北師大版九年級數(shù)學下冊練習：小專題五二次函數(shù)的應用

1、小專題 ( 五 )二次函數(shù)的應用類型 1面積問題1. 課本中有一個例題：有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果制作窗框的材料總長為6 m，如何設計這個窗戶，使透光面積最大？這個例題的答案是：當窗戶半圓的半徑約為0.35 m 時，透光面積最大值約為1.05 m 2.我們如果改變這個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6 m，利用圖 3，解答下列問題：(1) 若 AB 為 1 m，求此時窗戶的透光面積；(2) 與課本中的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大？請通過計算說明.圖 1圖 2圖 316 11 15解： (1) 由已知可得

2、： AD22 4，55則 S1 44(m2) .7(2) 設 AB x m，則 AD (3 4x)m.7123x 0， 0 x.47設窗戶面積為7727629S，由已知得： SABAD x(3 x) 4x 3x4(x ) .477712 4 0， 0 x 7 ，69當 x 7時， S 最大 7 1.05.與課本中的例題比較，改變窗戶形狀后窗戶透光面積的最大值變大.類型 2利潤問題2. (2019 達州 ) “綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行. 某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價 . 已知按標價九折銷售該型號自行車8 輛與

3、將標價直降100 元銷售 7 輛獲利相同 .(1) 求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？(2) 若該型號自行車的進價不變，按(1) 中的標價出售，該店平均每月可售出51 輛；若每輛自行車每降價 20 元，每月可多售出3 輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？解： (1) 設進價為x 元，則標價是1.5x 元，由題意，得1. 5x0.9 8 8x (1.5x 100) 7 7x，第 1頁解得 x 1 000.1. 51 00 01 500( 元) .答：進價為1 000 元，標價為1 500 元 .(2) 設該型號自行車降價 a 元，利潤為 w 元，由題意，得aw(5

4、1 203)(1 500 1 000 a) .32(a 80) 26 460.3 20 0，當 a 80 時， w 最大 26 460.答：該型號自行車降價80 元時，每月獲利最大，最大利潤是26 460 元 .3. (2019 黃石 ) 小明同學在一次社會實踐活動中，通過對某種蔬菜在1 月份至 7 月份的市場行情進行統(tǒng)計分析后得出了如下規(guī)律：該蔬菜的銷售價P( 單位：元 / 千克 ) 與時間 x( 單位：月份 ) 滿足關系： P 9 x；該蔬菜的平均成本y( 單位：元 / 千克 ) 與時間 x( 單位：月份 ) 滿足二次函數(shù)關系y ax2bx 10，已知 4 月份的平均成本為2 元 / 千克

5、， 6 月份的平均成本為1 元 / 千克 .(1) 求該二次函數(shù)的表達式；(2) 請運用小明統(tǒng)計的結論，求出該蔬菜在幾月份的平均利潤L( 單位：元 / 千克 ) 最大？最大平均利潤是多少 ( 注：平均利潤銷售價平均成本)?解： (1)將 x 4， 和 x 6，代入 y ax2 bx 10，得y 2y 116a 4b10 2，a1，解得436a 6b10 1.b 3.12y 4x 3x10.1212(2) 根據(jù)題意知： L P y 9 x ( 4x 3x10) 4(x 4) 3，當 x 4 時， L 取得最大值，最大值為3.答： 4 月份的平均利潤L 最大，最大平均利潤是3 元 / 千克 .類型

6、 3實物拋物線問題4. 為備戰(zhàn)2019 年里約奧運會，中國女排的姑娘們刻苦訓練，為國爭光. 如圖，已知排球場的長度 OD為 18 米，位于球場中線處球網的高度AB 為 2.43米，一隊員站在點O處發(fā)球，排球從點 O的正上方第 2頁1.8 米的 C 點向正前方飛出，當排球運行至離點O的水平距離OE為 7 米時，到達最高點G，建立如圖所示的平面直角坐標系.(1)當球上升的最大高度為3.2米時，求排球飛行的高度y( 單位：米 ) 與水平距離 x( 單位：米 ) 的函數(shù)關系式 ( 不要求寫自變量x 的取值范圍 ) ；(2)在 (1) 的條件下，對方距球網0.5 米的點 F 處有一隊員，他起跳后的最大高

7、度為3.1 米，問這次她是否可以攔網成功？請通過計算說明；(3) 若隊員發(fā)球既要過球網，又不出邊界，問排球飛行的最大高度h 的取值范圍是多少( 排球壓線屬于沒出界 )?解： (1)設拋物線表達式為y a(x 7) 2 3.2 ，將點 C(0 ， 1.8) 代入，得49a 3.2 1.8 ，1解得 a 35.y1(x 7) 216.3551216(2) 當 x 9.5時， y 35(9.5 7) 53.02 3.1.故這次她可以攔網成功 .(3) 設拋物線的表達式為y a(x 7) 2 h.將點 C(0 ， 1.8) 代入，得49a h 1.8 ，1.8 h即 a49.此時拋物線的表達式為1.8

8、 h2y(x 7) h.494（ 1.8 h） h 2.43 ，49根據(jù)題意，得121（ 1.8 h）h0.49解得 h3.025.即 h 的取值范圍是 h3.025.類型 4其他問題5. (2019 成都 ) 隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵單車”已成為很多市民出行的選擇，李華從文化宮站出發(fā)，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A， B， C， D， E 中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x( 單位：千米 ) ，乘坐地鐵的時間y1( 單位：分鐘 ) 是關于 x的一次函數(shù)，其關系如下表：第 3頁地鐵站ABCDEx( 千米 )891011.513y1( 分鐘 )1820222528(1)求 y1 關于 x 的函數(shù)表達式；(2)李華騎單車的時間( 單位：分鐘 ) 也受 x 的影響，其關系可以用12 11x 78來描述，請問：y 2x2李華應選擇在哪一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短？并求出最短時間.解： (1) 設 y1 kx b.將 (8 ， 18) ，(9 ， 20) 代入 y1 kx b，得8k b 18，k 2，解得b 2.9k b 20.故 y 關于 x 的函數(shù)表達式為y 2x 2.11(2) 設李華從文化宮回到家