 1 ，求 1 2 的最小值； x y y 3 【解析】 這四個(gè)題目是便是比較大的四個(gè)題目： （ 1）是分式的分母分別加上一個(gè)常數(shù)，為了能夠使用基本 不等式，我們需要對(duì)整式也進(jìn)行相應(yīng)的變形； （ 2）在上一題的基礎(chǔ)上，是分式的分子分母不再是一個(gè)常數(shù) 而是二次項(xiàng)，需要分離出一個(gè)代數(shù)式，變成熟悉的形式； （ 3）在（ 1）的情況下分母進(jìn)一

5、步變化，不是加 一個(gè)常數(shù)，而是混搭的形式； （4）在上一題的基礎(chǔ)之上不再是直接觀察出結(jié)果，而是需要配湊一個(gè)系數(shù)。 【答案】 （ 1）整式變形成 x 1 y 1 3 ， 1 2 1 1 2 1 y 3 2( x 1) 2 2 ( x 1 y 3)( ) (1 2 x 1 ) 1 3 x 1 y 3 5 x 1 y 3 3 y 3 當(dāng)且僅當(dāng) y 3 = 2( x 1) 取等號(hào) x 1 y 3 （ 2） x2 y2 ( x 1)2 2( x 1) 1 ( y 1)2 2( y 1) 1 x 1 2 1 y 1 2 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 1 1 1 x 1 y 1 然后求

6、當(dāng) x y 1時(shí)，代數(shù)式 1 1 的最小值 x 1 y 1 （ 3）整式變形成 2x y y 3 5 ，求代數(shù)式 1 2 最小值 2x y y 3 （ 4）假設(shè)分式變形為 2 的形式， 保證 x 的系數(shù)與 y 的系數(shù)之比等于整式中的系數(shù)之比， ( x y) ( y 3) 即 = 2 ， =2 ， 1, =2 ，分式變形為 2 2 + 3 2x 2 y y 3 整式變形為 2x 2y y 3 4 ，然后求 2 2 2x 2 y y 的最小值。 3 例 3：（ 1）已知 x, y R ， x y 1 2x 1，求 的最小值； x y （ 2）已知 x 0,1 ，求 1 2 的最小值； x 1 x

7、【解析】 這兩個(gè)題目的變式又不同于之前的形式， （1）主要是分式的一個(gè)分子的系數(shù)不是一個(gè)常數(shù)，而是 2x 的形式，因?yàn)楸容^接近我們使用基本不等式的形式，所以對(duì)另一個(gè)分子替換； （2）中好像是缺了整式， y 但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)分母之和為定值。 【解析】 （ 1） 1 2x x y 2 x 1 y 2x 1 2 2 當(dāng)且僅當(dāng) 2x y 時(shí)取等號(hào) x y x y x y y x （ 2）因?yàn)?x (1 x) 1 ，然后求 1 1 2 的最小值 x x 三、達(dá)標(biāo)與拓展 基礎(chǔ)過關(guān)（第 15 題） 1 若正數(shù) x ， y 滿足 x 3 y 5xy ，則 3x 4y 的最小值是（ ） 24 28 C

8、5 D 6 A B 5 5 【解析 】 正數(shù) x ， y 滿足 x 3 y 5xy ， 3 1 1， 5x 5y 3x 4 y 3 1 3x 4 y 9 4 12y 3x 13 2 12y 3x 5 ， 5x 5 y 5 5 5x 5 y 5 3x 5 y 當(dāng)且僅當(dāng) 12 y 3x 時(shí)取等號(hào) 5x 5y 即 3x 4 y 的最小值是 5 【 答 案 】 C. 2. 已知 x, y 均為正實(shí)數(shù)，且 x 3y 2 ，則 2x y 的最小值為 xy 2x y 1 2 1 7 3y 2x 7 2 3y 2x 7 【解析 】試題分析： (x x y x y xy 3y)( x ) 2 2 2 6 ， y

9、 2 x 3 y 2 x 2 6 1 2x y 的最小值是 7 當(dāng)且僅當(dāng) 3 y 2x 即 時(shí)，等號(hào)成立，即 6 x y y 2 2 xy 2 3 2 3 【例 1】 3. 設(shè) a 0 ，b 0 ，若 3 是 3a 與 3b 的等比中項(xiàng)，則 1 1 的最小值為（ ） a b A 8 B 4 C 1 D 1 4 【解析】 因?yàn)?3a 與 3b 的等比中項(xiàng)，所以 a b 1 1 1 1 1 b) 2 a b 2 2 4 a ( )(a b a b a b 【答案】 B 4已知 a 0, b 0, a b 1, 則 1 1 的最小值是 _. 2a b a 3b 【解析】 令 a b x（2a b)

10、y（ a 3b)，解得 x 2， y 1 5 5 1 a 1 2 2a b 1 (a 3b) 1 b 1 2a b 3b 5 5 2a a 3b 3 a 3b 2 2a b 3 2 a 3b 2(2a b) 5 5 2a b （ ） 5 5(2a b) 5(a 3b) 5 a 3b 3 2 2 5 當(dāng) a 3b 2 2a b 即 a 3b 2 (2a b) 取等號(hào) . 5 2a b （5 a 3b） 5. 已知實(shí)數(shù) x ， y 滿足 4x2 y 2 3xy 1，則 2x y 的最大值為 【解析】 實(shí)數(shù) x ， y 滿足 4 2 2 3 1 ， x yxy 4x2 y 2 4xy 1 xy ，

11、1 1 2x y 1 1 2x y 2 2x y 2 ， 2 2 2 解關(guān)于 2x y 的不等式可得 2x y 2 14 7 ， 故答案為： 2 14 7 智能拓展（第 610 題） 6. 已知 a 0 ， b 0 ， a 2b 1 ，則 1 1 取到最小值為 3a 4b a 3b 【 解 析 】 試 題 分 析 ： 令 a 2b (3a 4b) ( a 3b) (3 )a (4 3 )b ， 1 1 3 5 ， 4 2 2 5 1 1 ( 1 4b a 1 ) 1 (3a 4b) 2 (a 3b) 3 1 2( a 3b) 3a 4b 3a 4b a 3b 3a 3b 5 5 5 5 3a

12、4b a 3b 3 2 2(a 3b) 3a 4b 3 2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a 2b 1 2(a 3b) 3a 4b 時(shí)，等號(hào)成立， 5 5 3a 4b a 3b 5 3a 4b a 3b 即 1 1 的最小值是 3 2 2 3a 4b a 3b 5 7. 已知正數(shù) x, y 滿足 xy 1, 則 M 1 1 的最小值為 1 x 1 2 y 【解析】 M ( 1 1 1 )(1 x) (1 2y) 4 1 x 2y 則 M 4 ，令 t 2 x 2y ，即 y 1 1 1， xy x( 1 1 1) 1恒成立，由 0 2 x 2 x t x t 2 y 2 2 2 得 2 2 2 t 2 2

13、2 ， M 4 4 2 2 2 2 x 2 y 2 2 2 8. 若正數(shù) x, y, z 滿足 3x 4 y 5z 6 ，則 1 4 y 2z 的最小值為. 2 y z x z 【解析】 1 4 y 2 z = 1 6 3(x z) 1 6 3 2y z x z 2 y z x z 2 y z x z 令 2 y z a, x z b ，則 2(2 y z) 3( x z) 3x 4y 5z 2a 3b 6 ，即 a b 1， 3 2 原式 = ( 1 b )( a b) 3 1 b 2a 7 a 6 3 2 3 2a b 3 9. 已知 x 0， y 0 ，且 1 2 1 ，若 2x y m 恒成立