二元一次方程組應(yīng)用題題型總結(jié)(最新整理)

1、二元一次方程組應(yīng)用題型總結(jié)二元一次方程組是最簡單的方程組，其應(yīng)用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問題，大多需要通過設(shè)元、布列二元一次方程組來加以解決，現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下：一、數(shù)字問題例 1 一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大 9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)， 所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大 27，求這個(gè)兩位數(shù)分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為 x，個(gè)位上的數(shù)為 y，則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)y10y+x10y+x=10x+y+27解方 程組10x + y = x +

2、y + 910 y + x =10x + y + 27x = 1，得 y = 4 ，因此，所求的兩位數(shù)是 14點(diǎn)評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為 x，或只設(shè)十位上的數(shù)為 x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于 x 的方程一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之二、利潤問題例 2 一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，問此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和

3、賣出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為 x 元，進(jìn)價(jià)為 y 元，則打九折時(shí)的賣出價(jià)為 0.9x 元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程 0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣出價(jià)為 0.8x 元，獲利(0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.0.9x - y = 20% yx = 200解方程組0.8x - y =10，解得 y = 150 ，因此，此商品定價(jià)為 200 元點(diǎn)評：商品銷售盈利百分?jǐn)?shù)是相對于進(jìn)價(jià)而言的，不要誤為是相對于定價(jià)或賣出價(jià)利潤的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤=進(jìn)價(jià)利潤率（盈利百分?jǐn)?shù)）特別注意“利- 5 -潤”和“利潤率”是不同的兩個(gè)概念三、配套問題

4、例 3 某廠共有 120 名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓 25 個(gè)或螺母 20 個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)1因此，設(shè)安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓 25個(gè)，螺母 20個(gè)，依題意，得x + y = 12050x 2 = 20 y 1x = 20，解之，得 y = 100 故應(yīng)安排 20 人生產(chǎn)螺栓，100 人生產(chǎn)螺母點(diǎn)評：產(chǎn)品配套是工

5、廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題，解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：（1） “二合一”問題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的倍，即甲產(chǎn)品數(shù) = 乙產(chǎn)品數(shù)；ab（2） “三合一”問題：如果甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，丙產(chǎn)品件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足的相等關(guān)系式是：甲產(chǎn)品數(shù) = 乙產(chǎn)品數(shù) = 丙產(chǎn)品數(shù)abc四、行程問題例 4 在某條高速公路上依次排列著 a、b、c 三個(gè)加油站，a 到 b 的距離為 120 千米，b 到 c 的距離也是 120 千米分別在 a、c

6、 兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在 b 站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往a、c 兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往 b 站駛來的團(tuán)伙在 1 小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住， 而另一團(tuán)伙經(jīng)過 3 小時(shí)后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？【研析】設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為 x、y 千米/時(shí)，則3( x - y ) =120x - y = 40x = 80x + y =120，整理，得x + y = 120 ，解得 y = 40 ，因此，巡邏車的速度是 80 千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車的速度是

7、40 千米/時(shí)點(diǎn)評：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；“同向追及”時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離五、貨運(yùn)問題典例 5 某船的載重量為 300 噸，容積為 1200 立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為 6 立方米，乙種貨物每噸的體積為 2 立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？分析：“充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重量等于船的載重量”且

8、“貨物的體積等于船的容積”設(shè)甲種貨物裝 x 噸，乙種貨物裝 y 噸，則x + y = 300x + y = 300x = 1506x + 2 y = 1200 ，整理，得+ y = 600 ，解得 y = 150 ，3x因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝 150 噸點(diǎn)評：由實(shí)際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實(shí)際問題的方程組時(shí)要注意先化簡， 再考慮消元和解法，這樣可以減少計(jì)算量，增加準(zhǔn)確度化簡時(shí)一般是去分母或兩邊同時(shí)除以各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)或移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等六、工程問題例 6 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠原來4的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝 1

9、50 套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的 ；5現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服 200 套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用 1天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25 套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？ 分析：設(shè)訂做的工作服是 x 套，要求的期限是 y 天，依題意，得150 y = 4 xx = 33755，解得 y = 18.200 ( y -1) = x + 25點(diǎn)評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間工作效率”以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間”其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無關(guān)時(shí)

10、，通常用“1”表示總工作量二元一次方程組實(shí)際問題賞析【知識鏈接】列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1） 審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；（2） 找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；（3） 列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4） 解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（5） 答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.【典題精析】例1（2006年南京市）某停車場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費(fèi)為6元/輛，小型汽車的停車費(fèi)為4元/輛.現(xiàn)在停車場有50輛中、小型汽車

11、，這些車共繳納停車費(fèi)230元，問中、小型汽車各有多少輛？解析： 設(shè)中型汽車有x輛，小型汽車有y輛.由題意，得x + y = 50,6x + 4 y = 230.x = 15,解得， y = 35.故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛.例 2（2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進(jìn)行銷售的獲利情況如下表所示：銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（元）100250450現(xiàn)在該公司收購了 140 噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜 6 噸或粗加工蔬菜 16 噸（兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行）（1） 如果要求在 18 天內(nèi)全部銷售完這 140 噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全

12、部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2） 如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在 15 天內(nèi)剛好加工完 140 噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時(shí)間？解：（1）全部直接銷售獲利為：100140=14000（元）；全部粗加工后銷售獲利為：250140=35000（元）；盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450（618）100（140618）=51800（元）.（2）設(shè)應(yīng)安排 x 天進(jìn)行精加工， y 天進(jìn)行粗加工.x + y = 15,由題意，得6x + 16 y = 140.x = 10,解得， y = 5.故應(yīng)安排 10 天進(jìn)行精加工，5 天進(jìn)行粗加工.【跟蹤練習(xí)】為滿足市民對優(yōu)

13、質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計(jì)劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍， 拆除舊校舍每平方米需 80 元，建新校舍每平方米需 700 元. 計(jì)劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200 平方米，在實(shí)施中為擴(kuò)大綠地面積，新建校舍只完成了計(jì)劃的 80%，而拆除舊校舍則超過了計(jì)劃的 10%，結(jié)果恰好完成了原計(jì)劃的拆、建總面積.（1） 求：原計(jì)劃拆、建面積各是多少平方米？（2） 若綠化 1 平方米需 200 元，那么在實(shí)際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平方米？答案：（1）原計(jì)劃拆、建面積各是 4800 平方米、2400 平方米；（2）可綠化面積為 1488 平方米.“”“”at the

14、end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep u